专题讲座统计与概率

专题讲座初中数学“统计与概率”的教学研究俞京宁（中学数学高级教师，教研员）各位老师，大家好！今天我们讨论的话题是初中数学“统计与概率”的教学研究与案例评析。可能一听到这个话题，您就感到既亲切又轻松，亲切是因为在现代社会，离不开数据，我们在生活中时时、处处都与数据打交道，比如您去超市购物，需要考虑所购物品的大致费用；您在教学中要了解学生的考试分数，以便分析教与学的情况等等，我们需要从数据中获得对自己有帮助的东西；轻松是因为学生自小学甚至幼儿园就开始接触并不断学习数据，对有关数据的基本知识比较熟悉，所以学习相关的内容，障碍较少，而且由于这部分内容与生活密切联系，学生的学习兴趣也比较容易激发。但恰恰是这些原因以及中考对这部分的要求不是很高，容易造成部分教师对这部分内容的轻视，认为了解一下就行。其实统计与概率作为应用数学的一部分，有着重要的意义，再有基于在这部分的教学中存在许多问题，所以作为教师我们有必要将初中数学“统计与概率”的教学内容做进一步研究，澄清认识的同时，能够做到引起学生的重视，使他们在日常的学习生活中能自觉的使用数据说话。一、对初中“统计与概率”数学知识的深层次理解（一）统计与概率的知识结构图简单的说，统计的研究对象是数据，我们通过数据的收集、整理、描述加以分析，最终对所研究的问题作出决策；而概率是对我们所关注的不确定事件通过计算的方法获取其发生可能性的大小或者根据需要设计实验。从统计学内在的知识体系看，概率是统计学的有机组成部分，在数据的分析阶段，可以利用概率进行统计分析，从数据中得出结论，根据结论进行预测或判断。因此，在初中阶段，可以把概率看成是统计过程的一个阶段。（二）统计与概率在数学学科中的地位与作用我们先了解一下统计的背景。严格的说，有两类统计学。第一类叫描述性统计学。举个例子，要知道某个班的成绩的基本情况，就要知道这个班里每一个人、每一个学科的成绩，和有关成绩的所有情况，作为分析的基础，然后利用平均分、方差等等进一步定量分析，通常把这样的一种研究数据的方法，称之为描述性统计学，很多领域都用描述性统计学。第二类叫推断统计学，数学上称之为数理统计学。关于数理统计学，一个非常重要的环节，就是要做抽样，要用样本来反映整体的情况。例如要了解全国中学生每天体育锻炼的时间，不必调查到所有中学生的锻炼时间，只需要在不同区域选择部分学校的部分学生进行调查即可。所以，对这两种不同的统计学，我们要有一个基本的了解。在初中阶段，希望老师能够引导学生体会利用统计解决问题的基本过程：从数据的收集到数据的表示，比如用各种图表来呈现出这些数据，从数据中提取有用的信息，再比如要计算一些（测程）值，平均值，方差，中位数等，这个过程是非常重要的。为什么要研究这个过程？是希望能从这些数据中挖掘出有用的东西，来帮助我们解决问题，比如刚才提到的比较两个班的学习成绩，就是要看能给提供什么样的信息，以帮助我们有针对性的改进教学。再有合情推理与演绎推理这两种思想在统计过程中得到了非常好的体现，他们在整个数学的学习中都很重要。目前，在统计的执笔测试中，对这部分内容的要求并不是很高，而是越来越侧重怎么样从数据出发去学。所以，要帮助学生体会这样一个过程。统计的内容并不多，但是它的重要程度并不小，对将来学生进入社会以后的作用不可低估。概率是概率论的原始概念，它是随机事件发生可能性大小的数字度量。在概率论中，人们总是通过研究随机试验来研究随机现象的。所以，探讨随机现象中隐藏的规律，实际上就是探求随机试验的规律。统计与概率所提供的这种“运用数据进行推断”的思考方法已经成为现代社会一种普遍适用并且强有力的思维方式。这一部分知识是最接近数学本质的。因为在我们生活中与数学相关的知识大部分是无法用具体的表达式来刻画，而统计学恰恰解决了难于用简洁的语言来刻画数学模型的问题。《数学课程标准》把“统计与概率”单独作为一块内容，是因为它的实用价值和教育意义。义务教育阶段，通过概率与统计的学习，应当使学生熟悉统计与概率的基本思想方法，以随机的观点来理解现实世界。在面对大量数据和不确定情境时，能够制定较为合理的决策，逐步形成统计观念，养成尊重事实、用数据说话的态度，增强用数学的意识。不仅如此，让学生了解随机现象也有助于形成科学的世界观和方法论。1．从《新课程标准》看统计与概率的主要内容有：收集、整理和描述数据，包括简单抽样、整理调查数据、绘制统计图表等；处理数据，包括计算平均数、中位数、众数、极差、方差等；从数据中提取信息并进行简单的推断；简单随机事件及其发生的概率。在数学教学中，应当注重发展学生的数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力和模型思想。2．从《考试说明》看2012年考试说明中提出“数学学科中考注重考查统计观念”，其中对“根据统计结果作出合理的判断和预测，并能比较清晰地表达”、“能利用统计图表解决简单的实际问题”提出了较高要求。3．从生活、学习需求看前面已经说过，在我们的生活中离不开数据，需要从数据中获得对自己有帮助的东西，而学习这部分内容是为了在生活中更好的利用数据为我们服务。所以，无论从哪个角度看，这部分的内容都十分重要。（三）切实把握课标中对“统计与概率”的教学要求新课程标准修订稿中对统计与概率的要求如下：1.经历收集、整理、描述和分析数据的活动，了解数据处理的过程；能用计算器处理较为复杂的数据。2.体会抽样的必要性，通过案例了解简单随机抽样。3.会制作扇形统计图，能用统计图直观、有效地描述数据。4.理解平均数的意义，能计算中位数、众数、加权平均数，了解它们是数据集中趋势的描述。5.体会刻画数据离中程度的意义，会计算简单数据的方差。6.通过实例，了解频数和频数分布的意义，能画频数直方图，能利用频数直方图解释数据中蕴涵的信息。7.体会样本与总体关系，知道可以通过样本平均数、样本方差推断总体平均数、总体方差。8.能解释统计结果，根据结果作出简单的判断和预测，并能进行交流。9.通过表格、折线图、趋势图等，感受随机现象的变化趋势。10.能通过列表、画树状图等方法列出简单随机事件所有可能的结果，以及指定事件发生的所有可能结果，了解事件的概率。11.知道通过大量地重复试验，可以用频率来估计概率。课标对统计的教学要求多为“经历”“体会”“了解”等，这些就提示我们对于统计的教学要设置合理的教学任务，使学生亲自参与到全面调查或者抽样调查的过程中，能够用适合的方法收集数据，并且将数据进行整理，运用适当的方法表示数据，并在此基础上利用相关的统计量进行数据分析，对统计问题作出简单的判断与预测。对于概率的教学，在体会随机性的过程中，会用列举法求简单随机事件的概率（所涉及的古典概率，不需要用到排列组合），以及了解概率的统计定义。这两部分教学要依据课标要求，重在经历、体会。不可省去过程，直接进入到公式的计算或图表的分析。（四）“统计与概率”的教学重点与难点统计与概率学研究的对象、研究的思路与方式、以及获得的研究结论的性质，都与过去学生所接触到的数学内容有根本的不同。以往学的代数、几何属于“确定性”数学，学习时主要依赖逻辑思维和演绎的方法，它们在培养学生的计算能力、逻辑思维能力和空间观念方面发挥着重要作用。而统计与概率属于“不确定性”数学，要寻找随机性中的规律性，学习时主要依靠辨证思维和归纳的方法，它在培养学生的实践能力和合作精神等方面更直接、更有效。具体从以下三个方面对比：1.研究对象不同由对确定性现象的研究变为对不确定性现象的研究。对于不确定性的现象本身来讲，又有两种情况：抛掷一枚硬币，我们不能确定是国徽面还是币值面朝上，但可以确定“非此即彼”，不存在“亦此亦彼”的问题，即这是一种结果出现的偶然性（又叫随机性）问题。偶然性是与必然性相对应的。偶然性刻画的是认知对象出现（内外）条件方面的不确定性，而关于认知对象本身在类属和性态方面的定义是完全确定的。统计与概率研究的对象具有不确定性，但不确定性现象并不都是统计与概率研究的对象。例如“两个人长得像”的现象也是不确定的，它是一种更复杂的不确定性，我们把它称为模糊性。不确定性的随机性与模糊性是有区别的：随机性的不确定，反映在某事件是否发生，判据是明确的；模糊性的不确定，反映在事件本身的涵义上，判据不分明。统计与概率研究的是前者；后者是模糊数学研究的内容。2.研究的思路与方式不同数学在研究确定性现象过程中所用的科学推理方式基本上属于演绎推理的方式，由一般到特殊；而统计学在研究不确定性现象时，由样本推断总体，使用的是归纳推理，而且很多时候是不完全归纳推理。因此，统计学研究所获得的结果不像以往学生学习的用演绎推理所获得的结果那样“确定无疑”。3.所获得的结果不同统计学所得到并予以接受的结果主要是局部的、归纳性的；而以往在确定性数学的学习过程中，得到的经常是较为一般性的、演绎的结果。这些差异的存在，都会造成学生在学习统计与概率过程中的困难。所以，“统计与概率”的教学重点与难点应该是使学生理解统计的思想和方法以及概率的意义，突出其应用性，培养学生应用数学知识解决实际问题的意识和能力。而在实际教学中，教师们更偏重于如何计算各种统计量，使得学生只会算，对其意义的理解不够，有的甚至对所列算式说不出根据。二、“统计与概率”内容的教学策略（一）把握学生对统计与概率的认知基础，遵循“最近发展区原则”由于统计与概率的内容从小学到初、高中，均有涉及，遵循新教材逐级递进、螺旋上升的编写原则，由浅入深、由感性到理性，要求学生逐步掌握统计与概率的相关内容并能应用他们解决一些实际问题。所以，作为初中阶段的教学，我们有必要了解新课程标准中初中和小学对这部分的教学要求。小学阶段对统计与概率内容的学习要求：分1-3，4-6两个学段，学生经历简单的数据统计过程，学习收集、整理和描述数据的方法，并能够根据数据分析的结果作出简单的判断与预测；体会事件发生可能性的含义，并能计算一些简单事件发生的可能性。初中阶段对统计与概率内容的学习要求：体会抽样的必要性以及用样本估计总体的思想，进一步学习描述数据的方法，进一步体会概率的意义，能计算简单事件发生的概率，具体的对比分析如下表。初中、小学“统计与概率”教学目标对比表内容小学初中区别统计的过程经历简单的收集、整理、描述和分析数据的过程（必要时可使用计算器）。从事收集、整理、描述和分析数据的活动，能用计算器处理较为复杂的统计数据从“经历”与“从事”这两个动词中可以看出：小学是在教师的引导下参与统计的全过程，面对的问题比较简单；而初中更多的是学生独立从事统计的全过程，面对的统计问题比小学的稍微复杂一些。统计图认识条形统计图、折线统计图、扇形统计图；根据需要，选择条形统计图、折线统计图直观、有效地表示数据。会用扇形统计图表示数据；会列频数分布表，画频数分布直方图和频数折线图。初中在小学的基础上，进一步学习各种统计图的应用，此外增加了画频数分布直方图和频数折线图。所以，还要弄清频数分布直方图与条形统计图的区别。统计量理解并会求数据的平均数、中位数、众数。会计算加权平均数，会计算极差和方差，并会用它们表示数据的离散程度对于描述数据集中趋势的三个统计量的计算方法没变，只是数据由非负数扩充到实数；进一步学习加权平均数的计算方法；还增加了刻画数据波动情况的极差与方差。调查方法全面调查抽样调查：用样本估计总体初中增加了样本、总体等新的概念；要求学生体会用样本估计总体的思想以及感受抽样的必要性，体会不同的抽样可能得到不同的结果。概率的定义可能性了解概率的意义小学没出现概率的定义，只提出“事件的可能性”，初中在此基础上给出概率的定义，并介绍了概率的统计定义概率的求法体验事件发生的等可能性，会求一些简单事件发生的可能性。运用列举法（包括列表、画树状图）计算简单事件发生的概率；知道大量重复实验时频率可作为事件发生概率的估计值。对于结果具有等可能性事件的概率计算，初中在小学基础上，学习用列表、画树状图计算简单事件发生的概率；还需要了解结果不具有等可能事件的概率求法，即用频率估计概率的方法。通过对比初中、小学的学习目标，我们可以感受到：初中的部分