不等式(组)与简单的线性规划问题2

1二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题一、选择题1.已知a0,x,y满足约束条件133xxyyax若z=2x+y的最小值为1,则a=()A.14B.12C.1D.2【解析】选B.画出不等式组表示的平面区域如图所示:当目标函数z=2x+y表示的直线经过点A时,z取得最小值,而点A的坐标为(1,-2a),所以2-2a=1,解得a=1,2,故选B.2.设,xy满足约束条件10,10,3,xyxyx，则23zxy的最小值是（）A.7B.6C.5D.3【解题指南】结合线性约束条件，画出可行域，将目标函数平移得最小值.【解析】选B.由z=2x-3y得3y=2x-z，即233zyx。作出可行域如图,平移直线233zyx，由图象可知当直线233zyx经过点B时，直线233zyx的截距最大，此时z取得最小值，由103xyx得34xy，即(3,4)B,代入直线z=2x-3y得32346z，选B.3.若点(x,y)位于曲线y=|x|与y=2所围成的封闭区域,则2x－y的最小值为()A.－6B.－2C.0D.22【解题指南】画出直线围成的封闭区域，把求2x-y最小值转化为求y=2x-z所表示直线的截距的最大值，通过平移可求解.【解析】选A.2||yxy与的图像围成一个三角形区域，3个顶点的坐标分别是(0,0),(-2,2),(2,2).在封闭区域内平移直线y=2x，在点(-2,2)时，2x–y=-6取最小值.4.在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组：2xy20x2y103xy80，所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为（）A.2B.1C.13D.12【解题指南】本题可先根据题意画出平面区域，然后利用数形结合找出斜率的最值.【解析】选C.作出可行域如图由图象可知当M位于点D处时，OM的斜率最小.由210380xyxy得31xy，即(3,1)D,此时OM的斜率为1133.5.设关于x,y的不等式组210,0,0xyxmym表示的平面区域内存在点P(x0，y0)满足x0－2y0=2，求得m的取值范围是（）A.4,3B.1,3C.2,3D.5,3【解题指南】作出平面区域，则区域的边界点中有一个在x0－2y0=2的上方，一个在下方。【解析】选C。作出可行域如下图所示：要使可行域存在，必有21mm，要求可行域内包含直线112yx上的点，只要边界点(,12)mm在直线112yx上方，且(,)mm在直线112yx下方，解不等式组312,1121,211,2mmmmmm得m＜23.6.若变量,xy满足约束条件8,24,0,0,xyyxxy且5zyx的最大值为a，最小值为b，则ab的值是（）A．48B.30C.24D.16【解题指南】本题考查的是简单的线性规划问题，求解的关键是正确的作出可行域，然后求出最大值与最小值.【解析】选C，作出可行域如图，结合图形可知，当1155yxz经过点A4,4时，z取最大值16，当1155yxz经过点B8,0时，z取最小值为-8，所以24ab，故选C.7.某旅行社租用A，B两种型号的客车安排900名客人旅行，A，B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1600元/辆和2400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆．则租金最少为()A．31200元B．36000元C．36800元D．38400元【解题指南】利用线性规划求解.【解析】选C.设A型、B型车辆的数量分别为x，y辆，则相应的运营成本为1600x+2400y，依题意，x，y还需满足：x+y≤21，y≤x+7，36x+60y≥900，于是问题等价于求满足约束条件217,3660900,,0,,,xyyxxyxyxyN，要使目标函数16002400zxy达到最小值。作可行域如图所示,可行域的三个顶点坐标分别为P(5,12),Q(7,14),R(15,6),4由图可知,当直线z=1600x+2400y经过可行域的点P时,直线z=1600x+2400y在y轴上截距2400z最小,即z取得最小值.故应配备A型车5辆,B型车12辆.zmin=1600x+2400y=1600×5+2400×12=36800(元).8．设变量x,y满足约束条件360,20,30,xyyxy则目标函数z=y-2x的最小值为()A.-7B.-4C.1D.2【解题指南】画出约束条件所表示的可行域,平移直线z=y-2x至截距最小即可.【解析】选A.由z=y-2x,得y=2x+z.作出不等式组对应的平面区域ABC.作直线y=2x,平移直线y=2x+z,由图象知当直线经过点B时,y=2x+z的截距最小,此时z最小.由20,30,xyy得5,3,xy代入z=y-2x得z=3-2×5=-7.所以最小值为-7.9.若变量x,y满足约束条件错误!未找到引用源。则z=2x+y的最大值和最小值分别为()A.4和3B.4和2C.3和2D.2和0【解题指南】找出可行域,将各端点代入求出最值.【解析】选B.可行域如图所示,可行域的三个端点为1,0,2,0,1,1,分别代入可得zmin=2×1+0=2,zmax=2×2+0=4.10.若变量,xy满足约束条件211yxxyy，2xy则的最大值是（）A．5-2B．0C．53D．52【解题指南】先作出约束条件对应的可行域，再求出顶点坐标，然后找出最优解即可。【解析】选C.作出不等式组错误!未找到引用源。表示的平面区域,得到如图的△ABC及其内部,5其中A错误!未找到引用源。,B错误!未找到引用源。,C(2,-1).设z=x+2y,将直线l:z=x+2y进行平移,当l经过点B时,目标函数z达到最大值,所以z最大值=53错误!未找到引用源。.二、填空题11．设x，y满足约束条件0131yxx，则yxz2的最大值为______.【解题指南】画出x,y满足约束条件的可行域,平移目标函数,确定目标函数取得最大值的位置,求出点的坐标,将该点坐标代入目标函数中.【解析】画出可行域如图所示，当目标函数yxz2过点)3,3(A时，取得最大值，3332maxZ【答案】312.若xy、满足约束条件0,34,34,xxyxy则zxy的最小值为.【解析】画出xy、满足约束条件的可行域，如图可知过点A时，目标函数取得最小值，联立4343yxyx，解得)1,1(A,所以011minz.6【答案】0.13.记不等式组0,34,34,xxyxy所表示的平面区域为.D若直线1yaxDa与有公共点，则的取值范围是.【解析】画出可行域如图所示，当直线)1(xay过点A)4,0(时，a取得最大值为4，当直线)1(xay过点)1,1(时，a取得最小值为21.所以a的取值范围为]4,21[.【答案】]4,21[14.设z=kx+y,其中实数x,y满足20,240,240,≥≥≤xyxyxy，若z的最大值为12,则实数k=.【解析】不等式组表示的可行域如图所示,由z=kx+y可得y=-kx+z,知其在y轴上的截距最大时,z最大,由图知当12＜k且直线过点A(4,4)时,z取最大值12,即4k+4=12,所以k=2.【答案】215.设z=kx+y,其中实数x,y满足2,240,240,≥≥≤xxyxy若z的最大值为12,则实数k=.【解题指南】根据不等式组画出可行域,再把目标函数z转化为在y轴上的截距.【解析】不等式组表示的可行域如图所示,7由z=kx+y可得y=-kx+z,知其在y轴上的截距最大时,z最大,经检验-k0且直线过点A(4,4)时,z取最大值12,即4k+4=12,所以k=2.【答案】216.抛物线y=x2在x=1处的切线与两坐标轴围成的三角形区域为D(包含三角形内部和边界).若点P(x,y)是区域D内的任意一点,则x+2y的取值范围是.【解题指南】先确定可行域,再通过平移目标函数求范围.【解析】由2yx得抛物线2xy在1x处的切线方程为12(1)yx即21yx即得可行域如图中阴影目标函数112222zxyyxz平移目标函数经过点A时yx2最小经过点B时yx2最大，故yx2的取值范围是1[2,]2【答案】1[2,]217.若变量x,y满足约束条件28,04,03,xyxy则x+y的最大值为________【解题指南】先作出约束条件对应的可行域，求出顶点坐标，然后找出最优解即可。【解析】画出可行域如图,由错误!未找到引用源。得A(4,2),目标函数z=x+y可看成斜率为-1的动直线,其纵截距越大z越大,数形结合可得当动直线过点A时,z最大=4+2=6.【答案】6818.若非负数变量x、y满足约束条件-124xyxy，，ì?ïí+?ïî则x+y的最大值为_____【解题指南】作出可行域，求出最优点，得出最大值。【解析】由2132453xxyxyyì=ïì-=-镲Þ眄+=镲î=ïî，即点A2533（，），同理可得点B（4,0），可行域如图阴影所示，由图可知当直线xyk+=经过（4,0）时得所求的最大值是4.【答案】419.设D为不等式组0,2030xxyxy，表示的平面区域，区域D上的点与点（1，0）之间的距离的最小值为___________.【解题指南】作出可行域D，然后可以看出点（1，0）到D的距离的最小值为点（1，0）到直线2x-y=0的距离。【解析】作出可行域D,点（1，0）到区域D上点的最小距离即是点（1，0）到直线2x-y=0的距离，22|210|25521d。【答案】25520.给定区域D：44,4,0,xyxyx令点集T={(x0,y0)∈D|x0,y0∈Z,(x0,y0)是z=x+y在D上取得最大值或最小值的点}，则T中的点共确定____条不同的直线。【解题指南】本题考查线性规划中的整点最优解问题，可列出整点验算.【解析】区域D是以(0,1),(0,4),(4,0)为顶点的三角形内部区域（含边界），D内的整点有(0,1),(0,2),(0,3),(0,4),(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1),(4,0)，这11个点是z=x+y在D上取得最大值或最小值的点为(0,1),(0,4),(1,3),(2,2),(3,1),(4,0)，这些点共确定6条不同的直线.9【答案】6.21.已知变量,xy满足约束条件30,11,1,xyxy则zxy的最大值是．【解题指南】本题考查线性规划中的最优解问题，可画出可行域计算.【解析】可行域D是以(1,1),(1,2),(1,4),(1,1)为顶点的直角梯形内部区域（含边界），z=x+y在D上取得最大值的点为(1,4)，最大值是5.【答案】5.22.在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组2360200xyxyy所表示的区域上一动点，则OM的最小值为_______【解题指南】可画出不等式组表示的平面区域，OM的最小值即为在平面区域内找一点，使得这点与原点的距离最小.【解析】作出可行域如图易知过原点做直线02yx的垂线，即为OM的最小值,21120022minOM.【答案】2.23.若点(x,y)位于曲线|1|yx与y＝2所围成的封闭区域,则2x－y