基于ARMA模型的功率谱估计

LOGO贾鑫2012.12.08目录一、ARMA过程基本理论二、平稳ARMA过程功率谱三、平稳ARMA过程谱估计四、AR模型辨识五、算例目录一、ARMA过程基本理论二、平稳ARMA过程功率谱三、平稳ARMA过程谱估计四、AR模型辨识五、算例1、相当多的平稳随机过程都可以通过用白噪声激励一线性时不变系统来产生。2、线性系统可以用线性差分方程（ARMA模型）进行描述。3、任何一个有理式的功率谱密度都可以用一个ARMA随机过程的功率谱来精确逼近。将广义的平稳过程x(n)表示成一个输入序列u(n)(白噪声)激励线性系统H(z)(ARMA模型)的输出由H(z)的输出功率谱来估计x(n)的功率谱ARMA过程定义()()ienxnh利用已知的x(n)来估计H(z)的参数将广义的平稳过程x(n)表示成一个输入序列u(n)(白噪声)激励线性系统H(z)(ARMA模型)的输出由H(z)的输出功率谱来估计x(n)的功率谱ARMA过程定义离散随机过程服从线性差分方程：为离散白噪声，则称为ARMA过程。自回归(autoregressive)—滑动平均(movingaverage)过程{()}en{()}xn{()}xn11()(1)()()(1)()pqxnaxnaxnpenbenbenq11()()()()pqijijxnaxnienbenjAR阶数AR参数MA阶数MA参数ARMA过程定义2()~(0,)enN()()jzxnxnj后向移位算子：11()1ppAzazaz其中：00()()pqijijaxnibenj()()()()AzxnBzen11()1qqBzbzbzARMA过程定义()()()nknkxnekhenhARMA模型描述的线性时不变（LTI）系统传递函数：()()ienxnh()()()iiiBzHzhzAzARMA过程定义冲击响应系数满足ARMA模型的条件：(1)冲激响应系数必须绝对可求和：(系统稳定)(2)A(z)和B(z)无公共因子(p,q唯一)(3)系统是物理可实现的(因果系统)极点的作用：决定系统的稳定性和因果性因果性：称x(n)是e(n)的因果函数，若即因果系统要求极点在单位圆以内，A(z)的根|z|1kkh()()()BzHzAz零点部分极点部分0()()iiiihxnheni⑴⑵ARMA过程性质零点的作用：决定系统的可逆性，即可逆性：称e(n)是x(n)的可逆函数，若(1)存在序列，并满足(2)——可逆系统的稳定——可逆性条件11()()()()AzHzHzBz0()()iienxniiiiARMA过程性质()1Az11()()1()iqiqiBzHzhzbzbzAz()()()()AzxnBzen特例一：MA过程()()()xnBzen1,,ihiq抽头有限冲激响应(FIR)系统ARMA过程特例—MA过程滑动平均1()()HzAz2()1,()WN(0,)eBzen特例二：AR过程中含有的无数多项1z无限冲激响应(IIR)系统ARMA过程特例—AR过程自回归()()()()AzxnBzenARMA过程的Wold分解定理Wold分解定理：任何一个具有有限方差的ARMA或MA过程，可以表示成唯一的、阶数有可能无穷大的AR过程；同样，任何一个ARMA或AR过程也可以表示成一个阶数可能无穷大的MA过程。目录一、ARMA过程基本理论二、平稳ARMA过程功率谱三、平稳ARMA过程谱估计四、AR模型辨识五、算例1*11*1()1()()1()ppqqAzazazAzBzbzbzBz21221()()()()()()()xjwjwzezeBzBzBzPAzAzAz则功率谱其中()()()()AzxnBzen2()(0,)enN～ARMA过程功率谱定义ARMA过程功率谱定义证明设是零均值离散时间平稳过程，取ARMA过程则：对上式两边取数学期望计算自相关函数ARMA过程功率谱定义由上式计算功率谱密度函数取为白噪声，则有（白噪声功率谱密度为常数，）固有目录一、ARMA过程基本理论二、平稳ARMA过程功率谱三、平稳ARMA过程谱估计四、AR模型辨识五、算例Wold定理表明：一个ARMA模型可以用一个阶数足够大的AR模型来近似。相比于ARMA模型不仅需要确定AR阶数和MA阶数，还需要估计AR参数和MA参数（MA参数估计必须求解非线性方程组），AR模型相对简单，故工程上常用AR模型作近似。ARMA功率谱的线性估计方法的基本思路都是首先解线性方程估计出AR参数，再通过一定的方法，将功率谱表达式转换成只需要AR参数，而不需要MA具体参数值的计算表达式。估计方法21221()()()()()()()xjwjwzezeBzBzBzPAzAzAz估计方法AR过程的实现方法ARMA过程的实现方法定阶p&q估计AR、MA参数功率谱计算将ARMA功率谱密度分解为两部分之和：线性化方法一:Cadzow谱估计子其中，取：另一方面功率谱可做如下类似分解：其中，取：线性化方法一:Cadzow谱估计子可以得到：从而可以计算ARMA模型的功率谱：线性化方法二:Kaveh谱估计子将ARMA功率谱密度公式作如下变形：为了保证上式中第二个等号相等，有：可以看出，具有对称性，即：从上式中第三个等式，有：线性化方法二:Kaveh谱估计子比较上式两边同幂次项的系数，可以得到：从而可以计算ARMA模型的功率谱：目录一、ARMA过程基本理论二、平稳ARMA过程功率谱三、平稳ARMA过程谱估计四、AR模型辨识五、算例AR模型阶数确定FPE(FinalPredictionError)准则函数AIC(AnInformationCriterion)准则函数MDL(MinimumDescriptionLength)准则函数在各自准则取得最小值时的模型为适用模型为AR模型阶数，为激励方差，为样本点数。赤池，日本，1969赤池，日本，1974Rissanen，芬兰，1983AR模型参数估计ARMA过程可以表示为：其自相关函数为：由白噪声，有：因此，可得：AR模型参数估计由ARMA过程的定义式，有：从而可以得到下式：注意，对于一个ARMA过程而言，其MA参数在q阶以上为零，即有：ARMA过程的自相关函数可总结为如下结构:式中，p和q分别是AR和MA的阶数，ai和bj分别是AR参数和MA参数，r(k)是输入信号的自相关函数，h是ARMA模型的参数，当h下标小于0时，h均取零。该式是很多AR(MA)过程确定AR系数估计器的基础。AR模型参数估计0001)0()2()1()()2()0()1()2()1()1()0()1()()2()1()0(221pxxxxxxxxxxxxxxxxaaarprprprprrrrprrrrprrrr解上述方程，就可以求出功率谱计算公式中的所需参数，进而求出功率谱。对于该方程，可以采用直接解法，也可以采用Levinson-Durbin或Delsarte-Genin等阶递推算法来减小计算量。AR模型参数估计--Yule-Walker方法AR模型参数估计--最小二乘方法AR模型参数估计--最小二乘方法取目标函数：求解方程组：可得：令：即可确定AR模型参数。引申：当同时考虑A和b二者的误差或扰动时，可获得AR参数估计的总体最小二乘法。目录一、ARMA过程基本理论二、平稳ARMA过程功率谱三、平稳ARMA过程谱估计四、AR模型辨识五、算例算例1、利用matlab自带的计算函数，实现了对信号的AR功率谱估计。2、利用matlab自带的AR模型参数计算函数，结合Yule—Walker方程，实现了对信号的功率谱估计。3、利用Yule—Walker方法，首先对ARMA模型的AR参数进行计算，并利用Levinson—Durbin算法实现对MA参数的估计，完成对信号的功率谱估计。4、利用Yule—Walker方法，首先对ARMA模型的AR参数进行计算，并利用Kaveh谱估计子算法，实现对信号的功率谱估计。算例估计信号如下：x=cos(2*pi*40*n)+3*cos(2*pi*90*n)+randn(size(n));采样频率：Fs=1024傅里叶变换数：nfft=512;算例1、ARmatlab各种自带函数算例1ARmatlab自带函数可以看出利用matlab的自带函数，各种估计方法所得的结果非常接近接下来我们就考察AR参数的不同对估计结果的影响了，有了上一结论，我们可以只采用一种算法来进行不同AR阶数的估计比较即可。算例1ARmatlab自带函数AR阶数的选取对于估计的结果又一定的影响算例2ARmatlab确定参数自解方程算例3ARMA修正Yule—WalkerLevinson—Durbin算法算例3ARMA修正Yule—WalkerLevinson—Durbin算法算例4ARMA修正Yule—WalkerKaveh估计子算例4ARMA修正Yule—WalkerKaveh估计子LOGO