151-153曲边梯形的面积汽车行驶的路程(讲)

1.了解定积分的基本思想“以直代曲”“逼近”的思想.（重点）2.“以直代曲”“逼近”的思想的形成与求和符号.（难点）1.5定积分的概念1.5.1曲边梯形的面积1.5.2汽车行驶的路程1.5.3定积分的概念这些图形的面积该怎样计算？例题（阿基米德问题）：求由抛物线y=x2与直线x=1,y=0所围成的平面图形的面积．Archimedes，约公元前287年—约公元前212年问题1：我们是怎样计算圆的面积的？圆周率是如何确定的？问题2：“割圆术”是怎样操作的？对我们有何启示？xy1.曲边梯形的概念：如图所示，我们把由直线x=a,x=b(a≠b),y=0和曲线y=f(x)所围成的图形称为曲边梯形．如何求曲边梯形的面积？abf(a)f(b)y=f(x)xyO对任意一个小曲边梯形，用“直边”代替“曲边”（即在很小范围内以直代曲)探究1:曲边梯形的面积直线x1，y0及曲线yx2所围成的图形（曲边梯形）面积S是怎么计算？为了计算曲边梯形的面积S，将它分割成许多小曲边梯形，xyO1方案1方案2方案3解题思想“细分割、近似和、渐逼近”下面用第一种方案“以直代曲”的具体操作过程（1）分割把区间[0，1]等分成n个小区间：112i1in1n[0,],[,],,[,],,[,],nnnnnnnii11xnnn过各区间端点作x轴的垂线，从而得到n个小曲边梯形，它们的面积分别记作12inS,S,,S,,S.每个区间长度为1niiSS（2）近似代替2ii1i11Sf()x()nnn（3）求和n12nii1nn2i1i122223SSSSS,i-11i-11f()()nnnn1[012(n1)]n(i=1,2,…,n)（4）取极限n→∞当分割无限变细，即Δx→0(亦即n→+∞)时，1111S=lim1-1-=3n2n31即所求曲边梯形的面积为.331(n1)n(2n1)n6111(1)(1)3n2n演示区间[0,1]的等分数nS的近似值Sn20.1250000040.2187500080.27343750160.30273438320.31787109640.325561521280.329437262560.331382755120.3323574110240.3328452120480.33308923……我们还可以从数值上看出这一变化趋势20111,11limlim.3iinniixniiiifxxfnnSfxfn取在区间上任意一点处的值作为近似值，都有分割近似代替求和取极限一般地，对于曲边梯形，我们也可采用的方法，求其面积.思考1：已知物体运动路程与时间的关系,怎样求物体的运动速度？例如s(t)=3t2+2.则v(t)=s´(t)=6t+0.s=vt直接求出探究2：汽车行驶的路程思考2：已知物体运动速度为v(常量)及时间t，怎么求路程？思考3：如果汽车做变速直线运动，在时刻t的速度为v(t)=－t2+2.那么它在0≤t≤1这段时间内行驶的路程s是多少呢？1SD2SD2()2vttOvt12ggggg3SDjSDnSD1n2n3njnn-1n4SD解：（1）分割在时间区间0,1上等间隔地插入1n个分点，将区间0,1等分成n个小区间：10,n，12,nn，…，1,1nn记第i个区间为1,(1,2,,)iiinnn，其长度为11iitnnn把汽车在时间段10,n，12,nn，…，1,1nn上行驶的路程分别记作：1S，2S，…，nS显然，1niiSS（2）近似代替当n很大，即t很小时，在区间1,iinn上，可以认为函数22vtt的值变化很小，近似地等于一个常数，不妨认为它近似地等于左端点1in处的函数值2112iivnn，从物理意义看，就是汽车在时间段1,iinn(1,2,,)in上的速度变化很小，不妨认为它近似地以时刻1in处的速度2112iivnn做匀速直线运动，即在局部小范围内“以匀速代变速”，于是用小矩形的面积iS近似地代替iS，则有21112iiiiSSvtnnn2112(1,2,,)iinnnn①（3）求和由①得，21111112nnnniiiiiiSSvtnnnn=221111102nnnnnn=222311212nn=3121126nnnn=11111232nn从而得到S的近似值11111232nSSnn.（4）取极限当n趋向于无穷大时，即t趋向于0时，11111232nSnn趋向于S，从而有111limlimnnnniiSSvnn1115lim112323nnn.思考4：结合求曲边梯形面积的过程，你认为汽车行驶的路程s与由直线t=0，t=1，v=0和曲线v=－t2+2所围成的曲边梯形的面积有什么关系？图中矩形面积的和就是曲边梯形的面积，从而汽车行驶的路程在数值上就等于相应曲边梯形面积.slimsnnotv12tv265.1图,,(),,.vvtatb一般地如果物体做变速直线运动速度函数为那么我们也可采用分割、近似代替、求和、取极限的方法求出它在内的位移s2lim0,1,02.nnSSttvvt从而，汽车行驶的路程在数值上等于由直线和曲线所围成的曲边梯形的面积探究3：定积分的定义从求曲边梯形面积S的过程中可以看出,通过以下四步:分割——近似代替——求和——取极限得到解决.0111limlim.nniixniiSfxfn曲边梯形面积11()()nniiiibafxfni-1ii将区间[a,b]等分成n个小区间，在每个小区间[x,x]上任取一点ξ(i=1,2,...,n),作和式011iinaxxxxxb如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，用分点2.定积分的定义0111limlim.nniitniisvtvn变速运动的路程1()lim().nbianibafxdxfn即()[,]()banfxabfxdx当时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数在区间上的定积分，记作[,]())(ababffxdxxx这里，和分别叫做积分下限和积分上限,区间叫做积分区间，函数叫做被积函数，叫做积分变量，叫做被积式.定积分的定义的理解:定积分的相关名称：———叫做积分号，f(x)——叫做被积函数，f(x)dx—叫做被积式，x———叫做积分变量，a———叫做积分下限，b———叫做积分上限，[a,b]—叫做积分区间.Oabxy)(xfy1()lim().nbianibafxdxfn被积函数被积式积分变量积分下限积分上限1()lim().nbianibafxdxfn探究4:定积分()bafxdx的几何意义：3.定积分的几何意义:如果在区间[a,b]上函数f(x)连续且恒有f(x)≥0,那么定积分()bafxdx表示由直线x=a,x=b,y=0和曲线y=f(x)所围成的曲边梯形的面积.Oxyabyf(x)按定积分的几何意义，有(1)由连续曲线y=f(x)(f(x)0)，直线x=a、x=b及x轴所围成的曲边梯形的面积为(2)设物体运动的速度v=v(t)，则此物体在时间区间[a,b]内运动的距离s为baS=f(x)dx.bas=v(t)dt.1xyOf(x)=x213S根据定积分的定义，右边图形的面积为1120013().Sfxdxxdx同样地，1.5.2中汽车在0≤t≤1这段时间内经过的路程11200523()().svtdttdt(1)定积分是一个数值,它只与被积函数及积分区间有关，而与积分变量的记法无关，即总结提升：()()().bbbaaafxdxftdtfudu(2)定义中区间的分法和i的取法是任意的.3()(()).baabfxdxfxdx()0.baabfxdx特别地，当时，xyO当f(x)0时，由yf(x)、xa、xb与x轴所围成的曲边梯形位于x轴的下方，dxxfSba)]([abyf(x)yf(x)dxxfSba)]([baf(x)dxcaf(x)dxbcf(x)dx。Sdxxfba)(().bafxdxS在几何上积分dxxfba)(表示上述曲边梯形面积的负值.abyf(x)Oxy()ygx根据定积分的几何意义,如何用定积分表示图中阴影部分的面积?byf(x)Oxy1()baSfxdx()ygx2()baSgxdx探究5：用定积分表示图中阴影部分的面积12()().bbaaSSSfxdxgxdxa探究4:定积分的基本性质性质112[()()]bafxfxdx12()()bbaafxdxfxdx性质2()bakfxdx()bakfxdx(k为常数)性质3.定积分关于积分区间具有可加性1212()()()()bccbaaccfxdxfxdxfxdxfxdxOxyabyf(x)Ｃ()()()bcbaacfxdxfxdxfxdx(其中a＜c＜b)性质3不论a，b，c的相对位置如何都有aby=f(x)baf(x)dxcaf(x)dxbcf(x)dx。baf(x)dxcaf(x)dxbcf(x)dx。baf(x)dxcaf(x)dxbcf(x)dx。cOxy()()()bcbaacfxdxfxdxfxdx130例1利用定积分的定义,计算xdx的值.1.用定积分表示图中四个阴影部分面积20aAxdx2（1）在中，被函f(x)=x在[0，a]上，且f(x)0,根据定分的几何意，可得影部分的面图①积数连续积义阴积为解：0ayxf(x)=x2①222-1（2）在中，被函f(x)=x在[-1，2]上，且f(x)0,根据定分的几何意，可得影部分的面A=xdx图②积数连续积义阴积为②0xyx-12f(x)=x2x-1ba（3）在中，被函f(x)=1在[a，b]上，且f(x)0,根据定分的几何意，可得影部分的面A=dx图③积数连续积义阴积为0yxab③f(x)=120222-10（4）在中，被函f(x)=(x-1)-1在[-1，2]上，且在[-1，0]上f(x)0,在[0，2]上f(x)0，根据定分的几何意可得影部分的面A=[(x-1)-1]dx-[(x-1)-1]dx图④积数连续积义阴积为0yx-12④f(x)=(x-1)2-122sinxdx0利用定积分的几何意义说明等式成立.解：图积数连续π212π21-2在右中，被函f(x)=sinxπππ在[-，]上，且在[-，0]222π上sinx0,在[0，]上sinx0,并2有A=A,所以f(x)dx=A-A=0222A1Axyf(x)=sinx1-12.3.120计算积分1-xdx.：由定分的几何意知，定等解分值于积义积2曲y=1-x,x，x=