专题六算法复数推理与证明概率与统计

专题六算法、复数、推理与证明、概率与统计第一讲算法、复数、推理与证明(选择、填空题型)1．(2014·福建高考)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的n的值为()A．1B．2C．3D．4解析：选B当n＝1时，2112成立，当n＝2时，2222不成立，所以输出n＝2，故选B.2.(2014·新课标全国卷Ⅰ)执行下面的程序框图，若输入的a，b，k分别为1,2,3，则输出的M＝()A.203B.72C.165D.158解析：选D第一次循环：M＝32，a＝2，b＝32，n＝2；第二次循环：M＝83，a＝32，b＝83，n＝3；第三次循环：M＝158，a＝83，b＝158，n＝4，则输出M＝158，选D.3．(2014·山东高考)已知a，b∈R，i是虚数单位，若a－i与2＋bi互为共轭复数，则(a＋bi)2＝()A．5－4iB．5＋4iC．3－4iD．3＋4i解析：选D根据已知得a＝2，b＝1，所以(a＋bi)2＝(2＋i)2＝3＋4i.4．(2014·新课标全国卷Ⅱ)设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝2＋i，则z1z2＝()A．－5B．5C．－4＋iD．－4－i解析：选A由题意可知z2＝－2＋i，所以z1z2＝(2＋i)·(－2＋i)＝i2－4＝－5.5．(2014·陕西高考)观察分析下表中的数据：多面体面数(F)顶点数(V)棱数(E)三棱柱569五棱锥6610立方体6812猜想一般凸多面体中F，V，E所满足的等式是________．解析：三棱柱中5＋6－9＝2；五棱锥中6＋6－10＝2；立方体中6＋8－12＝2，由此归纳可得F＋V－E＝2.答案：F＋V－E＝21．程序框图的逻辑结构顺序结构、条件结构和循环结构．2．复数z＝a＋bi(a，b∈R)的分类(1)z是实数⇔b＝0；(2)z是虚数⇔b≠0；(3)z是纯虚数⇔a＝0，且b≠0.3．共轭复数复数a＋bi(a，b∈R)的共轭复数是a－bi(a，b∈R)．4．复数的四则运算法则(1)(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i；(2)(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i；(3)(a＋bi)÷(c＋di)＝ac＋bdc2＋d2＋bc－adc2＋d2i(a，b，c，d∈R，c＋di≠0)．5．两种合情推理的思维过程(1)归纳推理的思维过程：实验、观察―→概括、推广―→猜测一般性结论(2)类比推理的思维过程：实验、观察―→联想、类推―→猜测新的结论热点一算法问题命题角度(1)判断程序框图的功能，如T1；(2)根据程序框图求解输出结果问题，如T2；(3)根据程序框图填写或选取判断条件，如T3.1．阅读如图所示的程序框图，若输入的k＝10，则该算法的功能是()A．计算数列{2n－1}的前10项和B．计算数列{2n－1}的前9项和C．计算数列{2n－1}的前10项和D．计算数列{2n－1}的前9项和2．(2014·新课标全国卷Ⅱ)执行如图的程序框图，如果输入的x，t均为2，则输出的S＝()A．4B．5C．6D．73．程序框图如图，如果程序运行的结果为S＝132，那么判断框中可填入()A．k≤10B．k≥10C．k≤11D．k≥11[自主解答]1.由程序框图可知：输出S＝1＋2＋22＋…＋29，所以该算法的功能是计算数列{2n－1}的前10项和．2．在循环体部分的运算为：第一步，M＝2，S＝5，k＝2；第二步，M＝2，S＝7，k＝3.故输出结果为7.3．输出的S值是一个逐次累积的结果，第一次运行S＝12，k＝11；第二次运行S＝132，k＝10，如果此时输出结果，则判断框中的k的最大值是10.[答案]1.A2.D3.A识别程序框图应注意的问题对于循环结构的框图的识图问题，应明确循环结构的框图的特征，明确框图中变量的变化特点，根据框图中的条件决定是否执行框图中的运算，从而确定程序运行的结果．热点二复数的概念与运算命题角度(1)考查复数的概念及运算，如T1；(2)考查复数的几何意义，如T2；(3)考查复数代数形式的四则运算，如T3.1．(2014·江西高考)z是z的共轭复数，若z＋z＝2，(z－z)i＝2(i为虚数单位)，则z＝()A．1＋iB．－1－iC．－1＋iD．1－i2．(2014·蒲阳模拟)如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是，则|z1＋z2|＝()A．2B．3C．22D．333．(2014·安徽高考)设i是虚数单位，复数i3＋2i1＋i＝()A．－iB．iC．－1D．1[自主解答]1.设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z＝a－bi，又z＋z＝2，即(a＋bi)＋(a－bi)＝2，所以2a＝2，解得a＝1.又(z－z)i＝2，即[(a＋bi)－(a－bi)]·i＝2，所以bi2＝1，解得b＝－1.所以z＝1－i.2．由图知，＝(－2，－1)，＝(0,1)，根据复数的几何意义可知，z1＝－2－i，z2＝i，所以z1＋z2＝－2，从而|z1＋z2|＝2.故选A.3．i3＋2i1＋i＝－i＋i(1－i)＝1.[答案]1.D2.A3.D题1中条件不变，z对应的点在第几象限？解：由例题可知，z＝1－i，∴z＝1＋i，因此z对应的点在第一象限内．复数运算的技巧复数代数形式的运算类似于多项式的运算，加法类似于合并同类项，乘法类似于多项式乘多项式，除法类似于分母有理化(实数化)，分子、分母同乘分母的共轭复数．热点三推理与证明命题角度(1)归纳等式或不等式，如T1；(2)类比过程或类比结论，如T2.1．(2014·陕西高考)已知f(x)＝x1＋x，x≥0，若f1(x)＝f(x)，fn＋1(x)＝f(fn(x))，n∈N＋，则f2014(x)的表达式为．2．(2014·贵州六校联考)在平面几何中：△ABC的∠C的内角平分线CE分AB所成线段的比为ACBC＝AEBE.把这个结论类比到空间：在三棱锥A­BCD中(如图)面DEC平分二面角A­CD­B且与AB相交于E，则得到类比的结论是________________．[自主解答]1.由f1(x)＝x1＋x⇒f2(x)＝fx1＋x＝x1＋x1＋x1＋x＝x1＋2x；又可得f3(x)＝f(f2(x))＝x1＋2x1＋x1＋2x＝x1＋3x，故可猜想f2014(x)＝x1＋2014x.2．由类比推理的概念可知，平面中线段的比可转化为空间中面积的比，由此可得：AEEB＝S△ACDS△BCD.[答案]1.f2014(x)＝x1＋2014x2.AEEB＝S△ACDS△BCD合情推理的解题思路(1)在进行归纳推理时，要先根据已知的部分个体，把它们适当变形，找出它们之间的联系，从而归纳出一般结论．(2)在进行类比推理时，要充分考虑已知对象性质的推理过程，然后通过类比，推导出类比对象的性质．(3)归纳推理关键是找规律，类比推理关键是看共性．热点四程序框图与其他数学知识的交汇命题角度程序框图是高考考查算法最为重要的考查内容，常与其他数学知识交汇命题，多以选择题、填空题形式出现，属中、低档题.(1)程序框图与函数交汇命题；(2)程序框图与数列交汇命题；(3)程序框图与线性规划交汇命题；(4)程序框图与三角函数交汇命题；(5)程序框图与在概率统计交汇命题.[例](1)(2014·湖南高考)执行如图所示的程序框图，如果输入的t∈[－2,2]，则输出的S属于()A．[－6，－2]B．[－5，－1]C．[－4,5]D．[－3,6](2)(2014·陕西高考)根据如图所示的框图，对大于2的整数N，输出的数列的通项公式是()A．an＝2nB．an＝2(n－1)C．an＝2nD．an＝2n－1(3)(2014·四川高考)执行如图所示的程序框图，如果输入的x，y∈R，那么输出的S的最大值为()A．0B．1C．2D．3(4)(2014·大连模拟)执行如图所示的程序框图，若输入的x∈[0，π]，则输出y的取值范围是()A．[0,1]B.22，1C.－22，1D．[－1,1][师生共研](1)由程序框图可得S＝2t2＋1－3，t∈[－2，0，t－3，t∈[0，2]，其值域为(－2,6]∪[－3，－1]＝[－3,6]，故选D.(2)由程序框图可知：a1＝2×1＝2，a2＝2×2＝4，a3＝2×4＝8，a4＝2×8＝16，归纳可得：an＝2n，故选C.(3)当x≥0，y≥0，x＋y≤1时，由线性规划的图解法知，目标函数S＝2x＋y的最大值为2，否则，S的值为1.所以输出的S的最大值为2.(4)根据条件结构的条件，可知y为sinx，cosx的最大值，在同一坐标系中，画出y＝sinx，y＝cosx的图象，可知y的取值范围为[0,1]，故选A.[答案](1)D(2)C(3)C(4)A解决算法的交汇性问题的方法(1)读懂程序框图、明确交汇知识；(2)根据给出问题与程序框图处理问题；(3)注意框图中结构的判断．1．执行如图所示的程序框图，输出的k值是()A．4B．5C．6D．7解析：选B开始将n＝5代进框图，5为奇数．∴n＝3×5＋1＝16，此时k＝1.此后n为偶数，则代入n＝n2中，因此，当k＝1时，n＝16；当k＝2时，n＝8；当k＝3时，n＝4；当k＝4时，n＝2；当k＝5时，n＝1，输出k＝5.故选B.2．图(1)是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩茎叶图，第1次到第14次的考试成绩依次记为A1，A2，…，A14.图(2)是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图．那么算法流程图输出的结果是()图(1)图(2)A．7B．8C．9D．10解析：选D从算法流程图可知，该图是统计成绩大于或等于90分的考试次数．从茎叶图可知输出的结果为10.一、选择题1．(2014·重庆高考)实部为－2，虚部为1的复数所对应的点位于复平面的()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．(2014·福建联考)执行如图所示的程序框图，若输入的x值为2，则输出的x值为()A．3B．126C．127D．1283．(2014·广东高考)已知复数z满足(3－4i)z＝25，则z＝()A．－3－4iB．－3＋4iC．3－4iD．3＋4i4．(2014·福建高考)复数(3＋2i)i等于()A．－2－3iB．－2＋3iC．2－3iD．2＋3i5．(2014·福建高考)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S的值等于()A．18B．20C．21D．406．(2014·安徽考前模拟)如果执行如图所示的程序框图，那么输出的S＝20132014，那么判断框内是()A．k≤2013?B．k≤2014?C．k≥2013?D．k≥2014?7.(2014·东北三校联考)执行如图所示的程序框图，若输入如下四个函数：①f(x)＝sinx，②f(x)＝cosx，③f(x)＝1x，④f(x)＝x2，则输出的函数是()A．f(x)＝sinxB．f(x)＝cosxC．f(x)＝1xD．f(x)＝x28．(2014·黄冈模拟)用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a，b，c中恰有一个是偶数”正确的反设为()A．a，b，c中至少有两个偶数B．a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数C．a，b，c都是奇数D．a，b，c都是偶数9．(2014·河南三市联考)如图给出的是计算12＋14＋…＋1100的值的一个程序框图，则图中判断框内(1)处和执行框中的(2)处应填的语句是()A．i100，n＝n＋1B．i100，n＝n＋2C．i50，n＝n＋2D．i≤50，n＝n＋210.在直角坐标系xOy中，一个质点从A(a1，a2)出发沿图中路线依次经过B(a3，a4)，C(a5，a6)，D(a7，a8)，…，按此规律一直运动下去，则a2013＋a2014＋a2015＝()A．1006B．1007C．1008D．1009二、填空题11．(2014·北京高考)若(x＋i)i＝－1＋2i(x∈R)，则x＝________.12．(2014·江苏高考)已知复数z＝(5＋2i)2(i为虚数单位)，则z的实部为________．13