专题复数集上的代数方程

复数集上的代数方程专题一、典型举例：1、关于复数x的一元二次方程例1、已知关于ixixx2562⑴当x∈R时解这个方程；⑵当x∈C时，解这个方程。例2、设关于x的方程042mxx(m∈R)的两个根为α、β。且=2，求m的值。例3、设关于x的方程03222aaaxx至少有一个模为1的根，试确定实数a的值。（考点：三角形式）解：a=2±√2或-12、二项方程的解法例4、在复数集里分解因式：x613、关于z、z、z等的方程例5、在复数中解下列方程：⑴z*z－3i*z=1+3i；⑵z－λz=（常数λ、∈C且1）例6、设a≥0，在复数集C中解方程zaz22。例7、已知二元一次方程0122pxx的两虚根为α、β，且在复平面上α、β、1这三个对应的点组成一个正三角形的顶点，求实数p。例8、已知z=1，且015zz，求复数z。（考点：三角形式+平方关系）二、综合练习：1、选择题：⑴关于一元二次方程02cbxax(a≠0)的正确结论是（）（A）a、b、c∈R，当Δ=b2－4ac≥0时，方程在复数范围内才有解；（B）a、b、c∈R，复数范围内总有解；（C）a、b、c∈C，方程的两根不适合表达定理；（D）b=0时，方程的两根互为共轭复数。⑵方程0142mxx（m∈R），则正确结论是（）（A）方程的两根互为共轭；（B）若方程的两根互为共轭，则m=0；（C）若x为方程的一虚根，则x也为方程的根；（D）若m＜0，则方程的两根一定为正数。⑶已知方程x2+（k+2i）x+2+ki=0至少有一实根，那么实数k的值是（）（A）k≥23或k≤—23（B）—23≤k≤23（C）k=23（D）k=222、填空题：⑴与自身的平方共轭的复数有_______个。⑵方程z44)1(i的解为_______。⑶设关于x的方程01)1(6322mxmx的两根的模的和为2，则实数的值是_______。3、解答题：已知关于x的二次方程0)2()(2ixitgx⑴如果此方程有一个实根，求锐角θ和这个实根。⑵试证维纶θ去任何实数值时，此方程不可能有纯虚数根。复数集上的代数方程专题1、关于复数x的一元二次方程02cbxax(a≠0)⑴若a、b、c∈R,则方程(*)在复数集C上总有两个根。当Δ=b2－4ac＞0时，方程有两个不等的实根，x21，=ab2；当Δ=b2－4ac=0时，方程有两个相等的实根，x21，=ab2；当Δ=b2－4ac＜0时，方程有一对共轭虚根，x21，=aib2；且x1+x2=－ab；x1x2=ac。⑵若a、b、c不全是实数，则方程(*)在复数集C上总有两个根。x21，=aacbb242；x1+x2=－ab；x1x2=ac。⑴、⑵在以下四种结论中：①可用Δ来判断方程的情况；②方程的虚根成对出现；③求根公式成立；④韦达定理成立。相同之处是③、④；不同之处①、②。2、二项方程00axann（an≠0，an，a0∈C，n∈N）将其化成xn=naa0,则解x即为naa0的n次方根。3、关于z、z、z等的方程，如已知z+z+z=0，求z等，通常设z=x+yi（x、y∈R）代入方程，利用复数相等的重要条件，求解x、y，可得z。三、高考考点：高考考点要掌握关于复数z的一元二次方程02cbxax(a≠0)的解法，会解关于z、z、z等的方程。四、典型举例：1、关于复数x的一元二次方程例1、已知关于ixixx2562⑴当x∈R时解这个方程；⑵当x∈C时，解这个方程。例2、设关于x的方程042mxx(m∈R)的两个根为α、β。且=2，求m的值。例3、设关于x的方程03222aaaxx至少有一个模为1的根，试确定实数a的值。解：a=2±√2或-12、二项方程的解法例4、在复数集里分解因式：x613、关于z、z、z等的方程例5、在复数中解下列方程：⑴z*z－3i*z=1+3i；⑵z－λz=（常数λ、∈C且1）例6、设a≥0，在复数集C中解方程zaz22。例7、已知二元一次方程0122pxx的两虚根为α、β，且在复平面上α、β、1这三个对应的点组成一个正三角形的顶点，求实数p。例8、已知z=1，且015zz，求复数z。五、综合练习：1、选择题：⑴关于一元二次方程02cbxax(a≠0)的正确结论是（）（A）a、b、c∈R，当Δ=b2－4ac≥0时，方程在复数范围内才有解；（B）a、b、c∈R，复数范围内总有解；（C）a、b、c∈C，方程的两根不适合表达定理；（D）b=0时，方程的两根互为共轭复数。⑵方程0142mxx（m∈R），则正确结论是（）（A）方程的两根互为共轭；（B）若方程的两根互为共轭，则m=0；（C）若x为方程的一虚根，则x也为方程的根；（D）若m＜0，则方程的两根一定为正数。⑶已知方程x2+（k+2i）x+2+ki=0至少有一实根，那么实数k的值是（）（A）k≥23或k≤—23（B）—23≤k≤23（C）k=23（D）k=222、填空题：⑴与自身的平方共轭的复数有_______个。⑵方程z44)1(i的解为_______。⑶设关于x的方程01)1(6322mxmx的两根的模的和为2，则实数的值是_______。3、解答题：已知关于x的二次方程0)2()(2ixitgx⑴如果此方程有一个实根，求锐角θ和这个实根。⑵试证维纶θ去任何实数值时，此方程不可能有纯虚数根。