人工智能第三章243

3.2谓词逻辑基础一阶逻辑基本概念个体词：表示主语的词谓词：刻画个体性质或个体之间关系的词量词：表示数量的词小王是个工程师。8是个自然数。我去买花。小丽和小华是朋友。其中，“小王”、“工程师”、“我”、“花”、“8”、“小丽”、“小华”都是个体词，而“是个工程师”、“是个自然数”、“去买”、“是朋友”都是谓词。显然前两个谓词表示的是事物的性质，第三个谓词“去买”表示的一个动作也表示了主、宾两个个体词的关系，最后一个谓词“是朋友”表示两个个体词之间的关系。3.2谓词逻辑基础3.2谓词逻辑基础例如：（1）所有的人都是要死的。（2）有的人活到一百岁以上。在个体域D为人类集合时，可符号化为：（1）xP(x)，其中P(x)表示x是要死的。（2）xQ(x),其中Q(x)表示x活到一百岁以上。在个体域D是全总个体域时，引入特殊谓词R(x)表示x是人，可符号化为：（1）x（R(x)→P(x)）,其中，R(x)表示x是人；P(x)表示x是要死的。（2）x（R(x)∧Q(x)），其中，R(x)表示x是人；Q(x)表示x活到一百岁以上。一阶逻辑公式及其解释个体常量：a,b,c个体变量：x,y,z谓词符号：P,Q,R量词符号：,3.2谓词逻辑基础量词否定等值式：～(x）P（x）=（y）～P（y）～(x）P（x）=（y）～P（y）量词分配等值式：(x）(P（x）∧Q（x）)=(x）P（x）∧(x）Q（x）(x）(P（x）∨Q（x）)=(x）P（x）∨(x）Q（x）消去量词等值式：设个体域为有穷集合（a1,a2,…an）(x）P（x）=P（a1）∧P（a2）∧…∧P（an）(x）P（x）=P（a1）∨P（a2）∨…∨P（an）3.2谓词逻辑基础量词辖域收缩与扩张等值式：(x）(P（x）∨Q)=(x）P（x）∨Q(x）(P（x）∧Q)=(x）P（x）∧Q(x）(P（x）→Q)=(x）P（x）→Q(x）(Q→P（x）)=Q→(x）P（x）(x）(P（x）∨Q)=(x）P（x）∨Q(x）(P（x）∧Q)=(x）P（x）∧Q(x）(P（x）→Q)=(x）P（x）→Q(x）(Q→P（x）)=Q→(x）P（x）3.2谓词逻辑基础3.2谓词逻辑基础SKOLEM标准形前束范式定义：说公式A是一个前束范式，如果A中的一切量词都位于该公式的最左边（不含否定词），且这些量词的辖域都延伸到公式的末端。3.3谓词逻辑归结原理即：把所有的量词都提到前面去，然后消掉所有量词(Q1x1)(Q2x2)…(Qnxn)M(x1,x2,…,xn)约束变项换名规则：(Qx）M（x）=（Qy）M（y）(Qx）M（x,z）=（Qy）M（y,z）3.3谓词逻辑归结原理量词消去原则：消去存在量词“”，略去全程量词“”。注意：左边有全程量词的存在量词，消去时该变量改写成为全程量词的函数；如没有，改写成为常量。3.3谓词逻辑归结原理Skolem定理：谓词逻辑的任意公式都可以化为与之等价的前束范式，但其前束范式不唯一。SKOLEM标准形定义：消去量词后的谓词公式。注意：谓词公式G的SKOLEM标准形同G并不等值。3.3谓词逻辑归结原理例：将下式化为Skolem标准形：～(x)(y)P(a,x,y)→(x)(～(y)Q(y,b)→R(x))解：第一步，消去→号，得：～(～(x)(y)P(a,x,y))∨(x)(～～(y)Q(y,b)∨R(x))第二步，～深入到量词内部，得：(x)(y)P(a,x,y)∨(x)((y)Q(y,b)∨R(x))第三步，变元易名，得(x)(y)P(a,x,y)∨(u)(v)(Q(v,b)∨R(u))第四步，存在量词左移，直至所有的量词移到前面，(x)(y)(u)(v)(P(a,x,y)∨(Q(v,b)∨R(u))由此得到前述范式第五步，消去“”（存在量词），略去“”全称量词消去(y)，因为它左边只有(x)，所以使用x的函数f(x)代替之，这样得到：(x)(u)(v)(P(a,x,f(x))∨Q(v,b)∨R(u))消去(u)，同理使用g(x)代替之，这样得到：(x)(v)(P(a,x,f(x))∨Q(v,b)∨R(g(x)))则，略去全称变量，原式的Skolem标准形为：P(a,x,f(x))∨Q(v,b)∨R(g(x))子句与子句集文字：不含任何连接词的谓词公式。子句：一些文字的析取（谓词的和）。子句集S的求取：G→SKOLEM标准形→消去存在变量→以“，”取代“∧”，并表示为集合形式。3.3谓词逻辑归结原理G是不可满足的=S是不可满足的G与S不等价，但在不可满足得意义下是一致的。定理：若G是给定的公式，而S是相应的子句集，则G是不可满足的=S是不可满足的。注意：G真不一定S真，而S真必有G真。即：S=G3.3谓词逻辑归结原理G=G1ΛG2ΛG3Λ…ΛGn的子句形G的字句集可以分解成几个单独处理。有SG=S1US2US3U…USn则SG与S1US2US3U…USn在不可满足得意义上是一致的。即SG不可满足=S1US2US3U…USn不可满足3.3谓词逻辑归结原理例：对所有的x,y,z来说，如果y是x的父亲，z又是y的父亲，则z是x的祖父。又知每个人都有父亲，试问对某个人来说谁是它的祖父？求：用一阶逻辑表示这个问题，并建立子句集。解：这里我们首先引入谓词：P(x,y)表示x是y的父亲Q(x,y)表示x是y的祖父ANS(x)表示问题的解答3.3谓词逻辑归结原理对于第一个条件，“如果x是y的父亲，y又是z的父亲，则x是z的祖父”，一阶逻辑表达式如下：A1：(x)(y)(z)(P(x,y)∧P(y,z)→Q(x,z))SA1：～P(x,y)∨～P(y,z)∨Q(x,z)对于第二个条件：“每个人都有父亲”，一阶逻辑表达式：A2：(y)(x)P(x,y)SA2：P(f(y),y)对于结论：某个人是它的祖父B：(x)(y)Q(x,y)否定后得到子句：～（(x)(y)Q(x,y)）∨ANS(x)S～B：～Q(x,y)∨ANS(x)则得到的相应的子句集为：{SA1，SA2，S～B}3.3谓词逻辑归结原理归结原理正确性的根本在于，找到矛盾可以肯定不真。方法：和命题逻辑一样。但由于有函数，所以要考虑合一和置换。3.3谓词逻辑归结原理置换：可以简单的理解为是在一个谓词公式中用置换项去置换变量。定义：置换是形如{t1/x1,t2/x2,…,tn/xn}的有限集合。其中，x1,x2,…,xn是互不相同的变量，t1,t2,…,tn是不同于xi的项（常量、变量、函数）；ti/xi表示用ti置换xi，并且要求ti与xi不能相同，而且xi不能循环地出现在另一个ti中。例如{a/x，c/y，f(b)/z}是一个置换。{g(y)/x，f(x)/y}不是一个置换，3.3谓词逻辑归结原理置换置换的合成设＝{t1/x1,t2/x2,…,tn/xn}，＝{u1/y1,u2/y2,…,un/yn}，是两个置换。则与的合成也是一个置换，记作·。它是从集合{t1·/x1,t2·/x2,…,tn·/xn,u1/y1,u2/y2,…,un/yn}中删去以下两种元素：i.当ti=xi时，删去ti/xi(i=1,2,…,n);Ii.当yi{x1,x2,…,xn}时，删去uj/yj(j=1,2,…,m)最后剩下的元素所构成的集合。合成即是对ti先做置换然后再做置换，置换xi3.3谓词逻辑归结原理例：设：＝{f(y)/x,z/y}，＝{a/x,b/y,y/z}，求与的合成。解：先求出集合{f(b/y)/x,(y/z)/y,a/x,b/y,y/z}＝{f(b)/x,y/y,a/x,b/y,y/z}其中，f(b)/x中的f(b)是置换作用于f(y)的结果；y/y中的y是置换作用于z的结果。在该集合中，y/y满足定义中的条件i，需要删除；a/x，b/y满足定义中的条件ii，也需要删除。最后得·＝{f(b)/x，y/z}3.3谓词逻辑归结原理合一合一可以简单地理解为“寻找相对变量的置换，使两个谓词公式一致”。定义：设有公式集F＝{F1，F2，…，Fn}，若存在一个置换，可使F1＝F2＝…=Fn，则称是F的一个合一。同时称F1，F2，...，Fn是可合一的。例：设有公式集F＝{P(x,y,f(y)),P(a,g(x),z)}，则＝{a/x,g(a)/y,f(g(a))/z}是它的一个合一。注意：一般说来，一个公式集的合一不是唯一的。3.3谓词逻辑归结原理3.3谓词逻辑归结原理3.3谓词逻辑归结原理3.3谓词逻辑归结原理归结原理归结的注意事项：1.谓词的一致性，P()与Q()，不可以2.常量的一致性，P(a,…)与P(b,….)，不可以变量，P(a,….)与P(x,…)，可以3.变量与函数，P(a,x,….)与P(x,f(x),…)，不可以；4.是不能同时消去两个互补对，P∨Q与～P∨～Q的空，不可以5.先进行内部简化（置换、合并）3.3谓词逻辑归结原理归结的过程写出谓词关系公式→用反演法写出谓词表达式→SKOLEM标准形→子句集S→对S中可归结的子句做归结→归结式仍放入S中，反复归结过程→得到空子句▯得证3.3谓词逻辑归结原理例题“快乐学生”问题假设任何通过计算机考试并获奖的人都是快乐的，任何肯学习或幸运的人都可以通过所有的考试，张不肯学习但他是幸运的，任何幸运的人都能获奖。求证：张是快乐的。解：先将问题用谓词表示如下：R1:“任何通过计算机考试并获奖的人都是快乐的”(x)((Pass(x,computer)∧Win(x,prize))→Happy(x))R2:“任何肯学习或幸运的人都可以通过所有考试”(x)(y)(Study(x)∨Lucky(x)→Pass(x,y))R3:“张不肯学习但他是幸运的”～Study(zhang)∧Lucky(zhang)R4:“任何幸运的人都能获奖”(x)(Luck(x)→Win(x,prize))结论：“张是快乐的”的否定～Happy(zhang)例题“快乐学生”问题由R1及逻辑转换公式:P∧W→H=～（P∧W）∨H，可得(1)～Pass(x,computer)∨～Win(x,prize)∨Happy(x)由R2：(2)～Study(y)∨Pass(y,z)(3)～Lucky(u)∨Pass(u,v)由R3：(4)～Study(zhang)(5)Lucky(zhang)由R4：(6)～Lucky(w)∨Win(w，prize)由结论：(7)～Happy(zhang)（结论的否定）(8)～Pass(w,computer)∨Happy(w)∨～Luck(w)(1)(6)，{w/x}(9)～Pass(zhang,computer)∨～Lucky(zhang)(8)(7)，{zhang/w}(10)～Pass(zhang,computer)(9)(5)(11)～Lucky(zhang)(10)(3)，{zhang/u,computer/v}(12)ɓ(11)(5)归结法的实质：归结法是仅有一条推理规则的推理方法。归结的过程是一个语义树倒塌的过程。归结法的问题子句中有等号或不等号时，完备性不成立。※Herbrand定理的不实用性引出了可实用的归结法。3.3谓词逻辑归结原理归结过程的控制策略要解决的问题：归结方法的知识爆炸。控制策略的目的归结点尽量少控制策略的原则给出控制策略，以使仅对选择合适的子句间方可做归结。避免多余的、不必要的归结式出现。或者说，少做些归结仍能导出空子句