三峡大坝中的地质问题

亿库教育网专题复习数列、数列的极限、数学归纳法一.本周教学内容：1.复习内容：专题复习“数列”、“数列的极限”、“数学归纳法”。重点是：①数列的通项公式、前n项和公式的关系；用递推关系式表示数列；②两种基本数列——等差数列与等比数列的定义，通项公式、前n项和公式、性质；③极限的运算法则，公比q的绝对值小于1的无穷等比数列的所有项的和的定义以及计算公式；④数学归纳法的涵义及其运用。2.要点综述：①数列与极限是初等数学与高等数学衔接和联系最紧密的内容之一，有关极限的概念及方法是微积分的重要工具。因此，数列的极限就成为进一步学习高等数学的基础。②两种基本数列——等差数列、等比数列，是高考中的必考内容，要熟练掌握这两种数列的定义，通项公式、前n项和公式以及其性质。③数列的极限的思想方法要认真体会，为进一步学好高等数学作好充分的准备。高考试题中对极限的考查逐渐由单一地求数列的极限，向结合等差、等比数列的计算求极限转化逐渐向结合数列求和方法求极限转化。④数学归纳法作为一种证明方法，在证明某些与自然数n有关的命题时，有其他证明方法所不具有的独特性和优越性，是一种非常重要的证明方法，应认真体会其要义并能正确使用它，在高考试题中，经常作为解答中的一个环节来考查，比如，给出一个数列的递推关系式，先求出其前三项，进而推测通项公式，最后再用数学归纳予以证明。这其中，体现了数学中“归纳——猜想——证明”的由特殊到一般的思维方法。3.复习建议：①认真复习以下概念——等差、等比数列的定义，数列极限的定义，认真体会其内涵。②掌握几个重要公式——数列的前n项和Sn与通项an的关系式；等差数列、等比数列的通项公式，前n项和公式；无穷等比递缩数列的所有和S的计算公式。③掌握一个重要性质——设m、n、p、q∈N，且m+n=p+q，若是等差数列，则；{}aaaaanmnpq若是等比数列，则··。{}aaaaanmnpq④掌握数列求和的几个方法——裂项求和法，错位相减求和法，以及公式法。【典型例题】例1.已知函数的图象经过原点，若，，fxxafxf()log()()()()21321fxxxfxmnt()()()()421成等差数列，求的值；若，三个正数、、成等比数列，求证：()()()mtn2分析：这是一道数列与函数综合的习题：①由条件“f(x)的图象过原点”，可以确定f(x)的解析式中的值，从而，，可以分别表示出来，进而由afxffx()()()3214它们依次成等差数列的条件，可列出关于x的方程，解方程得x值；②在①的基础上只需把，，正确表示出来，对“”使用均值不等式定理，立即得()()()mtnmt证。解：()log()()log()1001122由，得，∴aafxx亿库教育网∴，，fxxffxx()log()()log()log()3221243222又∵，，成等差数列，fxffx()()()3214∴，即22134ffxfx()()()2223222loglog()log()xx即，解之得或，log()()223214xxxx经检验，是增根，∴xx14()()()()()22证明：mtfmftlog()log()22112mtlog()()2112mt·log()212mtmt∵、、成等比数列，且，，mntmntR∴，，当时，等号成立，mtnmtmtnmt222()∴()()log()[log()]mtnnn22221221122()()()()nmtn，即例2.已知是等比数列，首项，前项和为，若{}aanSSSnn110513132则limnSn分析：由题意可知，欲求，只需先确定公比的值，这可由limnSqSSn1053132来求得，，代入式中，化简，得，解SaqqSaqqqq515101101051111113132()()得，由此发现，是公比为，首项为的等比数列，不难想到qan12121{}公式lim()nSaqn11111223亿库教育网例3.已知等差数列，的前项之和分别为，，若，{}{}abnSTSTnnnnnnnn231则limnabnn分析：()()1211121由对“”利用等差数列的性质，则SkaaaaaakkknaaaaSnnnnk2，于是可得到与的关系式：anSbnTnnnn1211212121，同理，∴limlimlim()()nnnabSTnnnnnn2121221321123()limlim2更一般地，不妨探索一下与的关系：nnabSTnnnnlimlim()()lim()()nnnabandbnddnaddnbdddnn11121112121211limlim()()lim()()nnnSTnanndnbnnddnadndnbdnddnn1112121122121212122222可见limlimlimnnnabSTnnnnnn23123例4.设是等差数列，，是它的前项之和；是等比数列，{}{}aaSnbnnn11且公比的绝对值小于，是它的前项之和，如果，，1263252TnabSTnlim{}{}nTabnnn9，求，的通项公式分析：欲求等差数列{an}，等比数列{bn}的通项公式，只要求出{an}的公差d以及{bn}的首项b1的公比q即可。因此，要用已知条件列出关于d、b1、q的方程组。解：设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，首项为b1，依题意，有：adbqdbbqbqqbqd1111112515422619161312××·，，()||∴，·annbnnn112112126131()()注：本例是一道很注重基础知识、基本方法的习题，对于这类的习题应通过复习熟练掌握。亿库教育网例5.已知数列的前项和为，，，求{}()anSaSnNnnnn53lim()naaaan13521…的值分析：由式子，易想到与的关系式，aSaSaSSnnnnnnnn5321()利用此式，再对进行合适的赋值，便可消去，得到的递推关系式，进而nSann{}确定数列，再求出…{}lim()aaaaannn13521解：∵，，aSaSSnnnn1112()又已知，∴，aSaSnnnnn5353211()两式相减，得aaSSannnnnn11552()()∴，，由，及，得，aanaSaSann1425334111111()可见是首项为，公比的等比数列，{}aqn3414从而，，，…，…是首项为，公比为的等比aaaaqn13521223414116()数列，注意到，则||q21lim()naaaaaqn1352112134111645…注：根据已知条件，确定数列的类型，对于进一步解题特别重要，因此要充分掌握已知条件中的各种有利因素，联想已学知识，发现解题的思路。例6.设{an}是一个由正数组成的数列，其前n项和为Sn，且对所有自然数n，an与2的等差中项等于Sn与2的等比中项。（I）写出数列{an}的前3项；（II）求数列{an}的通项公式（要写出推理过程）；()()()IIIbaaaanNnnnnn令，1211求…的值lim()nbbbbnn123解：()()1222由题意，有，aSnNnn亿库教育网∴，SanNnn()282nSaaa128211121时，有，得()∵时，，整理，可得naSSaannnnn228281212()()aaaannnn212140()()()aaaaaannnnnn111400，∵∴aaaannnnn114042，即，()∴{an}是首项为a1=2，且公差d=4的等差数列。从而其前三项依次为2，6，10。()(){}()()IIIaaandnnnn由易得的通项公式为×1121442()()()IIIbaaaannnnnnnnnnn12124242424241411122()()4124112411121121222nnnnn……“裂项”∴……bbbbnnnn12311313151517121121()()()()nn1121∴…lim()nbbbbnn123lim[()]lim()nnnnnn112111211例7.已知数列中，，点，在直线上，{}()aaPaaxynnn11110（I）求数列{an}的通项公式；()()()IIfnnananananNnn设…，，≠11111123，求函数f(n)的最小值。分析：()IPxyaann由点在直线上，易得数列的递推关系式，1011由此发现，{an}是公差为d=1的等差数列，进而可写出其通项公式。先判断数列的类型，再求其通项公式的方法，做为一亿库教育网种基本方法要熟练掌握。（II）所给函数f（n）是一个不连续函数，或称之为离散函数，这一点可通过自变量n的取值看出。通过计算f（1），f（2），f（3）的值会发现：f（n）是一个单调递增函数，（当然这一点应予以严格证明），既如此，那么f（n）的最小值是f（2），于是问题得解。解：()()IPaaxynn∵点，在直线上，110∴，即，aaaanNnnnn11101()∴是首项为，且公差的等差数列，{}aadn111∴的通项公式为×{}()()aaandnnnn11111()()()()IIIfnnnnnnnNn由得…，，且≠11121311f()21211221314712f()31311321331415163760f()414114214314415161718533840易比较得出，猜测函数为增函数，下面给予证明，ffffn()()()()234对于任意，且≠，继证，可用作差比较法证明nNnfnfn11(()())∵……fnfnnnnnnn()()()()1121312211121212112211121210nnnnn()()∴，fnfn()()1∴函数f(n)是增函数，∴其最小值为f()2712例8.已知数列，，其中…，，{}{}()abanbnnnnn1352124()nnabnn5，试问是否存在这样的自然数，使得成立？分析：对n赋值后，比较几对an与bn的大小，可作出合理猜测，再用数学归纳法予以论证。解：annn1352112…()()当时，，，此时；nabab536243655555亿库教育网http