东师网络教育《高等数学(二)》练习题参考答案

《高等数学（二）》练习题一参考答案一、是非题1、；2、；3、；4、；5、；6、；7、；8、；9、；10、；11、；12、。二、选择题BCCABABBBB三、填空题1、常数；2、减少；3、0；4、(1)1f；5、.6、0；7、（0，0）；8、(4)80y；9、1；10、,tx.四、解答题1.先求函数()fx。因为2(1)35fxxx，令221,1,()(1)3(1)53txxtfttttt，故2()3fxxx。再来求函数()fx的单调区间与极值。令1()2102fxxx为唯一的驻点。又()20fx，故函数有唯一的极小值111()24f，从而得单调减少区间为1(,)2，单调增加区间1(,)2。2.00sin33cos333limlim4ln(14)4414xxxxxx。3.设两个直角边长分别是,(,0)xyxy，则有22222xylylx。从而周长函数为22(0)yxlxlxl。令2210,2xlyxlx。由此可知，斜边之长为l的一切直角三角形中，有最大周长的直角三角形是等腰直角三角形。4.设该曲线方程为()yfx，则由题设，有2yx，得2yxC。代入条件(1)0y，可得1C，故所求曲线方程为21yx.5.首先(,)D。令//2/1(66)1266(21)02yxxxxx为可能的拐点的横坐标。将其代入二阶导数式检验可知，在该点的左右两侧二阶导数符号变号，故有拐点为11(,)22，而凹、凸区间分别为11(,),(,)22.6.由于函数处处可导，故由26600,1yxxx为两个驻点。计算(1)5,(0)0,(1)1,(2)4yyyy，故函数位于区间[1,2]上的最大、最小值依次为(2)4,(1)5yy。7、原式呈类型未定式，故2222244144141limlimlimlimlim42.4214141xxxxxxxxxxxxxx8.定义域为，令2001xyxx是唯一驻点。又当0x时，0y，当0x时，0y，故函数有极小值(0)1y，而单调减少区间是(,0)。单调增加区间是(0,)。9.注意到函数的定义区间为0x，则由3254()202703fxxxxx是唯一的驻点。又3108(3)(2)0(3)f，故函数具有最小值(3)27f。10.因为1x为()fx的原函数，由原函数定义，有211()()fxxx。11.由()(0)fxxxx，有211()1(0)()122fxxfxxx，于是有211()(1)ln22fxdxdxxxCx。12.设该曲线方程为()yfx，则由题设，有2yx，积分之，得2yxC。代入初始条件(1)0y，可得1C，故所求曲线方程为21yx。《高等数学（二）》练习题二参考答案一、是非题1、；2、；3、；4、；5、；6、；7、；8、；9、；10、；11、；12、。二、选择题BDDDBABCAA三、填空题1、()fxC；2、0；3、0；4、1；5、,tx；6、(1)3y；7、增加；8、32；9、3ln(2)tanxxC；10、22(ln)(ln)yx四、解答题1.因为1x为()fx的原函数，由原函数定义，有211()()fxxx，从而有2312()()fxxx.2.由()(0)fxxxx，有211()1(0)()122fxxfxxx，于是有211()(1)ln22fxdxdxxxCx.3.令,xyu+=则,1,dyduyuxdxdx=-=-代入原方程，得111,duduudxudxu+-==，分离变量得,1ududxu=+两端积分得ln|1|uuxC-+=+，以uxy=+代入上式，即得ln|1|,yxyC-++=或11()yCxyCeCe-++==?4.利用换元积分法，令2,,2txxtdxtdt，一起代入原积分，有2212122arctan(1)1(1)tdxdtdttCtttxx，将tx代入即可得到12arctan(1)dxxCxx。5.这是关于变上限积分表示的极限问题，并呈00型，可以利用洛必达法则，有2220322000sinsin1sin1limlimlim333xtxxxxetdtexxxxx。6.利用凑微分法，有2222222000220sincoscos(cos)1(1cos)1cos1cos21cos1ln2ln(1cos).22xxdxxdxdxxxxx7.首先(,)D。令/22//612186(23)0,1,3,1212,yxxxxxyx将1,3x代入二阶导数，可知，1x为极大值点，3x为极小值点。于是函数在区间(,1),(3,)上单调递增，在(1,3)上单调递减。极大值为(1)3,f极小值为(3)61.f8.先来求曲线的拐点。令//2/2(4(3))12(1)01ykxxkxx为可能的拐点的横坐标。注意偶函数性，只需讨论1x的性质。明显可见在该点左右两侧二阶导数变号，故曲线有两个拐点(1,4)k。又过该点的法线斜率18k，于是得知，过拐点的法线为14((1))8ykxk，即有两条法线114(1),4(1)88ykxykxkk将原点坐标代入即可解得12832k。9.利用凑微分法，直接得到1cos(ln)cos(ln)(ln)sin(ln)xdxxdxxCx。10.变形，有2222222232(arctan)(arctan)1111(1)(arctan)(arctan)211(arctan)ln(1).23xxxxdxdxdxxxxdxxdxxxxC11.这是变上限积分所确定的函数的极值问题，令()ln01fxxx为唯一驻点。又因为11(1)0xfx，故1x是极小值点，极小值为111min1221111(1)lnlnln1(ln21)2222fxdxxx。12.这是一阶线性方程，其中()1,()xPxQxe，代入计算公式，得[][]()dxdxxxxyeCeedxeCdxCxe.