152汽车行驶的路程

一、导学提示，自主学习二、新课引入，任务驱动三、新知建构，典例分析四、当堂训练，针对点评五、课堂总结，布置作业1.5.2汽车行驶的路程一、导学提示，自主学习1.本节学习目标（1）通过问题情景，经历求汽车行驶路程的形成过程，了解定积分概念的实际背景。理解求汽车行驶路程的一般步骤．（2）通过问题的探究体会以不变代变、及无限逼近的思想。通过类比体会从具体到抽象、从特殊到一般的数学思想方法.学习重点：求汽车行驶路程的方法学习难点：对不变代变、无限逼近思想的理解一、导学提示，自主学习2.本节主要题型题型一利用定积分定义求汽车行驶路程3.自主学习教材P42-P441.5.2汽车行驶的路程求由连续曲线y=f(x)对应的曲边梯形面积的方法取近似求和:任取xi[xi-1,xi]，第i个小曲边梯形的面积用高为f(xi)而宽为Dx的小矩形面积(xi)Dx近似之。(1)分割:在区间[a,b]上等间隔地插入n-1个点,将它等分成n个小区间:每个小区间宽度⊿xban-=11211,,,,,,,,,iinaxxxxxxb--二、新课引入，任务驱动取极限:，所求曲边梯形的面积S为取n个小矩形面积的和作为曲边梯形面积S的近似值：xi-1y=f(x)xyObaxixixD1lim()niniSfxx==D1()niiSfxx=D二、新课引入，任务驱动通过本节的学习你能利用定积分的概念求汽车行驶的路程吗？二、新课引入，任务驱动一.新课引入二.求汽车行驶路程的步骤三、新知建构，典例分析利用导数我们解决了“已知物体运动路程与时间的关系，求物体运动速度”的问题．反之，如果已知物体的速度与时间的关系，如何求其在一定时间内经过的路程呢？三、新知建构，典例分析如果汽车做变速直线运动，在时刻t的速度为(t的单位：h，v的单位：km/h)，那么它在这段时间内行驶的路程s（单位：km）是多少？2v(t)=-t+20t1≤≤三、新知建构，典例分析分析：与求曲边梯形面积类似，采取“以不变代变”的方法，把求匀变速直线运动的路程问题，化归为匀速直线运动的路程问题．把区间[0,1]分成n个小区间，在每个小区间上，由于()vt的变化很小，可以近似的看作汽车作匀速直线运动，从而求得汽车在每个小区间上行驶路程的近似值，在求和得S（单位：km）的近似值，最后让n趋近于无穷大就得到S（单位：km）的精确值．（思想：用化归为各个小区间上匀速直线运动路程和无限逼近的思想方法求出匀变速直线运动的路程）．解：1．分割在时间区间0,1上等间隔地插入1n-个点，将区间0,1等分成n个小区间：10,n，12,nn，…，1,1nn-记第i个区间为1,(1,2,,)iiinnn-=，其长度为11iitnnn-D=-=把汽车在时间段10,n，12,nn，…，1,1nn-上行驶的路程分别记作：1SD，2SD，…，nSD显然，1niiSS==D（2）近似代替当n很大，即tD很小时，在区间1,iinn-上，可以认为函数22vtt=-的值变化很小，近似的等于一个常数，不妨认为它近似的等于左端点1in-处的函数值2112iivnn--=-，从物理意义上看，即使汽车在时间段1,iinn-(1,2,,)in=上的速度变化很小，不妨认为它近似地以时刻1in-处的速度2112iivnn--=-作匀速直线运动即使汽车在时间段即在局部小范围内“以匀速代变速”，于是的用小矩形的面积iSD近似的代替iSD，则有21112iiiiSSvtnnn--DD=D=-2112(1,2,,)iinnnn-=-=①三、新知建构，典例分析（3）求和由①得，21111112nnnniiiiiiSSvtnnnn===--=D=D=-=221111102nnnnnn-----=222311212nn--=3121126nnnn---=11111232nn---从而得到S的近似值11111232nSSnn=---（4）取极限当n趋向于无穷大时，即tD趋向于0时，11111232nSnn=---趋向于S，从而有111limlimnnnniiSSvnn=-==1115lim112323nnn=---=三、新知建构，典例分析结合求曲边梯形面积的过程，你认为汽车行驶的路程s和由直线t=0，t=1,v=0和曲线所围成的曲边梯形的面积有什么关系？2v(t)=-t+2探究结合上述求解过程可知，汽车行驶的路程limnnSS=在数据上等于由直线0,1,0ttv===和曲线22vt=-所围成的曲边梯形的面积．三、新知建构，典例分析一般地，如果物体做变速直线运动，速度函数为vvt=，那么我们也可以采用分割、近似代替、求和、取极限的方法，利用“以不变代变”的方法及无限逼近的思想，求出它在a≤t≤b内所作的位移S．结论三、新知建构，典例分析1.弹簧在拉伸的过程中，力与伸长量成正比，即力Fxkx=（k为常数，x是伸长量），求弹簧从平衡位置拉长b所作的功分析：利用“以不变代变”的思想，采用分割、近似代替、求和、取极限的方法求解．四、当堂训练，针对点评解：将物体用常力F沿力的方向移动距离x，则所作的功为WFx=．（1）．分割在区间0,b上等间隔地插入1n-个点，将区间0,1等分成n个小区间：0,bn，2,bbnn，…，1,nbbn-记第i个区间为1,(1,2,,)ibibinnn-=，其长度为1ibibbxnnn-D=-=把在分段0,bn，（2）近似代替有条件知：11'iibibbWFxknnn--D=D=(1,2,,)in=2,bbnn，…，1,nbbn-上所作的功分别记作：1WD，2WD，…，nWD（3）求和111'nnniiiibbWWknn==-=D==220121kbnn-22211122nnkbkbnn-==-从而得到W的近似值2112nkbWWn=-（4）取极限2211limlim'lim122nninnnikbkb===D=-=所以得到弹簧从平衡位置拉长b所作的功为：22kb四、当堂训练，针对点评P45练习1.解：1．分割在时间区间0,1上等间隔地插入1n-个点，将区间0,1等分成n个小区间：10,n，12,nn，…，1,1nn-记第i个区间为1,(1,2,,)iiinnn-=，其长度为11iitnnn-D=-=把汽车在时间段10,n，12,nn，…，1,1nn-上行驶的路程分别记作：1SD，2SD，…，nSD显然，1niiSS==D（2）近似代替当n很大，即tD很小时，在区间1,iinn-上，可以认为函数22vtt=-的值变化很小，近似的等于一个常数，不妨认为它近似的等于右端点in处的函数值22iivnn=-，从物理意义上看，即使汽车在时间段1,iinn-(1,2,,)in=上的速度变化很小，不妨认为它近似地以时刻in处的速度22iivnn=-作匀速直线运动即使汽车在时间段即在局部小范围内“以匀速代变速”，于是的用小矩形的面积iSD近似的代替iSD，则有212iiiiSSvtnnnDD=D=-212(1,2,,)iinnnn=-=L①三、新知建构，典例分析（3）求和由①得，211112nnnniiiiiiSSvtnnnn====D=D=-gg=2221111122nnnnnnnn-----L=22231122nn-L=3121126nnnn-=11111232nn-从而得到S的近似值11111232nSSnn=-（4）取极限当n趋向于无穷大时，即tD趋向于0时，11111232nSnn=-趋向于S，从而有11limlimnnnniiSSvnn===1115lim112323nnn=-=三、新知建构，典例分析五、课堂总结，布置作业1．课堂总结：（1）涉及知识点：用定积分定义求汽车行驶路程的步骤。（2）涉及数学思想方法：转化与回归思想；数形结合思想；以不变代变、无限逼近思想。求汽车行驶路程的“四个步骤”：1°分割化整为零2°近似代替以直代曲3°求和积零为整4°取极限刨光磨平五、课堂总结，布置作业五、课堂总结，布置作业2.作业设计：P45练习23.预习任务：选修2-2教材Ｐ45-Ｐ481.5.3定积分的概念