专题训练1函数的零点

专题一:函数的零点专题1第1页函数的零点【例1】►函数f(x)＝x－cosx在[0，＋∞)内()．A．没有零点B．有且仅有一个零点C．有且仅有两个零点D．有无穷多个零点B确定函数零点的常用方法：①解方程判定法，若方程易求解时用此法；②零点存在的判定定理法，常常要结合函数的性质、导数等知识；③数形结合法．【突破训练1】函数f(x)＝x2＋2x－3，x≤0，－2＋lnx，x＞0的零点个数为()．A．0B．1C．2D．3答案：C【突破训练2】(2011·北京)已知函数f(x)＝2x，x≥2，x－13，x＜2，若关于x的方程f(x)＝k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是________．答案(0,1)利用导数来研究函数的零点问题利用导数可判断函数图象的变化趋势及单调性，而函数的单调性往往与方程的解交汇命题．因此，可借助导数这一工具来研究函数的零点问题．【例2】►已知函数f(x)＝axsinx－32(a∈R)，且在0，π2上的最大值为π－32.(1)求函数f(x)的解析式；(2)判断函数f(x)在(0，π)内的零点个数，并加以证明．[满分解答](1)由已知得f′(x)＝a(sinx＋xcosx)，对于任意x∈0，π2，有sinx＋xcosx＞0.当a＝0时，f(x)＝－32，不合题意；当a＜0时，x∈0，π2时，f′(x)＜0，从而f(x)在0，π2内单调递减，又f(x)在0，π2上的图象是连续不间断的，故f(x)在0，π2上的最大值为f(0)＝－32，不合题意；(4分)当a＞0，x∈0，π2时，f′(x)＞0，从而f(x)在0，π2内单调递增，又f(x)在0，π2上的图象是连续不间断的，故f(x)在0，π2上的最大值为fπ2，即π2a－32＝π－32，解得a＝1.综上所述，得f(x)＝xsinx－32.(6分)(2)f(x)在(0，π)内有且只有两个零点．证明如下：由(1)知，f(x)＝xsinx－32，从而有f(0)＝－32＜0，fπ2＝π－32＞0，又f(x)在0，π2上的图象是连续不间断的，所以f(x)在0，π2内至少存在一个零点．又由(1)知f(x)在0，π2上单调递增，故f(x)在0，π2内有且只有一个零点．(9分)当x∈π2，π时，令g(x)＝f′(x)＝sinx＋xcosx.由gπ2＝1＞0，g(π)＝－π＜0，且g(x)在π2，π上的图象是连续不间断的，故存在m∈π2，π，使得g(m)＝0.由g′(x)＝2cosx－xsinx，知x∈π2，π时，有g′(x)＜0，专题一:函数的零点专题1第2页从而g(x)在π2，π内单调递减．当x∈π2，m时，g(x)＞g(m)＝0，即f′(x)＞0，从而f(x)在π2，m内单调递增，故当x∈π2，m时，f(x)≥fπ2＝π－32＞0，故f(x)在π2，m上无零点；(12分)当x∈(m，π)时，有g(x)＜g(m)＝0，即f′(x)＜0，从而f(x)在(m，π)内单调递减．[又f(m)＞0，f(π)＜0，且f(x)在[m，π]上的图象是连续不断的，从而f(x)在(m，π)内有且仅有一个零点．综上所述，f(x)在(0，π)内有且只有两个零点．(14分)老师叮咛：本题综合考查了导数法判断函数的单调性、最值和函数零点的判断.第1问需对a分类讨论，利用f′x的正负与fx单调性的关系求得结果.第2问需要经过二次求导，原因是一次求导不能判断其导数的正负，还需第二次求导，再结合零点存在定理判断函数在某个区间内零点存在情况.【试一试】已知函数f(x)＝x3，g(x)＝x＋x.求函数h(x)＝f(x)－g(x)的零点个数，并说明理由．解h(x)恰有两个零点．分离x,=0与否。换元根号x为t.例3。(2012辽宁)设函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝f(x)，f(x)＝f(2－x)，且当x∈[0，1]时，f(x)＝x3.又函数g(x)＝|xcos(πx)|，则函数h(x)＝g(x)－f(x)在[－12，32]上的零点个数为()A．5B．6C．7D．8B作图，需用x=0.25.例4.已知函数f(x)＝log2x，x0，3x，x≤0，且关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是________．[答案](1，＋∞)训练11．函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是()．A．(－2，－1)B．(－1,0)C．(0,1)D．(1,2)2．函数f(x)＝xcosx2在区间[0,4]上的零点个数为()．A．4B．5C．6D．73．函数f(x)＝x12－12x的零点个数为()．A．0B．1[来源:学科网]C．2D．3高考对本部分的考查有：(1)①确定函数零点；②确定函数零点的个数；③根据函数零点的存在情况求参数值或取值范围．1．关于零点问题，要学会分析转化，能够把与之有关的不同形式的问题，化归为适当方程的零点问题．答案1：B答案C答案B2.零点存在性定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a)·f(b)＜0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．注意以下两点：①满足条件的零点可能不唯一；②不满足条件时，也可能有零点．在处理二次函数问题时，要注意f(x)的几种常见表达形式(1)y＝ax2＋bx＋c；专题一:函数的零点专题1第3页(2)y＝a(x－x1)(x－x2)；(3)y＝a(x－h)2＋k.函数零点的判断常考查：①根据函数解析式判断零点所在的区间；②根据函数解析式求零点的个数问题．可采用零点判定定理、数形结合法求解，高考命题有加强的趋势，难度中档偏下．训练21．用min{a，b，c}表示a，b，c三个数中的最小值．设f(x)＝min{2x，x＋2，10－x}(x≥0)，则f(x)的最大值为()A．4B．5C．6D．72．函数y＝11－x的图象与函数y＝2sinπx(－2≤x≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于()A．2B．4C．6D．83．在△ABC中，AB＝3，BC＝2，∠A＝π2，如果不等式|BA→－t·BC→|≥|AC→|恒成立，则实数t的取值范围是()A．[1，＋∞)B．[12，1]C．(－∞，12]∪[1，＋∞)D．(－∞，0]∪[1，＋∞)4．定义在R上的函数f(x)满足：f(－x)＝－f(x＋4)，且x2时f(x)递增，x1＋x24，(x1－2)(x2－2)0，则f(x1)＋f(x2)的值是()A．恒为正数B．恒为负数C．等于0D．正、负都有可能5．在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2＋y2＝4上有且只有四个点到直线12x－5y＋c＝0的距离为1，则实数c的取值范围是______________．6.已知函数y＝x3-3x+c的图像与x轴恰有两个公共点，则c＝（A）-2或2（B）-9或3（C）-1或1（D）-3或17.（2013重庆）若,则函数的两个零点分别位于区间()A.和内B.和内C.和内D.和内8.（2013湖南）函数2lnfxx的图像与函数245gxxx的图像的交点个数为A.3B.2C.1D.09.（2012年高考（湖北理））函数在区间上的零点个数为（）A．4B．5C．6D．710.(2011山东)已知()fx是R上最小正周期为2的周期函数，且当02x时,3()fxxx,则函数()yfx的图象在区间[0,6]上与x轴的交点的个数为（A）6（B）7（C）8（D）911.(2011课标)函数11-yx的图像与函数2sin(24)yxx的图像所有焦点的横坐标之和等于（A）2(B)4(C)6(D)8知识方法总结:abcfxxaxbxbxcxcxa,ab,bc,a,ab,bc,c,a,c2()cosfxxx[0,4]专题一:函数的零点专题1第4页答案1C;D;C;B;(－13，13)【答案6】AABX【答案10】B答案11D补充例题例1.（2012年全国大纲卷理5分）已知函数3=3yxxc的图像与x轴恰有两个公共点，则=c【】A．或2B．或3C．或1D．或1例2.（2012年北京市文5分）函数1x21fx=x2的零点个数为【】A.0B.1C.2D.3例3.（2012年天津市理5分）函数3()=2+2xfxx在区间(0,1)内的零点个数是【】（A）0（Ｂ）1（Ｃ）2（Ｄ）3[来源:学科网]例4.（2012年辽宁省理5分）设函数f(x)()xR满足f(x)=f(x)，f(x)=f(2x)，且当[0,1]x时，f(x)=x3.又函数g(x)=|xcos()x|，则函数h(x)=g(x)-f(x)在13[,]22上的零点个数为【】(A)5(B)6(C)7(D)8【答案】A[来源:学科网B。B。B。[来源:学科网]训练3(1)函数f(x)＝2x＋k1－k·2x(x≠0)是奇函数，则实数k等于()A．1B．0C．1或－1D．0或1(2)已知以T＝4为周期的函数f(x)＝m1－x2，x∈（－1，1]，1－|x－2|，x∈（1，3]，其中m0.若方程3f(x)＝x恰有5个实数解，则m的取值范围为_______________．(3)若直线y＝x＋b与曲线y＝3－4x－x2有公共点，则b的取值范围是()A．[－1，1＋22]B．[1－22，1＋22]C．[1－22，3]D．[1－2，3](4)当0≤x≤1时，不等式sinπx2≥kx成立，则实数k的取值范围是______________．5已知函数f(x)＝xlnx.(1)求f(x)的最小值；(2)讨论关于x的方程f(x)－m＝0(m∈R)的解的个数.【答案】C;(153，7);C;(－∞，1]2913