中国人民大学附中特级教师梁丽平高考数学综合能力题30讲第27讲建构不等关系的应用性问题

1数学高考综合能力题选讲27建构不等关系的应用性问题100080北京中国人民大学附中梁丽平题型预测不等式应用题，多以函数面目出现，以最优化的形式展现，解答这一类问题，不仅需要不等式的相关知识（不等式的性质、解不等式、均值不等式等），而且往往涉及函数、数列、几何等多方面知识，综合性强，难度可大可小，是高考和各地模拟题的命题热点．范例选讲例1.某商场经过市场调查分析后得知，2003年从年初开始的前n个月内，对某种商品需求的累计数)(nf（万件）近似地满足下列关系：12,,3,2,1,)18)(2(901)(nnnnnf（Ⅰ）问这一年内，哪几个月需求量超过1.3万件？（Ⅱ）若在全年销售中，将该产品都在每月初等量投放市场，为了保证该商品全年不脱销，每月初至少要投放多少件商品？（精确到件）讲解：（Ⅰ）首先，第n个月的月需求量＝1,11,212fnfnfnn∵)18)(2(901)(nnnnf，∴1711.330f．当2n时，)19)(1)(1(901)1(nnnnf∴21()(1)(33519)90fnfnnn令()(1)1.3fnfn，即117193532nn，解得：7314n，∵n∈N，∴n=5，6即这一年的5、6两个月的需求量超过1.3万件．（Ⅱ）设每月初等量投放商品a万件，要使商品不脱销，对于第n个月来说，不仅有本月投放市场的a万件商品，还有前几个月未销售完的商品．所以，需且只需：0)(nfna，2∴90)18)(2()(nnnnfa又∵910]2)18()2([90190)18)(2(2nnnn∴910a即每月初至少要投放11112件商品，才能保证全年不脱销．点评：实际问题的解答要注意其实际意义．本题中a的最小值，不能用四舍五入的方法得到，否则，不符合题意．例2．已知甲、乙、丙三种食物的维生素A、B含量及成本如下表，若用甲、乙、丙三种食物各x千克，y千克，z千克配成100千克混合食物，并使混合食物内至少含有56000单位维生素A和63000单位维生素B.甲乙丙维生素A（单位/千克）600700400维生素B（单位/千克）800400500成本（元/千克）1194（Ⅰ）用x，y表示混合食物成本c元；（Ⅱ）确定x，y，z的值，使成本最低．讲解：（Ⅰ）由题，1194cxyz，又100xyz，所以，40075cxy．（Ⅱ）由60070040056000,10080040050063000xyzzxyxyz及得，463203130xyxy，所以，75450.xy所以，40075400450850,cxy当且仅当4632050,313020xyxxyy即时等号成立．所以，当x=50千克，y=20千克，z=30千克时，混合物成本最低，为850元．点评：本题为线性规划问题，用解析几何的观点看，问题的解实际上是由四条直线所围成的区域00463203130xyxyxy上使得40075cxy最大的点．不难发现，应在点M（50，20）处取得．xy3x-y=1304x+6y=320M3例3．一根水平放置的长方体形枕木的安全负荷与它的宽度a成正比，与它的厚度d的平方成正比，与它的长度l的平方成反比．（Ⅰ）将此枕木翻转90°（即宽度变为了厚度），枕木的安全负荷变大吗？为什么？（Ⅱ）现有一根横断面为半圆（半圆的半径为R）的木材，用它来截取成长方体形的枕木，木材长度即为枕木规定的长度，问如何截取，可使安全负荷最大？讲解：（Ⅰ）由题可设安全负荷kladky(221为正常数），则翻转90º后，安全负荷222daykl．因为12ydya，所以，当0da时，12yy．安全负荷变大；当0ad时，12yy，安全负荷变小．（2）如图，设截取的枕木宽为a，高为d，则2222adR，即22244adR．∵枕木长度不变，∴u=ad2最大时，安全负荷最大∴22222422442udadRddRd3222222223++2244223439ddRdddRdR当且仅当2222dRd，即取Rd36，RdRa332222时，u最大，即安全负荷最大．例4．现有流量均为3002/ms的两条河流A、B会合于某处后，不断混合，它们的含沙量分别为23/kgm和0.23/kgm．假设从汇合处开始，沿岸设有若干个观测点，两股水流在流经相邻两个观测点的过程中，其混合效果相当于两股水流在1秒钟内交换1003m的水量，即从A股流入B股1003m水，经混合后，又从B股流入A股1003m水并混合．问：从第几个观测点开始，两股河水的含沙量adl4之差小于0.013/kgm（不考虑泥沙沉淀）？讲解：本题的不等关系为“两股河水的含沙量之差小于0.013/kgm”．但直接建构这样的不等关系较为困难．为表达方便，我们分别用,nnab来表示河水在流经第n个观测点时，A水流和B水流的含沙量．则1a＝23/kgm，1b＝0.23/kgm，且11111003001002001312,1003004410020033nnnnnnnnnnabbabababa＝．（＊）由于题目中的问题是针对两股河水的含沙量之差，所以，我们不妨直接考虑数列nnab．由（＊）可得：1111112221313333442nnnnnnnnnnnnabbababaabab所以，数列nnab是以111.8ab为首项，以12为公比的等比数列．所以，111.82nnnab．由题，令nnab0.01，得1112180n．所以，2lg1801log180lg2n．由7821802得27log1808，所以，8n．即从第9个观测点开始，两股水流的含沙量之差小于0.013/kgm．点评：本题为数列、不等式型综合应用问题，难点在于对题意的理解．高考真题1.（1996年全国高考）某地现有耕地10000公顷,规划10年后粮食单产比现在增加22％,人均粮食占有量比现在提高10％,如果人口年增长率为1％,那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷(精确到1公顷)？2.（1998年全国高考）如图,为处理含有某种杂质的污水,要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱.污水从A孔流入,经沉淀后从B孔流出.设箱体长度为a米,高度为b米.已知流出的水中杂质的质量分数与a,b的乘积ab成反比.现有制箱材料60平方米,问当a,b各为多少米时,ABba5经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A,B孔的面积忽略不计)3.（2002年上海高考）某商场在促销期间规定：商场内所有商品按标价的80％出售；同时，当顾客在该商场内消费满一定金额后，按如下方案获得相应金额的奖券：根据上述促销方法，顾客在该商场购物可以获得双重优惠．例如：购买标价为400元的商品，则消费金额为320元，获得的优惠额为：4000.230110（元）．设购买商品得到的优惠率＝购买商品获得的优惠额商品的标价．试问：（Ⅰ）购买一件标价为1000元的商品，顾客得到的优惠率是多少？（Ⅱ）对于标价在［500，800］（元）内的商品，顾客购买标价为多少元的商品，可得到不小于13的优惠率？[答案与提示：1．耕地平均每年至多只能减少4公顷．2．a=6米，b=3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小．3．（Ⅰ）33%；（Ⅱ）顾客购买标价在［625，750］元内的商品时，可得到不小于13的优惠率．]消费金额（元）的范围[200,400)[400,500)[500,700)[700,900)…获得奖券的金额（元）3060100130…