专题四数列求和第2讲

第2讲数列求和及综合应用考情解读高考对本节知识主要以解答题的形式考查以下两个问题：1.以递推公式或图、表形式给出条件，求通项公式，考查用等差、等比数列知识分析问题和探究创新的能力，属中档题；2.通过分组、错位相减等转化为等差或等比数列的求和问题，考查等差、等比数列求和公式及转化与化归思想的应用，属中档题．1．数列求和的方法技巧(1)分组转化法有些数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将数列通项拆开或变形，可转化为几个等差、等比数列或常见的数列，即先分别求和，然后再合并．(2)错位相减法这是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an·bn}的前n项和，其中{an}，{bn}分别是等差数列和等比数列．(3)倒序相加法这是在推导等差数列前n项和公式时所用的方法，也就是将一个数列倒过来排列(反序)，当它与原数列相加时若有公式可提，并且剩余项的和易于求得，则这样的数列可用倒序相加法求和．(4)裂项相消法利用通项变形，将通项分裂成两项或n项的差，通过相加过程中的相互抵消，最后只剩下有限项的和．这种方法，适用于求通项为1anan＋1的数列的前n项和，其中{an}若为等差数列，则1anan＋1＝1d1an－1an＋1.常见的裂项公式：①1nn＋1＝1n－1n＋1；②1nn＋k＝1k(1n－1n＋k)；③12n－12n＋1＝12(12n－1－12n＋1)；④1n＋n＋k＝1k(n＋k－n)．2．数列应用题的模型(1)等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差．(2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比．(3)混合模型：在一个问题中同时涉及等差数列和等比数列的模型．(4)生长模型：如果某一个量，每一期以一个固定的百分数增加(或减少)，同时又以一个固定的具体量增加(或减少)时，我们称该模型为生长模型．如分期付款问题，树木的生长与砍伐问题等．(5)递推模型：如果容易找到该数列任意一项an与它的前一项an－1(或前n项)间的递推关系式，我们可以用递推数列的知识来解决问题．热点一分组转化求和例1等比数列{an}中，a1，a2，a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a1，a2，a3中的任何两个数不在下表的同一列.第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足：bn＝an＋(－1)nlnan，求数列{bn}的前n项和Sn.思维启迪(1)根据表中数据逐个推敲确定{an}的通项公式；(2)分组求和．解(1)当a1＝3时，不合题意；当a1＝2时，当且仅当a2＝6，a3＝18时，符合题意；当a1＝10时，不合题意．因此a1＝2，a2＝6，a3＝18，所以公比q＝3.故an＝2·3n－1(n∈N*)．(2)因为bn＝an＋(－1)nlnan＝2·3n－1＋(－1)nln(2·3n－1)＝2·3n－1＋(－1)n[ln2＋(n－1)ln3]＝2·3n－1＋(－1)n(ln2－ln3)＋(－1)nnln3，所以Sn＝2(1＋3＋…＋3n－1)＋[－1＋1－1＋…＋(－1)n]·(ln2－ln3)＋[－1＋2－3＋…＋(－1)nn]ln3.当n为偶数时，Sn＝2×1－3n1－3＋n2ln3＝3n＋n2ln3－1；当n为奇数时，Sn＝2×1－3n1－3－(ln2－ln3)＋n－12－nln3＝3n－n－12ln3－ln2－1.综上所述，Sn＝3n＋n2ln3－1，n为偶数，3n－n－12ln3－ln2－1，n为奇数.思维升华在处理一般数列求和时，一定要注意使用转化思想．把一般的数列求和转化为等差数列或等比数列进行求和，在求和时要分析清楚哪些项构成等差数列，哪些项构成等比数列，清晰正确地求解．在利用分组求和法求和时，由于数列的各项是正负交替的，所以一般需要对项数n进行讨论，最后再验证是否可以合并为一个公式．已知数列{an}中，a1＝1，anan＋1＝(12)n(n∈N*)．(1)求证：数列{a2n}与{a2n－1}(n∈N*)都是等比数列；(2)若数列{an}的前2n项和为T2n，令bn＝(3－T2n)·n·(n＋1)，求数列{bn}的最大项．(1)证明因为anan＋1＝(12)n，an＋1an＋2＝(12)n＋1，所以an＋2an＝12.又a1＝1，a2＝12，所以数列a1，a3，…，a2n－1，…，是以1为首项，12为公比的等比数列；数列a2，a4，…，a2n，…，是以12为首项，12为公比的等比数列．(2)解由(1)可得T2n＝(a1＋a3＋…＋a2n－1)＋(a2＋a4＋…＋a2n)＝1－12n1－12＋12[1－12n]1－12＝3－3(12)n，所以bn＝3n(n＋1)(12)n，bn＋1＝3(n＋1)(n＋2)(12)n＋1，所以bn＋1－bn＝3(n＋1)(12)n(n＋22－n)＝3(n＋1)(12)n＋1(2－n)，所以b1b2＝b3b4…bn…，所以(bn)max＝b2＝b3＝92.热点二错位相减法求和例2设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝2Sn＋n＋1(n∈N*)，(1)求数列{an}的通项公式；(2)若bn＝nan＋1－an，数列{bn}的前n项和为Tn，n∈N*，证明：Tn2.思维启迪(1)n1时，Sn＝2Sn－1＋n两式相减得{an}的递推关系式，然后构造数列求通项；(2)先利用错位相减法求出Tn，再放缩．(1)解∵Sn＋1＝2Sn＋n＋1，当n≥2时，Sn＝2Sn－1＋n，∴an＋1＝2an＋1，∴an＋1＋1＝2(an＋1)，即an＋1＋1an＋1＝2(n≥2)，①又S2＝2S1＋2，a1＝S1＝1，∴a2＝3，∴a2＋1a1＋1＝2，∴当n＝1时，①式也成立，∴an＋1＝2n，即an＝2n－1(n∈N*)．(2)证明∵an＝2n－1，∴bn＝n2n＋1－1－2n－1＝n2n＋1－2n＝n2n，∴Tn＝12＋222＋323＋…＋n2n，12Tn＝122＋223＋…＋n－12n＋n2n＋1，∴两式相减，得Tn＝2(12＋122＋123＋…＋12n－n2n＋1)＝2－12n－1－n2n2.思维升华错位相减法求数列的前n项和是一种重要的方法．在应用这种方法时，一定要抓住数列的特征，即数列的项可以看作是由一个等差数列和一个等比数列对应项相乘所得数列的求和问题．设数列{an}满足a1＝2，an＋1－an＝3·22n－1.(1)求数列{an}的通项公式；(2)令bn＝nan，求数列{bn}的前n项和Sn.解(1)由已知得，当n≥1时，an＋1＝[(an＋1－an)＋(an－an－1)＋…＋(a2－a1)]＋a1＝3(22n－1＋22n－3＋…＋2)＋2＝22(n＋1)－1.而a1＝2，符合上式，所以数列{an}的通项公式为an＝22n－1.(2)由bn＝nan＝n·22n－1知Sn＝1·2＋2·23＋3·25＋…＋n·22n－1.①从而22·Sn＝1·23＋2·25＋3·27＋…＋n·22n＋1.②①－②，得(1－22)Sn＝2＋23＋25＋…＋22n－1－n·22n＋1，即Sn＝19[(3n－1)22n＋1＋2]．热点三裂项相消法求和例3已知等差数列{an}，公差d0，前n项和为Sn，S3＝6，且满足a3－a1,2a2，a8成等比数列．(1)求{an}的通项公式；(2)设bn＝1an·an＋2，求数列{bn}的前n项和Tn的值．思维启迪(1)利用方程思想可确定a，d，写出{an}；(2)利用裂项相消法求Tn.解(1)由S3＝6，得a2＝2.∵a3－a1,2a2，a8成等比数列，∴(2d)·(2＋6d)＝42，解得d＝1或d＝－43，∵d0，∴d＝1.∴数列{an}的通项公式为an＝n.(2)Tn＝11·3＋12·4＋13·5＋…＋1nn＋2＝12[(1－13)＋(12－14)＋(13－15)＋(14－16)＋…＋(1n－1n＋2)]＝12(32－1n＋1－1n＋2)＝3n2＋5n4n＋1n＋2.思维升华裂项相消法适合于形如{1an·an＋k}形式的数列，其中{an}为等差数列．已知等差数列{an}是递增数列，且满足a4·a7＝15，a3＋a8＝8.(1)求数列{an}的通项公式；(2)令bn＝19an－1an(n≥2)，b1＝13，求数列{bn}的前n项和Sn.解(1)根据题意a3＋a8＝8＝a4＋a7，a4·a7＝15，所以a4，a7是方程x2－8x＋15＝0的两根，且a4a7，解得a4＝3，a7＝5.设数列{an}的公差为d，由a7＝a4＋(7－4)·d，得d＝23.故等差数列{an}的通项公式为an＝a4＋(n－4)·d＝3＋(n－4)·23＝2n＋13.(2)当n≥2时，bn＝19an－1an＝19·2n－13·2n＋13＝12n－12n＋1＝12(12n－1－12n＋1)，又b1＝13＝12(1－13)，所以Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝12(1－13＋13－15＋…＋12n－1－12n＋1)＝12(1－12n＋1)＝n2n＋1.即数列{bn}的前n项和Sn＝n2n＋1.热点四数列的实际应用例4自从祖国大陆允许台湾农民到大陆创业以来，在11个省区设立了海峡两岸农业合作试验区和台湾农民创业园，台湾农民在那里申办个体工商户可以享受“绿色通道”的申请、受理、审批一站式服务，某台商第一年年初到大陆就创办了一座120万元的蔬菜加工厂M，M的价值在使用过程中逐年减少，从第二年到第六年，每年年初M的价值比上年年初减少10万元，从第七年开始，每年年初M的价值为上年年初的75%.(1)求第n年年初M的价值an的表达式；(2)设An＝a1＋a2＋…＋ann，若An大于80万元，则M继续使用，否则须在第n年年初对M更新，证明：必须在第九年年初对M更新．思维启迪(1)根据题意，当n≤6时，数列{an}是等差数列，当n≥7时，数列{an}是等比数列，分别写出其通项公式，然后进行合并即可；(2)先对n进行分类，表示出An，利用数列的单调性质确定其最佳项，并与80比较大小，确定n的值．(1)解当n≤6时，数列{an}是首项为120，公差为－10的等差数列，故an＝120－10(n－1)＝130－10n，当n≥7时，数列{an}从a6开始的项构成一个以a6＝130－60＝70为首项，以34为公比的等比数列，故an＝70×(34)n－6，所以第n年年初M的价值an＝130－10n，n≤6，70×34n－6，n≥7.(2)证明设Sn表示数列{an}的前n项和，由等差数列和等比数列的求和公式，得当1≤n≤6时，Sn＝120n－5n(n－1)，An＝Snn＝120－5(n－1)＝125－5n≥9580，当n≥7时，由于S6＝570，故Sn＝570＋(a7＋a8＋…＋an)＝570＋70×34×4×[1－(34)n－6]＝780－210×(34)n－6.因为{an}是递减数列，所以{An}是递减数列．因为An＝Snn＝780－210×34n－6n，A8＝780－210×3428≈82.73480，A9＝780－210×3439≈76.82380，所以必须在第九年年初对M更新．思维升华解答数列应用题，与函数应用题的求解过程类似，一般要经过三步：(1)建模，首先要认真审题，理解实际背景，理清数学关系，把应用问题转化为数列问题；(2)解模，利用所学的数列知识，解决数列模型中的相关问题；(3)释模，把已解决的数列模型中的问题返回到实际问题中去，与实际问题相对应，确定问题的结果．设某商品一次性付款的金额为a元，以分期付款的形式等额地分成n次付清，若每期利率r保持不变，按复利计算，则每期期末所付款是()A.an(1＋r)n元B.ar1＋rn1＋rn－1元C.an(1＋r)n－1元D.ar1＋rn－11＋rn－1