三角函数知识点总结及同步练习

沿途教育1必修四第一章三角函数1.1任意角与弧度制一、任意角和弧度制1、角的概念的推广定义：一条射线OA由原来的位置，绕着它的端点O按一定的方向旋转到另一位置OB，就形成了角，记作：角或可以简记成。注意：（1）“旋转”形成角，突出“旋转”（2）“顶点”“始边”“终边”“始边”往往合于x轴正半轴（3）“正角”与“负角”——这是由旋转的方向所决定的。2、角的分类：由于用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了。可以将角分为正角、零角和负角。正角：按照逆时针方向转定的角。零角：没有发生任何旋转的角。负角：按照顺时针方向旋转的角。3、“象限角”为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角，角的顶点合于坐标原点，角的始边合于x轴的正半轴。角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限，称为轴线角。4、常用的角的集合表示方法1、终边相同的角：（1）终边相同的角都可以表示成一个0到360的角与)(Zkk个周角的和。（2）所有与终边相同的角连同在内可以构成一个集合ZkkS,360|即：任何一个与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和注意：1、Zk2、是任意角3、终边相同的角不一定相等，但相等的角的终边一定相同。终边相同的角有无数个，沿途教育2它们相差360°的整数倍。4、一般的，终边相同的角的表达形式不唯一。2、终边在坐标轴上的点：终边在x轴上的角的集合：Zkk,180|终边在y轴上的角的集合：Zkk,90180|终边在坐标轴上的角的集合：Zkk,90|3、终边共线且反向的角：终边在y=x轴上的角的集合：Zkk,45180|终边在xy轴上的角的集合：Zkk,45180|4、终边互相对称的角：若角与角的终边关于x轴对称，则角与角的关系：k360若角与角的终边关于y轴对称，则角与角的关系：180360k若角与角的终边在一条直线上，则角与角的关系：k180角与角的终边互相垂直，则角与角的关系：90360k二、弧度与弧度制1、弧度与弧度制：弧度制—另一种度量角的单位制，它的单位是rad读作弧度定义：长度等于的弧所对的圆心角称为1弧度的角。如图：AOB=1rad，AOC=2rad，周角=2rad注意：1、正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是02、角的弧度数的绝对值rl（l为弧长，r为半径）orC2rad1radrl=2roAAB沿途教育33、用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数量相同（都是0）用角度制和弧度制来度量任一非零角，单位不同，量数也不同。4、在同一个式子中角度、弧度不可以混用。2、角度制与弧度制的换算弧度定义：对应弧长等于半径所对应的圆心角大小叫一弧度角度与弧度的互换关系：∵360=rad180=rad∴1=radrad01745.0180'185730.571801rad注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.三、弧长公式和扇形面积公式rl；22121rlRS1.2任意角的三角函数一、三角函数定义如图,设锐角的顶点与原点O重合,始边与x轴的正半轴重合,那么它的终边在第一象限.在的终边上任取一点),(baP,它与原点的距离2222(yxyxrr)。（1）比值ry叫做的正弦，记作sin，即rysin；（2）比值rx叫做的余弦，记作cos，即rxcos；（3）比值y叫做的正切，记作tan，即xytan；（4）比值yx叫做的余切，记作cot，即yxcot；（5）比值xr叫做的正割，记作sec，即xrsec；（6）比值yr叫做的余割，记作csc，即yrcsc．二、三角函数的定义域、值域①的始边与x轴的非负半轴重合，的终边没有表明一定是正角或负角，以及的大沿途教育4小，只表明与的终边相同的角所在的位置；②根据相似三角形的知识，对于确定的角，六个比值不以点(,)Pxy在的终边上的位置的改变而改变大小；③当()2kkZ时，的终边在y轴上，终边上任意一点的横坐标x都等于0，所以tanyx与secrx无意义；同理，当()kkZ时，xcoyy与cscry无意义；④除以上两种情况外，对于确定的值α，比值yr、xr、yx、xy、rx、ry分别是一个确定的实数，所以正弦、余弦、正切、余切、正割、余割是以角为自变量，一比值为函数值的函数，以上六种函数统称为三角函数。三角函数的定义域、值域三．三角函数的符号由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号，我们可以得知：①正弦值yr对于第一、二象限为正（0,0yr），对于第三、四象限为负（0,0yr）；②余弦值xr对于第一、四象限为正（0,0xr），对于第二、三象限为负（0,0xr）；③正切值yx对于第一、三象限为正（,xy同号），对于第二、四象限为负（,xy异号）．说明：若终边落在轴线上，则可用定义求出三角函数值。函数定义域值域sinyR[1,1]cosyR[1,1]tany{|,}2kkZR沿途教育5cscsin为正全正cottan为正seccos为正四、诱导公式1、由三角函数的定义，就可知道：终边相同的角三角函数值相同。即有：sin(2)sink，cos(2)cosk，其中kZ．tan(2)tank，这组公式的作用是可把任意角的三角函数值问题转化为0～2π间角的三角函数值问题．2、三角函数诱导公式（2k）的本质是：奇变偶不变（对k而言，指k取奇数或偶数），符号看象限（看原函数，同时可把看成是锐角）.诱导公式的应用是求任意角的三角函数值，其一般步骤：（1）负角变正角，再写成2k+,02；(2)转化为锐角三角函数五、三角函数线的定义：设任意角的顶点在原点O，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与点P(,)xy，过P作x轴的垂线，垂足为M；过点(1,0)A作单位圆的切线，它与角的终边或其反向延长线交与点T.正切、余切余弦、正割-----+++++-+正弦、余割oooxyxyxyoxyMTPAoxyMTPAxyoMTPAxyoMTPA（Ⅳ）（Ⅱ）（Ⅰ）（Ⅲ）沿途教育6由四个图看出：当角的终边不在坐标轴上时，有向线段,OMxMPy，于是有sin1yyyMPr，cos1xxxOMr，tanyMPATATxOMOA．我们就分别称有向线段,,MPOMAT为正弦线、余弦线、正切线。①三条有向线段的位置：正弦线为的终边与单位圆的交点到x轴的垂直线段；余弦线在x轴上；正切线在过单位圆与x轴正方向的交点的切线上，三条有向线段中两条在单位圆内，一条在单位圆外。②三条有向线段的方向：正弦线由垂足指向的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向垂足；正切线由切点指向与的终边的交点。③三条有向线段的正负：三条有向线段凡与x轴或y轴同向的为正值，与x轴或y轴反向的为负值。④三条有向线段的书写：有向线段的起点字母在前，终点字母在后面。注：（1）三角函数线的特征是：正弦线MP“站在x轴上(起点在x轴上)”、余弦线OM“躺在x轴上(起点是原点)”、正切线AT“站在点(1,0)A处(起点是A)”.（2）三角函数线的重要应用是比较三角函数值的大小和解三角不等式。六、同角三角函数的基本关系式：（1）平方关系：222222sincos1,1tansec,1cotcsc（2）倒数关系：sincsc=1,cossec=1,tancot=1,（3）商数关系：sincostan,cotcossin同角三角函数的基本关系式的主要应用是，已知一个角的三角函数值，求此角的其它三角函数值。在运用平方关系解题时，要根据已知角的范围和三角函数的取值，尽可能地压缩角的范围，以便进行定号；在具体求三角函数值时，一般不需用同角三角函数的基本沿途教育7关系式，而是先根据角的范围确定三角函数值的符号，再利用解直角三角形求出此三角函数值的绝对值。1.3三角函数的诱导公式知识点1：诱导公式（二）sin（180°+）=－sincos（180°+）=－costg（180°+）=tg（2）结构特征：①函数名不变，符号看象限（把看作锐角时）②把求（180°+）的三角函数值转化为求的三角函数值。知识点2：诱导公式（三）sin（－）=－sincos（－）=costg（－）=－tg结构特征：①函数名不变，符号看象限（把看作锐角）②把求（－）的三角函数值转化为求的三角函数值知识点3：诱导公式（四）Sin(π－α)＝SinCos(π－α)＝－cosαTen(π－α)＝－tanα知识点4：诱导公式（五）sin()cos;cos()sin22知识点5：诱导公式（六）sin()cos;cos()sin221.4三角函数的图像与性质一、正弦函数余弦函数的图象（1）函数y=sinx的图象第一步：在直角坐标系的x轴上任取一点1O，以1O为圆心作单位圆，从这个圆与x轴的交点A起把圆分成n(这里n=12)等份.把x轴上从0到2π这一段分成n(这里n=12)等份.（预沿途教育8备：取自变量x值—弧度制下角与实数的对应）.第二步：在单位圆中画出对应于角6,0，3，2,…，2π的正弦线正弦线（等价于“列表”）.把角x的正弦线向右平行移动，使得正弦线的起点与x轴上相应的点x重合，则正弦线的终点就是正弦函数图象上的点（等价于“描点”）.第三步：连线.用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来，就得到正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象．根据终边相同的同名三角函数值相等，把上述图象沿着x轴向右和向左连续地平行移动，每次移动的距离为2π，就得到y=sinx，x∈R的图象.把角x()xR的正弦线平行移动，使得正弦线的起点与x轴上相应的点x重合，则正弦线的终点的轨迹就是正弦函数y=sinx的图象.（2）余弦函数y=cosx的图象用几何法作余弦函数的图象，可以用“反射法”将角x的余弦线“竖立”[把坐标轴向下平移，过1O作与x轴的正半轴成4角的直线，又过余弦线1OA的终点A作x轴的垂线，它与前面所作的直线交于A′，那么1OA与AA′长度相等且方向同时为正，我们就把余弦线1OA“竖立”起来成为沿途教育9AA′，用同样的方法，将其它的余弦线也都“竖立”起来．再将它们平移，使起点与x轴上相应的点x重合，则终点就是余弦函数图象上的点．]也可以用“旋转法”把角的余弦线“竖立”（把角x的余弦线O1M按逆时针方向旋转2到O1M1位置，则O1M1与O1M长度相等，方向相同.）根据诱导公式cossin()2xx,还可以把正弦函数x=sinx的图象向左平移2单位即得余弦函数y=cosx的图象.（1）正切函数y=tanx的图像：沿途教育10二、五点法作图用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）：正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)(2,1)(,0)(23,-1)(2,0)余弦函数y=cosxx[0,2]的五个点关键是(0,1)(2,0)(,-1)(23,0)(2,1)只要这五个点描出后，图象的形状就基本确定了．因此在精确度不太高时，常采用五点法作正弦函数和余弦函数的简图，要求熟练掌握．三、奇偶性请同学们观察正、余弦函数的图形，说出函数图象有怎样的对称性？其特点是什么？(1)余弦函数当自变量取一对相反数时，函数y取同一值。例如：f(-3)=21,f(3)=21,即f(-3)=f