专题巧用旋转法解几何题

1旋转法主要用途：是把分散的条件通过旋转构造全等三角形，或借助中点，或转移到一个直角三角形中，运用勾股定理及它的逆定理来达到解题的目的。例1：如图,在Rt△ABC中，∠C=90°，D是AB的中点，E，F分别AC和BC上，且DE⊥DF。求证：EF2=AE2+BF2证：将△BDF绕点D逆时针旋转180°，点B的对应点为点G，连结EG∴∠ADG=∠BDF，DF=DG,∠DAG=∠DBF,BF=AG∴AG∥BC∴∠EAG=∠C=90°∵D是AB的中点∴AD=DB∴B与A重合，G、D、F共线∵DE⊥DF∴∠EDG=∠EDF=90°∵ED=ED∴△EDG≌△EDF（SAS）∴EG=EF∴EG2=AE2+AG2即EF2=AE2+BF2例2：如图2，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是△ABC内一点，且PA=3，PB=2，PC=1，求∠BPC的度数.解：将△ACP绕点C逆时针旋转90°，点P的对应点为点M，连结PM∴∠PCM=90°，BM=AP=3，CM=CP=1∴∠CPM=45°，PM=22MCPC=22PC=22∵∠ACB=90°，AC=BC∴A与B重合在△MPB中，PB2+PM2=（22）2+12=9=BM2∴∠BPM=90°∴∠BPC=∠CPM+∠MPB=45°+90°=135°GFEDCBAPMCBA2例3：如图，O是等边△ABC内一点，∠AOB=115°，∠BOC=125°，则以线段OA、OB、OC为边构成三角形的各角度数是多少？解：将△BOC绕B点按逆时针方向旋转60°，点O的对应点为点M，连结OM∵等边△ABC∴AB=BC,∠ABC=60°∴C与A重合∴BO=BM，AM=CO，∠MBO=60°，∠AMB=∠COB=125°∴△BOM是等边三角形，∴∠1=∠2=60°，MO=BO∴∠MOA=∠AOB-∠1=115°-60°=55°∠AMO=∠AMB-∠2=125°-60°=65°∠MAO=180°-∠MOA-∠AMO=180°－55°-65°=60°即以线段OA、OB、OC为边构成三角形的各角的度数分别为55°、65°、60°例4：如图，正方形ABCD的边长为1，AB、AD上各存一点P、Q，若△APQ的周长为2，求∠PCQ的度数。解：将△DCQ绕点C旋转90°，点Q的对应点为F∵正方形ABCD∴CD=BC，∠BCD=90°∴D与B重合，DQ=BF，CQ=CF，∠QCF=90°∵C△APQ=AQ+AP+QP=2，AD+AB=AQ+QD+AP+PB=2∴DQ+BP=QP∴PF=BP+BF=DQ+BP=QP∵CP=CP∴FCPQCP（SSS）∴∠PCQ=∠PCF=1/2∠QCF=45°