不确定性原理

不确定性原理在量子力学里，不确定性原理（uncertaintyprinciple，又译不确定原理、测不准原理）表明，粒子的位置与动量不可同时被确定，位置的不确定性与动量的不确定性遵守不等式；其中，是约化普朗克常数。维尔纳·海森堡于1927年发表论文给出这原理的原本启发式论述，因此这原理又称为“海森堡不确定性原理”。[1][2]根据海森堡的表述，测量这动作不可避免的搅扰了被测量粒子的运动状态，因此产生不确定性。同年稍后，厄尔·肯纳德（EarlKennard）给出另一种表述。[3]隔年，赫尔曼·外尔也独立获得这结果[4]。按照肯纳德的表述，位置的不确定性与动量的不确定性是粒子的秉性，它们共同遵守某极限关系式，与测量动作无关。这样，对于不确定性原理，有两种完全不同的表述。[5]追根究柢，这两种表述等价，可以从其中任意一种表述推导出另一种表述。[6]:10长久以来，不确定性原理与另一种类似的物理效应（称为观察者效应）时常会被混淆在一起。[5][7]观察者效应指出，对于系统的测量不可避免地会影响到这系统。为了解释量子不确定性，海森堡的表述所援用的是量子层级的观察者效应。[8]之后，物理学者渐渐发觉，肯纳德的表述所涉及的不确定性原理是所有类波系统的内秉性质，它之所以会出现于量子力学完全是因为量子物体的波粒二象性，它实际表现出量子系统的基础性质，而不是对于当今科技实验观测能力的定量评估。[9]在这里特别强调，测量不是只有实验观察者参与的过程，而是经典物体与量子物体之间的相互作用，不论是否有任何观察者参与这过程。[10][注1]类似的不确定性关系式也存在于能量和时间、角动量和角度等物理量之间。由于不确定性原理是量子力学的重要结果，很多一般实验都时常会涉及到关于它的一些问题。有些实验会特别检验这原理或类似的原理。例如，检验发生于超导系统或量子光学系统的“数字－相位不确定性原理”。[12][13]对于不确定性原理的相关研究可以用来发展引力波干涉仪所需要的低噪声科技。历史[编辑]紧跟在汉斯·克拉默斯（HansKramers）的开拓工作之后，1925年6月，维尔纳·海森堡发表论文《运动与机械关系的量子理论重新诠释》（Quantum-TheoreticalRe-interpretationofKinematicandMechanicalRelations），创立了矩阵力学[15]。旧量子论渐渐式微，现代量子力学正式开启。矩阵力学大胆地假设，关于运动的经典概念不适用于量子层级。在原子里的电子并不是运动于明确的轨道，而是模糊不清，无法观察到的轨域；其对于时间的傅里叶变换只涉及从量子跃迁中观察到的离散频率。海森堡在论文里提出，只有在实验里能够观察到的物理量才具有物理意义，才可以用理论描述其物理行为，其它都是无稽之谈。因此，他避开任何涉及粒子运动轨道的详细计算，例如，粒子随着时间而改变的确切运动位置。因为，这运动轨道是无法直接观察到的。替代地，他专注于研究电子跃迁时，所发射的光的离散频率和强度。他计算出代表位置与动量的无限矩阵。这些矩阵能够正确地预测电子跃迁所发射出光波的强度。同年6月，海森堡的上司马克斯·玻恩，在阅读了海森堡交给他发表的论文后，发觉了位置与动量无限矩阵有一个很显著的关系──它们不互相对易。这关系称为正则对易关系，以方程表示为[16]：。在那时，物理学者还没能清楚地了解这重要的结果，他们无法给予合理的诠释。1926年，海森堡任聘为哥本哈根大学尼尔斯·玻尔研究所的讲师，帮尼尔斯·玻尔做研究。在那里，海森堡表述出不确定性原理，从而为后来知名为哥本哈根诠释奠定了的坚固的基础。海森堡证明，对易关系可以推导出不确定性，或者，使用玻尔的术语，互补性[17]：不能同时观测任意两个不对易的变量；更准确地知道其中一个变量，则必定更不准确地知道另外一个变量。在他著名的1927年论文里，[1]海森堡写出以下公式。这公式给出了任何位置测量所造成的最小无法避免的动量不确定值。虽然他提到，这公式可以从对易关系导引出来，他并没有写出相关数学理论，也没有给予和确切的定义。他只给出了几个案例（高斯波包）的合理估算。[18]在海森堡的芝加哥讲义里，他又进一步改善了这关系式：[18]。1927年厄尔·肯纳德（EarlKennard）首先证明了现代不等式[3]：；其中，是位置标准差，是动量标准差，是约化普朗克常数。1929年，霍华德·罗伯森（HowardRobertson）给出怎样从对易关系求出不确定关系式。[19]观察者效应[编辑]不确定性原理时常会被这样解释：粒子位置的测量不可避免地搅扰了粒子的动量（这结论可以从海森堡显微镜实验获得），以方程表示，[6]:8-11；其中，是测量位置所出现的误差，是动量被测量位置的动作所搅扰才出现的误差。反之亦然，粒子动量的测量不可避免地搅扰了粒子的位置（这结论可以从多普勒速率表实验获得），以方程表示，[6]:11-12；其中，是测量动量所出现的误差，是位置被测量动量的动作所搅扰才出现的误差。换句话说，不确定性原理是一种观察者效应。这解释时常会被曲解，在概念上，似乎测量所产生的搅扰是可以避免的，因为粒子的量子态可以同时拥有明确的位置和明确的动量，问题是现今最先进实验仪器仍旧无法制备出这些量子态。但是，这概念并不正确，同时具有明确位置与明确动量的量子态并不存在，不能归咎于实验仪器。根据量子测量理论，测量必定会造成或大或小的搅扰，这观察者效应是无可避免的──可以更准确地测量位置，但动量必遭遇更大的搅扰；可以更准确地测量动量，但位置必遭遇更大的搅扰。海森堡并没有专注于量子力学的数学表述，他主要的目标是在建立一种事实──不确定性是宇宙的一种特性；任何实验绝对无法，超过量子力学所允许范围，更准确地测量一个粒子的位置和动量。在证明这事实时，海森堡的物理论点是以量子的存在为基础，而不是使用整个量子力学形式论。海森堡这样做的主要原因是，在那时，量子力学尚未被学术界广泛的接受。不确定性原理是个相当诧异的结果。许多物理学家认为，明确位置与明确动量的量子态的不存在，是量子力学的一个瑕疵。海森堡试图表明这不是一个瑕疵，而是一个特色，宇宙的一个又深奥微妙，又令人惊讶的特色。为了要达到这目的，他不能使用量子力学形式论，因为他要辩护的正是量子力学形式论本身。海森堡显微镜实验[编辑]主条目：海森堡显微镜实验海森堡假想测量电子（蓝点）位置的伽马射线显微镜。波长为的侦测伽马射线（以绿色表示），被电子散射后，进入孔径角为的显微镜。散射后的伽马射线以红色表示。在经典光学里，分辨电子位置的不确定性是。为了解释不确定性原理，海森堡设计出伽马射线显微镜思想实验[18]。在这实验里，实验者朝着电子发射出一个光子来测量电子的位置和动量。波长短的光子可以很准确地测量到电子位置；但是，它的动量很大，而且会因为被散射至随机方向，转移了一大部分不确定的动量给电子。波长很长的光子动量很小，这散射不会大大地改变电子的动量。可是，电子的位置也只能大约地被测知。根据瑞利判据，显微镜准确分辨电子位置的不确定性大约为；其中，是显微镜的焦距，是光子波长，是孔径的直径。假设电子原本的位置是在显微镜的焦点，；其中，是孔径角，对于小角弧，。所以，。由于动量守恒定律，光子的碰撞会改变电子的动量。根据康普顿散射理论，电子动量的不确定性是；其中，是光子的动量，是普朗克常数。对于这测量运作，位置不确定性和动量不确定性的乘积关系为。这是海森堡不确定性原理的近似表达式。[20]:21在这实验里，被测量的物理量是位置，是测量误差，而被搅扰的物理量是动量，是搅扰误差，因此，。在经典力学里，在测量物体时，搅扰可以被消减得越小越好，但在量子力学里，存在着一个基础下限，搅扰不能低于这基础下限，并且，这搅扰无法被控制、无法被预测、无法被修正。海森堡显微镜实验创新地给出这两种限制[21]:47-50。单狭缝衍射[编辑]单狭缝实验示意图。粒子的波粒二象性的概念可以用来解释位置不确定性和动量不确定性的关系。自由粒子的波函数为平面波。假设，这平面波入射于刻有一条狭缝的不透明挡板，平面波会从狭缝衍射出去，在档墙后面的侦测屏，显示出干涉图样。根据单狭缝衍射公式，从中央极大值位置（最大波强度之点）到第一个零点（零波强度之点）的夹角为；其中，是平面波的波长，是狭缝宽度。给定平面波的波长，狭缝越窄，衍射现象越宽阔，越大；狭缝越宽，衍射现象越窄缩，越小。当粒子穿过狭缝之前，在y方向（垂直于粒子前进方向，x方向）的动量是零。穿过狭缝时，粒子的遭遇搅扰。新的可以由粒子抵达侦测屏的位置计算出来。的不确定性大约是当粒子穿过狭缝时，粒子的位置不确定性是狭缝宽度：。所以，位置不确定性与动量不确定性的乘积大约为。从德布罗意假说，。所以，位置不确定性与动量不确定性遵守近似式[22]:64-66。在这实验里，被测量的物理量是位置，是测量误差，而被搅扰的物理量是动量，是搅扰误差，因此，。理论概述[编辑]在数学方面，位置与动量之所以会存在有不确定性关系，纯然是因为表达于位置空间与动量空间的波函数分别是彼此的傅里叶变换（也就是说，位置与动量是共轭对偶）。在傅里叶分析里，类似的关系式也会出现于其它傅里叶共轭对偶。例如，在声学里，纯音的音波频率集中于单一频率，其傅里叶变换给出的在时域内的声波形状完全不具局域性（去局域性）的正弦波。在量子力学里，粒子的位置与动量是共轭对偶，粒子在位置空间的位置呈物质波的形状，动量可以用德布罗意关系式给出，其中，是物质波的波数。按照量子力学的数学表述，任意代表不相容可观察量的共轭对偶必须遵守类似的不确定性限制。可观察量的本征态代表测量结果为其对应本征值的量子态。例如，给定不相容可观察量、。假若对于可观察量做测量，则在测量之后，系统的量子态会是的某个本征态。这本征态通常不会是的本征态。[注2]平面波波包德布罗意波的1维传播，复值波幅的实部以蓝色表示、虚部以绿色表示。在某位置找到粒子的概率（以颜色的不透明度表示）呈波形状延展。波动力学里，波函数描述粒子的量子行为。在任意位置，波函数绝对值的平方是粒子处于那位置的概率；概率越高，则粒子越常处于那位置。动量则与波函数的波数有关。根据德布罗意假说，物体是物质波，这性质称为波粒二象性。粒子的位置可以用波函数描述。假设这波函数的空间部分是单色平面波，以方程表示；其中，是波数，是动量。玻恩定则（Bornrule）表明，波函数可以用来计算概率，在位置与之间找到粒子的概率为。对于单色平面波案例，是均匀分布，这粒子的位置极端不确定，因为，它在与之间任意位置的概率都一样。假设某波函数是很多正弦波的叠加：；其中，系数是动量为的粒子模态的贡献。取连续性极限，波函数是所有可能模态的积分：；其中，是这些连续性模态的数值，称为动量空间的波函数。以数学术语表达，的傅里叶变换是，位置与动量是共轭对偶。将这些平面波叠加在一起的副作用是动量的不确定性变大，是很多不同动量的平面波组成的混合波。标准差定量地描述位置与动量的不确定性。粒子位置的概率密度函数可以用来计算其标准差。使用更多平面波，可以减低位置的不确定性，即减低，但也因此增加动量的不确定性，即增加。这就是不确定性原理的概念。导引[编辑]当两个算符和作用于一个函数时，它们不一定会对易。例如，设定为乘以，设定为对于的导数。那么，。使用算符语言，可以表达为。这例子很重要。因为，它很像量子力学的正则对易关系。特别地，位置和动量的正则对易关系是。在希尔伯特空间内，任意两个态矢量和，必定满足柯西-施瓦茨不等式：。限制算符和为厄米算符。它们所代表的都是可观察量。设定，。那么，按照柯西-施瓦茨不等式，。注意到任意复数的绝对值平方必定大于或等于其虚数部分的绝对值平方：；其中，表示取右边项目的虚数。复数的虚数部分等于这复数与其共轭复数的差额除以：。从上述这三条公式，可以得到罗伯森-薛定谔关系式的一种形式：。罗伯森-薛定谔不确定性关系式还不是不确定性原理的关系式。为了要求得不确定性原理的关系式，执行以下替换：，。那么，。定义标准差为。标准差就是不确定性。任意两个可观察量的不确定性原理为。局域性波包[编辑]一