中国剩余定理在RSA算法中应用的研究实验演讲

-1-不定积分的求解及相关应用目录摘要一引言二不定积分的求解方法及所对应例题解析（一）基本公式法（直接积分法）（二）逐项积分法、因式分解法（三）“凑”微分法（第一类换元法）（四）第二类换元法（参变量积分法）（五）分部积分法（六）有理函数的积分（七）其他类型的积分举例三解不定积分的一般步骤四不定积分的应用举例（一）在几何中的应用（二）在物理中的应用（三）在经济学中的应用参考文献致谢【摘要】不定积分常见的计算方法在本科阶段可以归纳为七大类以及某些特殊不定积分的求解方法，如：基本公式法（直接积分法）、逐项积分法+因式分解法、换元积分法（第一类换元法和第二类换元法）、分部积分法、有理函数的积分以及一些特殊函数的积分-2-技巧与方法（三角函数有理式与简单无理函数的积分），并将结合实际例题加以讨论以便于解不定积分题目既能快捷又方便的寻找出最佳的解题方法。（英文摘要，暂略）【关键词】不定积分基本公式法换元积分法分部积分法有理函数的积分三角函数有理式与简单无理函数的积分（英文关键词，暂略）一引言定积分的思想在古代就已荫芽，但是17世纪下半叶之前，有关定积分的完整理论还未形成。直到牛顿一莱布尼茨公式建立以后，计算问题得以解决，定积分才迅速建立发展起来，并对数学的进一步发展做出了巨大的贡献。在初学定积分时，学生学习的困难较大，所以先引进求导的逆运算一一求不定积分，为学生的学习提供了方便，拓展了学生的思维。20世以来，随着大量的边缘科学诸如电磁流体力学、化学流体力学、动力气象学、海洋动力学、地下水动力学等等的产生和发展，相继出现各种各样的微分方程，通过不定积分我们得出这些问题解，从而处理各种科学问题，促进社会发展。所以不定积分的求解不仅是学校对我们的要求，也是适应社会发展的学习趋势。不定积分是《数学分析》中的一个重要内容，是一元微积分中非常重要的内容之一，是积分学中最基本的问题之一，又是求定积分、广义积分，瑕积分、重积分、曲线积分以及各种有关积分的基础。牢固掌握不定积分的理论和运算方法，可以使学生进一步巩固所学的导数和微分学及其它相关的数学知识，掌握好不定积分的求解方法对于学习这些后续内容是非常重要的。同一道题也可能有多种解法，多种结果，所以当今学生们解决不定积分的题目普遍觉得困难，即便最后解决了题目，可能也走了许多弯路。最后若能从“弯路”中总结不定积分的求解方法，那么那些“弯路”都是有价值的，但是若只求结题，事后不思考、总结，那就是在浪费时间，也逐渐减少了学生对学习数学的热情。不定积分的解法不像微分运算有一定的-3-法则，它需要根据不同的题型特点采用不同的解法，因此积分运算比起微分运算来，方法更多样，技巧性更强。下面针对一些常见函数的不定积分的各种求解方法进行分类归纳，希望能提供一种简便的有效途径使得大学生具备解决不定积分题目的便捷能力和基本素质。定义1如果在区间I上，可导函数)(xF的导函数为)(xf，即对任一Ix,都有)()(xfxF或dxxfxdF)()(,那么函数)(xF就称为)(xf（或dxxf)(）在区间I上的原函数。原函数存在定理如果函数)(xf在区间I上连续，那么在区间I上存在可导函数)(xF，使对任一Ix都有)()(xfxF，即连续函数一定有原函数。定义2函数)(xf在区间I的所有的原函数RCCxF称为函数)(xf的不定积分，表为CxFdxxf)()(（)()(xfxF，C为积分常数）,其中称为积分符号，x称为积分变量，)(xf称为被积函数，dxxf)(称为被积表达式，C称为积分常数。在这里要特别注意：一个函数的不定积分既不是一个数，也不是一个函数，而是这一函数的全体原函数，它的几何意义是一族平行的积分曲线，简称为积分曲线族。例如：atat221，而Catatdt221；3441xx，而Cxdxx4341；xx2sectan，而Cxxdxtansec2.也就是说：)(dxfdx和dxxf)(是不相等的，即前者的结果是一个函数，而后者是无穷多个函数，所以，在书写计算结果时一定不能忘记积分常数。-4-二不定积分的求解方法（一）基本公式法（直接积分法）既然积分运算是微分运算的逆运算，那么自然地可以从导数公式得到相应的积分公式，并且我们把一些基本的积分公式列成一个表，这个表通常叫作基本积分表：⑴、Ckxkdx,其中k是常数.Cxdx.⑵、Cxudxuu111x，其中u是常数，且1u.⑶、Cxxdxln,0x.⑷、Caadxaxxln1,其中10aa且.Cedxxxe.⑸、Cxxdxcossin.⑹、Cxxdxsincos.⑺、Cxxdxxtanseccosdx22⑻、Cxxdxxdxcotcscsin22⑼、Cxxdxxsectansec⑽、Cxxdxxcsccotcsc⑾、CxCxxdxarccosarcsin12⑿、CxarcCxxdxcotarctan12⒀、Cchxshxdx⒁、Cshxchxdx⒂、Cxxshdxcoth2⒃、Cthxxchdx2当我们看到所求不定积分已经对应了公式中的某一条，如Cxdx1-ln1-x1，则用公式法求解。在实际问题中，一般不是很简单，需将原题通过其他方法进行变换，从而满足基本积分表再计算。例如：Ceedxedxexxxx2ln222.例2.1.1计算dxx221x.-5-解：原式dxx2211x1Cxxcxcxxdxdxdxxarctanarctan11112122说明：21cc，为任意的常数，因此可用一个常数C来表示。以后对于一个不定积分，只要在积分结果后面所得的式子中写上一个积分常数即可，后面的就不一一说明了。例2.1.2计算dxxdxcos1.解：原式22csc2xdxCx2cot例2.1.3计算dxxxsin.解：原式xdxsin2Cxcos2基本公式法只能计算比较简单的不定积分，或者是稍做变形就可以用基本积分表解决的不定积分，对于其他有点复杂的不定积分便无从下手，所以，下面我们将一一讨论其他方法。（二）逐项积分法、因式分解法逐项积分法和因式分解法是由不定积分的两大性质而得。由不定积分的定义可以推得它有以下两个性质：性质1在区间I上，设函数)(xf,)(xg都有原函数,那么函数)()(xbgxaf也有原函数（其中ba，是常数），并且dxxgbdxxfadxxxaf)()()(bg)(.性质2设函数)(xf的原函数存在，k为非零常数，则dxxfkdxxkf)()(.利用不定积分的这两个性质，可以将复杂积分的多项式分解为几个单项式，然后利用基本积分公式进行计算。例如，-6-dxxdxdxxdxxx62462422Cxxx63423不过，这一积分方法的更有助于带有三角函数的积分求解，借助三角函数恒等式，可将高次函数降幂，化成容易积分的形式。故我们见到两个因式相乘除、高次三角函数积分时，要首先考虑用这种方法。下面举例说明。例2.2.1求dxx21.解：原式dxxx2121Cxxx234223例2.2.2求dxx2sin2.解：原式dxx2cos-1Cxxdxxsin2121cos121例2.2.3求dxx323.解：原式dxxxx64292727Cxxxxdxxdxxdxxdx753642715992792727（三）“凑”微分法(第一类换元法）换元积分法是利用复合函数的求导法则而推得的，可分为两种即“凑”微分法（第一类换元法）和第二类换元法。下面讨论第一类换元法。如果不定积分dxxf)(用基本公式法不易求得，但被积函数可化为)()()(xxgxf-7-且设)(xf的原函数)(uF，即)()(ufuF，CuFduuf)()(，令xu，且xddxx，则可将有关于变量x的积分转化为关于u的积分，于是有.)()()()(CxFxuCuFduufuxxdxfdxxxfdxxf回代积分换元变形凑合这就是第一换元积分公式。第一类换元法又叫“凑”微分法是因为：在解题过程中，为被积函数的中间变量凑一个微分，从而达到换元解题的目的。当被积函数为复合函数时，首先考虑这种方法，因为我们可以为复合函数的中间变量“凑”微分达到解题目的。若复合函数中间变量的微分显然存在于被积函数中，如xdx2sin2的被积函数中“sin2x”是一个复合函数，“2”恰好是中间变量“x2”的微分，那么就有xdx2sin2dxx22sindxxx22sinudusinCucos令xu2代入，即得xdx2sin2Cx2cos.若复合函数中间变量的微分并没有存在于被积函数中，则需要凑一个微分。例如dxx231，被积函数ux1231，xu23.这里缺少2dxdu这样一个因子，但由于dxdu是一个常数，故可改变系数来凑出这个因子：xxxx2323121223121231从而令xu23，便有dxx231xx2323121duu121Cu||ln21Cx|23|ln21一般可用“凑微分”法解的题型较多，方法也很灵活，但也有规律可循，按基本初等函数类型进行总结，常见题型有：⑴、baxdbaxfadxbaxf10a⑵、baxdbaxfnadxxbaxfnnnn111,0na⑶、xdxfdxxxf21⑷、xdxfdxxxf11112-8-⑸、xdxfdxxxflnln1ln⑹、xdxfxdxxfsinsincossin⑺、xdxfxdxxfcoscossincos⑻、xdxfxdxxftantansectan2⑼、xdxfxdxxfcotcotcsccot2⑽、xdxfxdxxxfsecsecsectansec⑾、xxxxdeefdxeef⑿、xdxfdxxxfarctanarctan11arctan2⒀、xdxfdxxxfarcsinarcsin11arcsin2下面举例说明：例2.3.1求7-5xdx.解：原式Cxxxd75ln51757551例2.3.2求dxex2.解：dxex2xdedxexx22122122CexuCedueuxxuu221221212回代令不难看出上述题型都是中间变量的微分已经存在于被积函数中的类型，但是有时也需进行一定的变形才能发现。例2.3.3求dxax221解：原式dxaxa22111aaxdaxa22111Caxaarctan1对于中间变量的微分未存在于题干中的题目，我们可以通过乘以因式再除以因式的方法“凑”出微分。-9-例2.3.4求xBxAdx2222cossin.解：原式BxAdxBAABtantan11122CxBAABtanarctan1例2.3.5求xbaxdx.解：原式222222babaxbaxdabxbaxdxCb