东南大学高等数学(A,B)(上册)期中试卷及答案(2003_～2009)

—1—03～09级高等数学（A）（上册）试卷答案2003级高等数学（A）（上）期中试卷一、单项选择题（每小题4分，共12分）1.B2.A3.D二、填空题（每小题4分，共24分）1.522.0x,第一类（跳跃）间断点3.(1)23432(5(1))2(1)(1)(1)(1)(01)234!xexeeexxxx4.(cos())cos()xxyexydxxxye5.(1)!n6.222sin2(cos)2secxfxxx三、（每小题7分，共28分）1.e2.lim(sin1sin)0xxx3.212()24(1)ye4.设222sin,1dydytdxdx.四、（8分）求证时当0x，xxxsin63.(用函数的单调性来证明)五、（6分）是一个相关变化率的问题，2144/tdsmsdt。六、（8分）2a时，有两个相异的实根；2a时，有一个实根；2a时，没有实根。七、（6分）设3()()Fxxfx，对()Fx在区间[0,1]上用罗尔定理即可得证。八、（8分）所求点为22(,)22Pab。2004级高等数学（A）（上）期中试卷一.填空题(每小题4分,共20分)1.3n2.2a3.10(0)90f4.1(1,)25.211,01211xxx二.选择题(每小题4分,共16分)1.C2.D3.C4.D—2—三.计算题(每小题7分,共35分)1.0111limcotsin6xxxx2.12sin201sin3e1limln12xxxxxxxe3.21ed2cosexyxyxdyxyyx4.2222322d1d13d2(1)d4(1)yytxttxtt.5.1,1,12abc（注意：分段点的导数一定要用导数的定义来求）四.(8分)用函数的单调性来证明。五.(8分)所求的切点为16256(,)39，切线方程为3225639yx。六.(7分)用单调有界原理来证明数列极限的存在性，然后求得lim2nnx.七.(6分)提示：对xf以及3()gxx用Cauchy中值定理，然后再对()fx在ba,上用拉格朗日中值定理。2005级高等数学（A）（上）期中试卷一．填空题（本题共5小题，每小题4分，满分20分）1．22limsin21xxxx2．34k3．dxydx4．2232(1)(1)((1))2eeexxox5．1,1ab。二．单项选择题（本题共4小题，每小题4分，满分16分）6.C7.C8.C9.B三．计算题（本题共5小题，每小题7分，满分35分）10．1211。3ln212．113。1()11(1)!2!()(12)nnnnnnnfxxx14．22222d2cos()d22cos()xyexxyyxxyyxy。四．（本题共4道题，满分29分）15．（本题满分6分）（相关变化率问题）半径增加的速率是1(/)2cms。16．（本题满分7分）用单调性来证。（提示：设12()e1exxFxx，则—3—1122'()e(e1)2xxxFx，考虑12()e12xxgx的符号即可）。17．（本题满分8分）所求点为22,2P，弦PQ的最短长度为63。18．（本题满分8分）提示：（1）令()()Fxfxx，用罗尔定理即可得证。(2)利用(1)的结论，对()fx在区间(,)(,)accb、分别用拉格朗日中值定理即可得证。2006级高等数学（A）（上）期中试卷一.填空题（前四题每题4分，第5题8分，满分24分）1．0,1xx；第一类（跳跃）间断点，第二类（无穷）间断点2．1,1ab3．2()dd1()fxyxfx4．3,2ab5．（1）sgnyx（2）yx（3）3yx（4）201sinlimln(1)xxxx二.单项选择题（每题4分，满分12分）1．C2．B3．D。三.计算题（每题7分，满分35分）1．132.6e3．1d2d3tyx，212d4d27tyx4.(10)923()332030exyxxx5.4360xy四.（8分）用单调有界原理，数列}{nx单调递增，有上界12，故收敛，且15lim2nnx.五.（8分）用单调性证明。六.(7分)提示：对3()(1)()Fxxfx用罗尔定理。七．(6分)（1）令arctan1()1nxgxxn，(0,)x，01lim()101nxgxn，1lim()01nxgxn，故120xx，使得12()0,()0nngxgx，()ngx在区间12[,]xx上连续，()ngx在12(,)xx内至少存在一个零点。22arctan1()nxxxgxx，记22222()arctan,()011xxhxxhxxx，—4—(0,)x，()(0)0,0hxhx，即()0,0ngxx，()ngx在(0,)内严格单调递减，()ngx在(0,)内至多存在一个零点。()ngx在(0,)内存在唯一零点，即()nfx在(0,)内存在唯一零点，记为(0,)nx。（2）由于11arctanarctan1121nnnnxxxnnx，而arctanxx严格单调递减，故1nnxx，所以1(1)arctan(1)2nnxxn，得limnnx，11(2)arctanlimlim1(1)arctannnnnnnxnxxnx。2007级高等数学（A）（上）期中试卷一.填空题（每小题4分，满分24分）1．3,2ka2．1,1ab3．234412222()xxxxox4．21esin2arctan23xxxC5．11(,)426．2(1,)e，24e二.单项选择题（每题4分，满分12分）7．D8．B9．C三.计算题（每小题8分，满分32分）10．111.22d(65)(1)dyttxt12．(10)102109()2()sin225(21)cos2245sin2fxxxxxxx.13.1,1ab,切线方程为2yx.四(14).（8分）5320,02()2,2,2xfxxxx，在[0,2),(2,)上连续，间断点2x为第一类的跳跃间断点。五(15).（8分）用导数的定义证明，()21fxx.六(16).(8分)略。七(17)．(8分)略。—5—2008级高等数学（A）（上）期中试卷一.填空题（每个空格4分，本题满分32分）1．122．1,48k3．2dxydx4．(0)2y5．221(1)(1)((1))2xxox6．82,55ab二.单项选择题（每小题4分，本题满分12分）7．D8．B9．C三.计算题（本题满分27分）10．（7分）20ln(12)lim41sinexxxxxx11.（6分）2lnsinlim2lncosxxxxx12．（7分）22226(1)2dyttdxt，2124tdydx13.（7分）222222222224sin()['()]4cos()''()2cos()'()dyxfxfxxfxfxfxfxdx四(14).（7分）13,22ab（注意：分段点的导数要用导数的定义来求）.五(15).（7分）3,0(),0sinxxfxxxx，故0x为第一类的跳跃间断点；(1,2,)xkk为第二类间断点。六(16).(9分)利用11()ln12xfxxx得单调性证明右边不等式；利用1()lnxgxxx得单调性证明左边不等式。七(17)．(6分)令()()'()Fxbxfx，利用罗尔定理证明。2009级高等数学（A）（上）期中试卷一.填空题（每个空格4分，本题满分24分）1．11,28ab2．1211xdyedxe3．'(0)12y4．(2,1)5．3311()3!xxox6．3—6—二.单项选择题（每小题4分，本题满分12分）7．D8．B9．C三.计算题（本题满分36分）10．e11.1812．03tdydx202113tdydx，13.()121312()2cos(2)2cos(2)2(1)cos(2)222nnnnnnnfxxxnxxnnx四(14).（8分）0x为第一类的跳跃间断点；12ln3x为第二类的无穷间断点。五(15).（8分）略。六(16).(6分)略。七(17)．(6分)证明：[0,1],(0)(1)0,0fCffM，0(0,1)x使得0()fxM，则由费马引理知0'()0fx。又(0)0MfMn，所以由介值定理知0(0,).()Mxstfn，因为在区间[0,]以及[,1]上满足拉格朗日定理的条件，故12(0,),(,1)使得：1()(0)'()ffMfn，2()(1)'()1(1)ffMfn，这两式取倒数再相减即得证。