专题讲座开放性问题(含答案)-

开放性问题【考点透视】习惯上，人们把命题者对解题者的要求，将数学问题分为两类：一类是问题的条件和结论都有确定要求的题型；另一类是条件和结论中至少有一个没有确定要求的题型，并称前者为封闭题型，后者为开放题型.开放性问题的基本形式有：条件开放题（问题的条件不完备）；结论开放题（问题的结论不确定或不唯一），这些问题的解决，需解题者经过探索确定结论或补全条件，将开放性问题转化为封闭性问题，然后选择合适的解题途径完成最后的解答.现在还出现一些其他形式的开放题，如解题策略的开放题和题干结构的开放题.前者主要侧重于解题方法或策略的选择和设计，后者主要是所给题目不完整，需要解题者把题目补充完整，然后完成解答.开放性问题对于训练和考查学生的发散思维，进而培养学生的创新意识和创新能力是十分有益的.教育部在《2000年初中毕业、升学考试改革的指导意见》中特别指出：数学考试“应设计一定结合情境的问题和开放性问题”.由于各地认真贯彻执行这一指导意见，所以在近年的各地中考中，开放性试题越来越受到命题者的青睐，也越来越受到广大初中教师和学生的重视.【典型例题】一、条件开放题解条件开放题，一种是直接补齐条件，使题目结论成立；另一种是需要我们作出探索去补齐条件使题目结论成立.这两种情况所需补充的条件往往不惟一.例1（1）如图1，△ABC中，AB=AC，D为AC边上的一点，要使△ABC∽△BCD，还需要添加一个条件，这个条件可以是__________________.（只需填写一个你认为适当的条件即可）.（2）如图2，在△ABC和△FED中，AD=FC，AB=FE，当添加条件：__________________时，就可得到△ABC≌△FED.（只需填写一个你认为正确的条件）.解：（1）BD=BC.（也可以是：∠ABC=∠BDC；或∠A=∠DBC；或BC∶CD=AC∶BC；或BC2=AC•CD中的某一个）（2）∠A=∠F.（或BC=ED等）说明：开放题的一个显著特点是：答案的不唯一性.第（1）小题中，我们只需给出BACD图1ABCDEF图2和2,4xy，试写出符合要求的方程组____________________________.（只要填写一个即可）（2000年安徽省中考题）分析：我们只要分别构造出一个既含x，又含y的一个二元一次方程和一个二元二次方程.构造方程实际上就是寻找x与y之间的关系.解：2,8.yxxy说明：方程与函数有着紧密的联系，如果我们把方程组的解看作对应于平面直角坐标系中的两个点A（2，4），B（-2，-4），则我们可以写出过这两个点的一个一次函数的解析式（也是一个二元一次方程）和一个二次函数的解析式（也是一个二元二次方程，这个方程不唯一）.本题在解法上可以用代数的方法来解，也可用几何的方法来解（形数结合——一种重要的数学思想方法）；可以用待定系数法，运用演绎推理的方法来解，也可用直觉思维的方法来解，所以本题既是一个条件开放题，也是一个策略开放题.例3已知：如图1，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，A是BD的中点，过A点的切线与CB的延长线交于点E.（1）求证：AB•DA=CD•BE；（2）若点E在CB延长线上运动，点A在BD上运动，使切线EA变为割线EFA，其它条件不变，问具备什么条件使原结论成立？（要求画出示意图，注明条件，不要求证明）分析：本题的（2）是一个条件开放题.由于本题的结论与（1）相同，所以这一条件的获得，我们可以从（1）的证明过程中受到启示.（1）证明：连结AC.∵A是BD的中点,∴ABAD,∠ACB=∠ACD.∵EA切⊙O于A，∴∠EAB=∠ACB.又∵∠ABE=∠D，∴△EAB∽△ACD，∴AB∶CD=EB∶AD，∴AB•AD=CD•BE.（2）解：如图2中，若有△EAB∽△ACD，则原结论成立，故我们只需探求使△EAB∽△ACD的条件.BACDOE图1ABCEDOF图2由于∠ABE=∠D，所以只要∠BAE=∠DAC即可，这只要BFCD即可.所以本题只要BFAD，原结论就成立.说明：探求条件的过程，是一个由果索因的过程，这是数学中的一种重要的解题方法——分析法.例4如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，D为劣弧AC上一点，DE⊥AB于点H，交⊙O于点E，交AC于点F，P为ED的延长线上一点.（1）当△PCF满足什么条件时，PC与⊙O相切？为什么？（2）点D在劣弧AC的什么位置时，才能使AD2=DE·DF？为什么？分析：（1）连OC.要使PC与⊙O相切，则只需∠PCO=900即可.由∠OCA=∠OAC，∠PFC=∠AFH，即可寻找出△PCF所要满足的条件;（2）要使AD2=DE·DF，即ADDFDEAD，也就是要使△DAF∽△DEA，这样问题就较容易解决了.解：（1）当PC=PF（或∠PCF=∠PFC，或△PCF是等边三角形）时，PC与⊙O相切.连OC.∵PC=PF，∴∠PCF=∠PFC，∴∠PCO=∠PCF+∠OCA=∠PFC+∠OAC=∠AFH+∠AHF=900,∴PC与⊙O相切.（2）当点D是AC的中点时，AD2=DE·DF.连结AE.∵ADCD，∴∠DAF=∠DEA.又∵∠ADF=∠EDA，∴△DAF∽△DEA，∴ADDFDEAD，即AD2=DE·DF.说明：本题是探索性开放题,在解决这类问题时,我们常从要获得的结论出发来探求该结论成立的条件.如第(1)小题中,若要PC与⊙O相切,则我们需要怎样的条件.第(2)小题也是如此.二、结论开放题结论开放题通常是结论不确定或不惟一，解题时，需作出探索来确定结论是否成立或会有那些结论.例5如图1，以等腰三角形ABC的一腰AB为直径的⊙O交BC于D，过D作DE⊥AC于HBAEPAOCDF，可得结论DE是⊙O的切线.问：（1）若点O在AB上向点B移动，以O为圆心，OB长为半径的圆仍交BC于D，DE⊥AC的条件不变，那么上述结论是否还成立？请说明理由.（2）如果AB=AC=5cm,sinA=35,那么圆心O在AB的什么位置时，⊙O与AC相切？分析：（1）连OD.∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB=∠C，∴OD∥AC，从而可得OD⊥DE，结论仍然成立.（2）若⊙O与AC相切，设切点为F，连OF，则由Rt△AOF中可求得OF=158，即OB=158.解：（1）结论仍然成立.如图2，连OD，则OD=OB，∠OBD=∠ODB.又AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠ODB=∠C，∴OD∥AC.∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线.（2）如图3，若AC与⊙O切于点F，连OF，则OF⊥AC，即△AOF是直角三角形，∴sinA=355OFOBAOOB，∴OB=158，即当OB=158时，⊙O与AC相切.说明：本例的两小题都属于结论不确定性的开放性问题.第（1）小题是直接从题设条件出发探求结论是否成立；第（2）小题是从题设的结论出发来探求结论成立的条件，这也是解决这类问题的常用方法.例6如图1，⊙O的直径AB，过半径OA的中点G作弦CE⊥AB，在CB上取一点D，分别作直线CD、ED，交直线AB于点F、M.（1）求∠COA和∠FDM的度数；ABOECD图1AOBECD图2ABCOF图3（2）求证：△FDM∽△COM；（3）如图2，若将垂足G改取为半径OB上任意一点，点D改取在EB上，仍作直线CD、ED，分别交直线AB于点F、M.试判断：此时是否仍有△FDM∽△COM？证明你的结论.（1）解：∵AB是⊙O的直径，CE⊥AB，∴ACCE，CG=EG.在Rt△COG中，∵OG=12OC，∴∠OCG=30，∴∠COA=60.又∠CDE的度数=12CAE的度数=AC的度数=∠COA=60，∴∠FDM=180-∠COA=120.（2）证明：∵∠COM=180-∠COA=120，∴∠COM=∠FDM.在Rt△CGM和Rt△EGM中，GM=GM，CG=EG，∴Rt△CGM≌Rt△EGM，∴∠GMC=∠GME.又∠DMF=∠GME，∴∠OMC=∠DMF，∴△FDM∽△COM.（3）解：结论仍然成立.∵∠FDM=180-∠CDE，∴∠CDE的度数=12CAE的度数=AC的度数=∠COA，∴∠FDM=180-∠COA=∠COM.∵AB为直径，CE⊥AB，∴在Rt△CGM和Rt△EGM中，GM=GM，CG=EG，∴Rt△CGM≌Rt△EGM，∴∠GMC=∠GME，∴△FDM∽△COM.说明：本题的第（3）小题是在第（2）小题改变条件的情况下，探求结论是否还成立.在探求时应寻着（2）的解题思路来进行.三、解题策略开放题解题策略开放题，现在更多的是以要求解题者设计解题方案来设计题目.DAFCEDMOGBAFCEMOGB图1图2的直角三角形组成，利用这副三角板构成一个含150角的方法很多，请你画出其中两种不同构成的示意图，并在图上作出必要的标注，不写作法.分析：本题可利用这副三角板中的角做“加减运算”：600-450，或450-300，或600+450-900等来得到150的角.解：如图所示.图1中就包含有两中构造方法，∠ABD和∠ACD都等于15；图2中，∠EFG=15.请同学们试着拼出其它的图形.说明：这类拼图组合，给出了一定的条件，但解决问题的办法需要我们自己来寻找.通常解决这类问题的方法不惟一.用现有的工具去解决问题，这在实际生产和生活中常会遇到.例8如图，把边长为2cm的正方形剪成四个全等的直角三角形.请用这四个直角三角形拼成符合下列要求的图形（全部用上，互不重叠且不留空隙），并把你的拼法仿照图1按实际大小画在方格纸内（方格为1cm×1cm）.（1）不是正方形的菱形（一个）；（2）不是正方形的矩形（一个）；（3）梯形（一个）；（4）不是矩形和菱形的平行四边形（一个）；（5）不是梯形和平行四边形的凸四边形（一个）；（6）与以上画出的图形不全等的其他凸四边形（画出的图互不全等，能画出几个画几个，至少画三个）.解：（1）（2）（3）（4）（5）（6）说明：本例是一道设计图形的开放性试题，这类题近几年在全国各地的中考试题中经常出现.设计型开放题，有利于培养学生的发散性思维能力，有利于充分发挥学生的想象ABCDEFG图1图2力和创造力，这对培养学生的创新意识和创新精神具有着积极的作用，例9有一种“二十四点”游戏，其规则是这样的：任取四个1至13之间的自然数，将这四个数（每个数用且只用一次）进行加减乘除四则运算，使其结果等于24.例如对1，2，3，4，可以运算得（1＋2＋3）×4＝24（注意上述运算与4×（1＋2＋3）应视作相同方法的运算）.现有四个有理数3，4，－6，10，用上述规则写出三种不同方法的算式，使其结果等于24，运算如下：（1）_____________________；（2）________________________；（3）_______________.另有四个有理数3，－5，7，－13，可通过运算式（4）____________________________，使其结果等于24.分析：“二十四点”游戏，小学生也可参加.本题将数的范围扩大到整数范围，变成新的游戏，其实就是有理数的运算.本题具有开放性，答案是不唯一的.解：（1）3×[4＋（－6）＋10]＝24；（2）4－（－6）÷3×10＝24；（3）（10－4）－3×（－6）＝24.（4）[（－5）×（－13）＋7]÷3＝24.说明：本题将有理数的运算与学生熟知的游戏结合起来，使数学学习更具趣味性.四、题目结构开放题以看作是一个条件开放题.例10某一学生在做作业时，不慎将墨水瓶打翻，使一