上海市嘉定区2015届高三第二次质量调研(二模)数学理试卷

12014学年嘉定区高三年级第二次质量调研数学试卷（理）考生注意：本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟．解答必须写在答题纸上的规定区域，写在试卷或草稿纸上的答案一律不予评分．一．填空题（本大题有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．已知集合},2||{RxxxA，},01{2RxxxB，则BA________．2．抛物线28xy的焦点到准线的距离是______________．3．若biiai2)1(，其中a、bR，i是虚数单位，则||bia_________．4．已知函数xxg2)(，若0a，0b且2)()(bgag，则ab的取值范围是_______．5．设等差数列na满足115a，312a，na的前n项和nS的最大值为M，则lgM=__________．6．若8822108...)(xaxaxaaxa（Ra），且565a，则8210...aaaa_______________．7.已知对任意*Nn，向量nnnnnaaaad211,41都是直线xy的方向向量，设数列}{na的前n项和为nS，若11a，则nnSlim_____________．8．已知定义在R上的单调函数)(xf的图像经过点)2,3(A、)2,2(B，若函数()fx的反函数为)(1xf，则不等式51)2(21xf的解集为．9.已知方程1cos3sinmxx在],0[x上有两个不相等的实数解，则实数m的取值范围是____________．10.随机变量的分布律如下表所示，其中a，b，c成等差数列，若31E，则D的值是___________．11．现有16张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张.从中任取3张,要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张．则不同取法的种数为__________．12.在平面直角坐标系xOy中，点),(PPyxP和点),(QQyxQ满足,,PPQPPQyxyyxx按此x101P)(xabc2规则由点P得到点Q，称为直角坐标平面的一个“点变换”．在此变换下，若mOQOP||||，向量OP与OQ的夹角为，其中O为坐标原点，则sinm的值为____________．13.设定义域为R的函数,0,2,0,|lg|)(2xxxxxxf若关于x的函数1)(2)(22xbfxfy有8个不同的零点，则实数b的取值范围是____________．14．把正整数排列成如图甲三角形数阵，然后擦去第偶数行中的奇数和第奇数行中的偶数，得到如图乙的三角形数阵，再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到一个数列na，若2015na，则n________．二．选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．在△ABC中，“21sinA”是“6A”的……………………………………（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件16．已知平面直角坐标系内的两个向量)2,1(a，)23,(mmb，且平面内的任一向量c都可以唯一的表示成bac,(为实数），则实数m的取值范围是（）A．(,2)B．(2,)C．(,)D．(,2)(2,)17．极坐标方程0))(1(（0）表示的图形是…………………………（）A．两个圆B．两条直线C．一个圆和一条射线D．一条直线和一条射线18．在四棱锥ABCDV中，1B，1D分别为侧棱VB，VD的中点，则四面体11CDAB的体积与四棱锥ABCDV的体积之比为……………………………………………（）A．6:1B．5:1C．4:1D．3:1三．解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．319.（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．在△ABC中，已知12cos2sin22CBA，外接圆半径2R．（1）求角C的大小；（2）若角6A，求△ABC面积的大小.20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．如图，四棱锥ABCDP的底面ABCD为菱形，PD平面ABCD，2ADPD，60BAD，E为BC的中点．（1）求证：ED平面PAD；（2）求平面PAD与平面PBC所成的锐二面角大小的余弦值．21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分9分．某市环保部门对市中心每天的环境污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合污染指数)(xf与时刻x（时）的关系为4321)(2aaxxxf，)24,0[x，其中a是与气象有关的参数，且21,0a．若用每天)(xf的最大值为当天的综合污染指数，并记作)(aM．（1）令12xxt，)24,0[x，求t的取值范围；（2）求)(aM的表达式，并规定当2)(aM时为综合污染指数不超标，求当a在什么范围内时，该市市中心的综合污染指数不超标．22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．EPACDB4已知椭圆1:2222byaxC（0ba）的左、右焦点分别为1F、2F，点B),0(b，过点B且与2BF垂直的直线交x轴负半轴于点D，且02221DFFF．（1）求证：△21FBF是等边三角形；（2）若过B、D、2F三点的圆恰好与直线l：033yx相切，求椭圆C的方程；（3）设过（2）中椭圆C的右焦点2F且不与坐标轴垂直的直线l与C交于P、Q两点，M是点P关于x轴的对称点．在x轴上是否存在一个定点N，使得M、Q、N三点共线，若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．已知数列}{na中，31a，52a，}{na的前n项和为nS，且满足11222nnnnSSS（3n）．（1）试求数列{}na的通项公式；（2）令112nnnnaab，nT是数列}{nb的前n项和，证明：61nT；（3）证明：对任意给定的61,0m，均存在N0n，使得当0nn时，（2）中的mTn恒成立．2014学年嘉定区高三年级第二次质量调研数学试卷（理）参考答案与评分标准一．填空题（本大题有14题，每题4分，满分56分）1．12{xx或}21x2．43．54．41,05．26．2567．28．)4,0(9．)1,13[10．9511．47212．2113．2,2314．10305二．选择题（本大题共有4题，每题5分，满分20分）15．B16．D17．C18．C三．解答题（本大题共有5题，满分74分）19.（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．（1）由题意，12cos)cos(1CBA，因为CBA，所以CBAcos)cos(，故01coscos22CC，……（2分）解得1cosC（舍），或21cosC．………………（5分）所以，3C．………………（6分）（2）由正弦定理，RCc2sin，得43sinc，所以323sin4c．………（2分）因为6A，由RAa2sin，得2a，…………（4分）又2B，所以△ABC的面积3221acS．…………（6分）20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．（1）连结BD，由已知得△ABD与△BCD都是正三角形，所以，2BD，BCDE，………………（1分）因为AD∥BC，所以ADDE，……………（2分）又PD平面ABCD，所以DEPD，……（4分）因为DPDAD，所以DE平面PAD．…（6分）（2）以D为原点，DA，DE，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．由（1）知平面PAD的一个法向量为)0,1,0(1n，又)0,3,1(B，)0,3,1(C，)2,0,0(P，)0,3,0(E，所以)0,0,2(CB，)2,3,0(PE，……（2分）设平面PBC的一个法向量为),,(2zyxn，由,0,022PEnCBn得,023,0zyx取2y，则3z，故)3,2,0(2n，…………（4分）设1n与2n的夹角为，则772712cos2121nnnn．…………（7分）所以，平面PAD与平面PBC所成的锐二面角大小的余弦值为772．……（8分）（2）解法二（图略）EPACDBEPACDBzxy6在平面PAD上，过P作PF∥DA且DAPF，连结BF，则四边形PCBF是平行四边形，即直线PF是平面PAD与平面PBC的交线．………………（2分）因为DEBC，PDBC，所以BC平面PDE，故PEBC，所以PFPE，又PFPD，所以DPE就是平面PAD与平面PBC所成二面角的平面角．…………（5分）在Rt△PDE中，3DE，722DEPDPE，…………（6分）77272cosPEPDDPE．……………………（7分）所以，平面PAD与平面PBC所成的锐二面角大小的余弦值为772．……（8分）21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分9分．（1）当0x时，0t；………………（2分）当240x时，因为0212xx，所以21102xx，……………………（4分）即t的取值范围是21,0．……………………………………（5分）（2）当21,0a时，由（1），令12xxt，则21,0t，…………（1分）所以432||)()(aattgxf,21,43,0,433taatatta………………（3分）于是，)(tg在at,0时是关于t的减函数，在21,at时是增函数，因为433)0(ag，4521ag，由21221)0(agg，所以，当410a时，4521)(agaM；当2141a时，433)0()(agaM，即.2141,433,410,45)(aaaaaM………………………………（6分）由2)(aM，解得1250a．………………………………（8分）所以，当125,0a时，综合污染指数不超标．…………………………（9分）22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．（1）设)0,(0xD（00x），由)0,(2cF，),0(bB，故),(2bcBF，),(0bxBD，7因为BDBF2，所以020bcx，…………（1分）cbx20，故0,22ccbDF，……（2分）又)0,2(21cFF，故由02221DFFF得032cbc，所以，223cb．……（3分）所以，3tan12cbFBF，6012FBF，即△21FBF是等边三角形．………（4分）（2）由（1）知，cb3，故ca2，此时，点D的坐标为)0,3(c，……（1分）又△2BDF是直角三角形，故其外接圆圆心为)0,(1cF，半径为c2，…………（3分）所以，cc22|3|，1c，3b，2a，………