专题6概率与统计.

专题6热点重点难点专题透析·数学(文科)【考情报告】专题6热点重点难点专题透析·数学(文科)专题6热点重点难点专题透析·数学(文科)【考向预测】概率与统计是高中数学的一个重要学习内容，也是高考考查的必考重点内容之一．本部分考查的内容主要有：抽样方法，统计图表(样本频率分布表与直方图、茎叶图)，统计数据的数字特征(平均数、方差、中位数、众数)，变量间的关系，随机事件的概率、古典概型、几何概型，以及回归分析与独立性检验．由于新课标的影响及概率与统计自身的特征，概率与统计试题的背景与日常生活最贴近，联系也最为紧密，不管是从内容上，还是从思想方法上，都体现着应用的观念与意识，考查学生处理数据的能力，考查学生对概率专题6热点重点难点专题透析·数学(文科)事件的识别及概率计算，以及分类与整合、化归与转化、或然与必然思想的运用，考查学生的阅读与理解能力、分析问题及解决问题的能力．从近三年新课标高考来看，该部分在高考试卷中一般是一个小题和一个解答题，对这一部分内容的考查注重考查基础知识和基本方法．预测2014年高考概率与统计部分题型仍然保持平稳，以低中档题目出现，难度不大．在高考小题的考查中，抽样方法、几何概型仍将出现，也有可能把频率分布直方图、回归分析或独立性检验作为小题考查；在高考大题的考查中，主要以基本事件(等可能事件、互斥事件、对立事件)的概率为基础进行考查，可能会出现与分层抽样、专题6热点重点难点专题透析·数学(文科)样本频率分布表与直方图、回归分析、独立性检验等知识综合在一起，或与函数、不等式、线性规划等知识交汇的试题．【问题引领】1．(2013湖南卷)某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件．为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n等于()．A．9B．10C．12D．13专题6热点重点难点专题透析·数学(文科)【解析】抽样比例60∶3＝20∶1，则n＝120＋80＋6020＝13.【答案】D2．某班共有52名学生，分别用1，2，…，52为他们编号，现根据学生的学号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知3号、29号、42号同学在样本中，那么样本中还有一个同学的学号是()．A．10B．11C．12D．16【解析】因为29号、42号的号码差为13，所以3＋13＝16，即另外一个同学的学号是16，选D.【答案】D专题6热点重点难点专题透析·数学(文科)3．某商品的销售量y(件)与销售价格x(元/件)存在线性相关关系，根据一组样本数据(xi，yi)(i＝1，2，…，n)，用最小二乘法建立的回归方程为y^＝－10x＋200，则下列结论正确的是()．A．y与x具有正的线性相关关系B．若r表示变量y与x之间的线性相关系数，则r＝－10C．当销售价格为10元/件时，销售量为100件D．当销售价格为10元/件时，销售量为100件左右【解析】当销售价格为10元/件时，y^＝－10×10＋200＝100，即销售量为100件左右，选D.专题6热点重点难点专题透析·数学(文科)【答案】D4．(2013新课标全国Ⅰ卷)从1，2，3，4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是()．A.12B.13C.14D.16【解析】从1，2，3，4中任意取出2个数，一共有如下情形：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，共6种．设事件A为：取出的2个数之差的绝对值为2.则事件A包含的情形如下：(1，3)，(2，4)，共2种．根专题6热点重点难点专题透析·数学(文科)据古典概型，得到事件A发生的概率为P(A)＝26＝13.答案为B.【答案】B5．国家环境标准制定的空气质量指数与空气质量等级对应关系如下表：由全国重点城市环境监测网获得的2月份某五天甲城市和乙城市的空气质量指数数据用茎叶图表示如下：专题6热点重点难点专题透析·数学(文科)(1)试根据上面的统计数据，判断甲、乙两个城市的空气质量指数的方差的大小关系(只需写出结果)；(2)试根据上面的统计数据，估计甲城市某一天空气质量等级为2级良的概率；(3)分别从甲城市和乙城市的统计数据中任取一个，试求这两个城市空气质量等级相同的概率．(注：s2＝1n[(x1－x－)2＋(x2－x－)2＋…＋(xn－x－)2]，其专题6热点重点难点专题透析·数学(文科)中x－为数据x1，x2，…，xn的平均数)【解析】(1)甲城市的空气质量指数的方差大于乙城市的空气质量指数的方差．(2)根据上面的统计数据，可得在这五天中甲城市空气质量等级为2级良的频率为35，则估计甲城市某一天的空气质量等级为2级良的概率为35.(3)设事件A：从甲城市和乙城市的上述数据中分别任取一个，这两个城市的空气质量等级相同，由题意可知，从甲城市和乙城市的监测数据中分别任取一个，共有25个结专题6热点重点难点专题透析·数学(文科)果，分别记为：(29，43)，(29，41)，(29，55)，(29，58)(29，78)(53，43)，(53，41)，(53，55)，(53，58)，(53，78)，(57，43)，(57，41)，(57，55)，(57，58)，(57，78)，(75，43)，(75，41)，(75，55)，(75，58)，(75，78)，(106，43)，(106，41)，(106，55)，(106，58)，(106，78)．其数据表示两城市空气质量等级相同的包括同为1级优的为甲29，乙41，乙43，同为2级良的为甲53，甲57，甲75，乙55，乙58，乙78.则空气质量等级相同的为：(29，41)，(29，43)，(53，55)，(53，58)，(53，78)，(57，55)，(57，58)，(57，78)，专题6热点重点难点专题透析·数学(文科)(75，55)，(75，58)，(75，78)．共11个结果．则P(A)＝1125.所以这两个城市空气质量等级相同的概率为1125.6．(2013福建卷)某工厂有25周岁以上(含25周岁)工人300名，25周岁以下工人200名．为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上(含25周岁)”和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分成5组：[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]分别加以专题6热点重点难点专题透析·数学(文科)统计，得到如图所示的频率分布直方图．专题6热点重点难点专题透析·数学(文科)(1)从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率；(2)规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？附：χ2＝n（n11n22－n12n21）2n1＋n2＋n＋1n＋2专题6热点重点难点专题透析·数学(文科)P(χ2≥k)0.1000.0500.0100.001k2.7063.8416.63510.828(注：此公式也可以写成K2＝n（ad－bc）2（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)【解析】(1)由已知得，样本中有25周岁以上组工人60名，25周岁以下组工人40名．所以，样本中日平均生产件数不足60件的工人中，25周岁以上组工人有60×0.05＝3(人)，记为A1，A2，A3；25周岁以下组工人有40×0.05＝2(人)，记为B1，B2.从中随机抽取2名工人，所有的可能结果共有10种，它们是：(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，专题6热点重点难点专题透析·数学(文科)(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)．其中，至少有1名“25周岁以下组”工人的可能结果共有7种，它们是：(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)．故所求的概率P＝710.(2)由频率分布直方图可知，在抽取的100名工人中，“25周岁以上组”中的生产能手有60×0.25＝15(人)，“25周岁以下组”中的生产能手有40×0.375＝15(人)，据此可得2×2列联表如下：专题6热点重点难点专题透析·数学(文科)生产能手非生产能手合计25周岁以上组15456025周岁以下组152540合计3070100所以得K2＝n（ad－bc）2（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）＝100×（15×25－15×45）260×40×30×70＝2514≈1.79.因为1.79＜2.706，所以没有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”．专题6热点重点难点专题透析·数学(文科)【诊断参考】1．抽样方法是统计中最基础的内容，也是高考中常会涉及的考点之一．解答此类问题，容易出现以下几个错误：(1)忽视随机抽样的公平性，不知道从含有N个个体的总体中抽取一个容量为n的样本，在整个抽样过程中，不论哪一种方法，每个个体被抽到的概率都是nN；(2)忽视简单随机抽样、分层抽样、系统抽样这三种抽样的各自适用范围，不能结合实际采用合适的抽样方法来解决实际问题；(3)对简单随机抽样、分层抽样、系统抽样的规则不熟悉，不能正确抽取样本、计算样本个数、总体个数．专题6热点重点难点专题透析·数学(文科)2．用样本估计总体是研究统计问题的一个基本思想方法，一般样本容量越大，这种估计就越精确．用样本估计总体一般是应用样本频率直方图、茎叶图，求解平均数、方差、中位数、众数等．在求解过程中，重点把握平均数、方差、中位数、众数的概念以及图表中各个量的意义，避免出现误解、曲解一些概念的内涵以及计算的失误．3．计算随机事件概率要注意以下几点：(1)没有抓住“概率”的本质，与“频率”相混淆；(2)不能准确理解基本事件的构成，导致辨不清是古典概型还是几何概型；(3)用列举法没有按某顺序逐一列举，计算事件个数错误；(4)求复杂的互斥事件的概率，不能将所求事件的概率分解为一些彼专题6热点重点难点专题透析·数学(文科)此互斥的事件的概率的和，也不会运用间接法，先求该事件的对立事件的概率，再由P(A)＝1－P(A－)求解，造成计算概率失误．4．回归分析是数理统计中最常用的统计方法之一，它研究的是一个变量与另一个变量之间的相关关系．在解答实际问题时，容易忽视以下几个方面：(1)求线性回归方程之前，没有对数据进行线性相关分析，导致求出的直线方程没有实际意义；(2)不知线性回归直线必过样本中心点(x－，y－)，从而进行复杂的运算，产生错误的结果；(3)利用线性专题6热点重点难点专题透析·数学(文科)回归直线方程y^＝bx＋a进行预测时，与函数关系相混淆，误以为预测变量的取值是一个确定的值．5．独立性检验的结论仅仅是一种数学关系，得出的结论也可能犯错误．在解决实际问题的过程中，正确理解它的基本思想，要注意应用公式计算随机变量K2(或χ2)的值，并与临界值相比较，否则易造成判断错误．【知识整合】1．事件的关系与运算专题6热点重点难点专题透析·数学(文科)专题6热点重点难点专题透析·数学(文科)2.概率模型专题6热点重点难点专题透析·数学(文科)3.统计专题6热点重点难点专题透析·数学(文科)4．变量之间的相关关系散点图线性相关性正相关、负相关回归直线方程y^＝bx＋a专题6热点重点难点专题透析·数学(文科)5.统计案例专题6热点重点难点专题透析·数学(文科)6.回归分析和独立性检验(1)回归直线方程：y^＝bx＋a(也可写成y＝a＋bx或y^＝b^x＋a^)一定过样本点中心(x－，y－)．(2)独立性检验：假设有两个分类变量X和Y，它们的值域分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(称为2×2列联表)为y1y2总计x1aba＋bx2cdc＋d总计a＋