专题四第3讲空间向量与立体几何

第3讲空间向量与立体几何自主学习导引真题感悟1．(2012·陕西)如图所示，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC­A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为A.55B.53C.255D.35解析利用向量法求解．不妨令CB＝1，则CA＝CC1＝2.可得O(0,0,0)，B(0,0,1)，C1(0,2,0)，A(2,0,0)，B1(0,2,1)，∴BC1→＝(0,2，－1)，AB1→＝(－2,2,1)，∴cos〈BC1→，AB1→〉＝BC1→·AB1→|BC1→||AB1→|＝4－15×9＝15＝55＞0.∴BC1→与AB1→的夹角即为直线BC1与直线AB1的夹角，∴直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为55.答案A2．(2012·辽宁)如图，直三棱柱ABCA′B′C′，∠BAC＝90°，AB＝AC＝λAA′，点M，N分别为A′B和B′C′的中点．(1)证明：MN∥平面A′ACC′；(2)若二面角A′MNC为直二面角，求λ的值．解析(1)证明证法一连接AB′，AC′，由已知∠BAC＝90°，AB＝AC，三棱柱ABCA′B′C′为直三棱柱，所以M为AB′的中点．又因为N为B′C′的中点，所以MN∥AC′.又MN⊄平面A′ACC′，AC′⊂平面A′ACC′，因此MN∥平面A′ACC′.证法二取A′B′的中点P，连接MP，NP.而M，N分别为AB′与B′C′的中点，所以MP∥AA′，PN∥A′C′，所以MP∥平面A′ACC′，PN∥平面A′ACC′.又MP∩NP＝P，因此平面MPN∥平面A′ACC′.而MN⊂平面MPN，所以MN∥平面A′ACC′.(2)以A为坐标原点，分别以直线AB，AC，AA′为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系O－xyz，如图所示．设AA′＝1，则AB＝AC＝λ，于是A(0,0,0)，B(λ，0,0)，C(0，λ，0)，A′(0,0,1)，B′(λ，0,1)，C′(0，λ，1)，所以Mλ2，0，12，Nλ2，λ2，1.设m＝(x1，y1，z1)是平面A′MN的法向量，由m·A′M→＝0，m·MN→＝0得λ2x1－12z1＝0，λ2y1＋12z1＝0，可取m＝(1，－1，λ)．设n＝(x2，y2，z2)是平面MNC的法向量，由n·NC→＝0，n·MN→＝0得－λ2x2＋λ2y2－z2＝0，λ2y2＋12z2＝0，可取n＝(－3，－1，λ)．因为A′­MN­C为直二面角，所以m·n＝0.即－3＋(－1)×(－1)＋λ2＝0，解得λ＝2(负值舍去)．考题分析应用空间向量解决立体几何问题是高考的必考考点，空间向量的工具性主要体现在平行与垂直的判定，求空间的角的大小．解题时要特别注意避免计算失误．网络构建高频考点突破考点一：利用向量证明平行与垂直【例1】如图所示，在底面是矩形的四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，E、F分别是PC、PD的中点，PA＝AB＝1，BC＝2.求证：(1)EF∥平面PAB；(2)平面PAD⊥平面PDC.[审题导引]建立空间直角坐标系后，使用向量的共线定理证明∥即可证明第(1)问，第(2)问根据向量的垂直关系证明线线垂直，进而证明线面垂直，得出面面垂直．[规范解答]以A为原点，AB、AD、AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系如图所示，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,1)，所以E为12，1，12，F为0，1，12EF→＝－12，0，0，PB→＝(1,0，－1)，PD→＝(0,2，－1)，AP→＝(0,0,1)，AD→＝(0,2,0)，DC→＝(1,0,0)，AB→＝(1,0,0)．(1)因为EF→＝－12AB→，所以EF→∥AB→，即EF∥AB.又AB⊂平面PAB，EF⊄平面PAB，所以EF∥平面PAB.(2)因为AP→·DC→＝(0,0,1)·(1,0,0)＝0，AD→·DC→＝(0,2,0)·(1,0,0)＝0，所以AP→⊥DC→，AD→⊥DC→，即AP⊥DC，AD⊥DC.又AP∩AD＝A，AP⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，所以DC⊥平面PAD.因为DC⊂平面PDC，所以平面PAD⊥平面PDC.【规律总结】用空间向量证明位置关系的方法(1)线线平行：欲证直线与直线平行，只要证明它们的方向向量平行即可；(2)线面平行：用线面平行的判定定理，证明直线的方向向量与平面内一条直线的方向向量平行；用共面向量定理，证明平面外直线的方向向量与平面内两相交直线的方向向量共面；证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；(3)面面平行：平面与平面的平行，除了用线面平行的判定定理转化为线面平行外，只要证明两平面的法向量平行即可；(4)线线垂直：直线与直线的垂直，只要证明两直线的方向向量垂直；(5)线面垂直：用线面垂直的定义，证明直线的方向向量与平面内的任意一条直线的方向向量垂直；用线面垂直的判定定理，证明直线的方向向量与平面内的两条相交直线的方向向量垂直；证明直线的方向向量与平面的法向量平行；(6)面面垂直：平面与平面的垂直，除了用面面垂直的判定定理转化为线面垂直外，只要证明两平面的法向量垂直即可．【变式训练】1．如图所示，在底面是正方形的四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，BD交AC于点E，F是PC的中点，G为AC上一点．(1)求证：BD⊥FG；(2)确定点G在线段AC上的位置，使FG∥平面PBD，并说明理由．解析(1)证明以A为原点，AB、BD、PA所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系A－xyz，如图所示，设正方形ABCD的边长为1，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，设P(0,0，a)(a＞0)，G(m，m,0)(0＜m＜2)，则E12，12，0，F12，12，a2.(1)BD→＝(－1,1,0)，FG→＝m－12，m－12，－a2，BD→·FG→＝－m＋12＋m－12＋0＝0，所以BD⊥FG.(2)要使FG∥平面PBD，只需FG∥EP，而PE→＝12，12，－a，由FG→＝λEP→，可得m－12＝12λ，－a2＝－aλ，解得λ＝12，m＝34，所以G34，34，0，所以AG→＝34AC→.故当AG＝34AC时，FG∥平面PBD.考点二：利用向量求线线角、线面角【例2】如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝2，AB＝1，BM⊥PD于点M.(1)求证：AM⊥PD；(2)求直线CD与平面ACM所成角的余弦值．[审题导引]建立坐标系，求出平面ACM的法向量，利用向量法求直线CD与平面ACM所成角的余弦值．[规范解答](1)证明∵PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴PA⊥AB.∵AB⊥AD，AD∩PA＝A，AD⊂平面PAD，PA⊂平面PAD，∴AB⊥平面PAD.∵PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD.∵BM⊥PD，AB∩BM＝B，AB⊂平面ABM，BM⊂平面ABM，∴PD⊥平面ABM.∵AM⊂平面ABM，∴AM⊥PD.(2)如图所示，建立直角坐标系，则A(0,0,0)，C(1,2,0)，D(0,2,0)，∴CD→＝(－1,0,0)，设M(0，y0，z0)，∴AM→＝(0，y0，z0)，∵P(0,0,2)，∴PD→＝(0,2，－2)，PM→＝(0，y0，z0－2)，由AM→⊥PD→，得AM→·PD→＝2y0－2z0＝0，即y0＝z0，又PD→＝λPM→，∴－2y0＝2(z0－2)，即－y0＝z0－2，解方程组得y0＝z0＝1，即M(0,1,1)，设平面ACM的法向量为n＝(x，y，z)，则n·AC→＝x＋2y＝0n·AM→＝y＋z＝0令z＝1，得n＝(2，－1,1)，∴cos〈CD→，n〉＝－21×6＝－63，∴直线CD与平面ACM成角的余弦值为1－－632＝33.【规律总结】向量法求线线角、线面角的注意事项(1)建立适当的直角坐标系，根据对称性原则，使尽可能多的点在坐标轴，易于求各点的坐标；(2)求直线与平面所成的角θ，主要通过直线的方向向量与平面的法向量的夹角α求得，即sinθ＝|cosα|.【变式训练】2．(2012·山西四校模拟)在三棱锥M－ABC中，AB＝2AC＝2，MA＝MB＝52，AB＝4AN，AB⊥AC，平面MAB⊥平面ABC，S为BC的中点．(1)证明：CM⊥SN；(2)求SN与平面CMN所成角的大小．解析(1)证明取AB的中点O，连接MO，CO，SO，∴MO⊥AB，∵平面MAB⊥平面ABC，MO⊥平面ABC，又AC⊥AB，OS∥AC，∴OS⊥AB，以O为坐标原点，OB为x轴，OS为y轴，OM为z轴建立空间直角坐标系．则C(－1,1,0)，M0，0，12，N－12，0，0，S0，12，0，所以CM→＝1，－1，12，SN→＝－12，－12，0，故CM→·SN→＝0，即CM⊥SN.(2)由(1)知，CN→＝12，－1，0，NM→＝12，0，12，设平面CMN的法向量为n＝(x，y，z)，则CN→·n＝0MN→·n＝0，得y＝12xz＝－x，令x＝2，则得平面CMN的一个法向量为n＝(2,1，－2)，则|cos〈n，SN→〉|＝22，所以SN与平面SMN所成角为π4.考点三：利用向量求二面角【例3】(2012·泉州模拟)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面△ABC为等腰直角三角形，∠B＝90°，D为棱BB1上一点，且面DA1C⊥面AA1C1C(1)求证：D为棱BB1的中点；(2)AA1AB为何值时，二面角A－A1D－C的平面角为60°？[审题导引](1)取AC的中点F，A1C的中点E，利用BD∥EF证明；(2)以D为原点建系，设出相关点的坐标，利用公式求解．[规范解答](1)证明过点D作DE⊥A1C于E点，取AC的中点F，连BF、EF.∵面DA1C⊥面AA1C1C且相交于A1C，面DA1C内的直线DE⊥A1C，∴直线DE⊥面AA1C1C.又∵面BAC⊥面AA1C1C且相交于AC，易知BF⊥AC，∴BF⊥面AA1C1C.由此知：DE∥BF，从而有D，E，F，B共面，又易知BB1∥面AA1C1C，故有DB∥EF，从而有EF∥AA1，又点F是AC的中点，所以DB＝EF＝12AA1＝12BB1，∴D点为棱BB1的中点．(2)建立如图所示的直角坐标系，设AA1＝2b，AB＝BC＝a，则D(0,0，b)，A1(a,0,2b)，C(0，a,0)，所以，DA1→＝(a,0，b)，DC→＝(0，a，－b)，设面DA1C的法向量为n＝(x，y，z)，则ax＋0·y＋bz＝00·x＋ay－bz＝0，可取n＝(b，－b，－a)，又可取平面AA1DB的法向量m＝BC→＝(0，a,0)，cos〈n，m〉＝n·m|n|·|m|＝b·0－ba－a·02b2＋a2·a2＝－b2b2＋a2，据题意有：b2b2＋a2＝12，解得：AA1AB＝2ba＝2.【规律总结】利用向量求二面角的注意事项(1)两平面的法向量的夹角不一定就是所求的二面角，有可能两法向量夹角的补角为所求．(2)求平面的法向量的方法：①待定系数法：设出法向量坐标，利用垂直关系建立坐标的方程解之．②先确定平面的垂线，然后取相关线段对应的向量，即确定了平面的法向量．当平面的垂线较易确定时，常考虑此方法．【变式训练】3．(2012·北京东城二模)如图，矩形AMND所在的平面与直角梯形MBCN所在的平面互相垂直，MB∥NC，MN⊥MB，且MC⊥CB，BC＝2，MB＝4，DN＝3.(1)求证：AB∥平面DNC；(2)求二面角D－BC－N的余弦值．解析(1)证明因为MB∥NC，MB⊄平面DNC，NC⊂平面DNC，所以MB∥平面DNC.因为AMND为矩形，所以MA∥