中学数学学习领域成就评量概述

1中學數學學習領域成就評量概述教育部數學學科中心臺北市立建國高中曾政清老師前言二十一世紀的現代國民，為了認識世界、適應生活，處理日亦複雜的數字資訊與概念，必須懂得一定的數學知識與方法，尤其是數學本質不但是理性的學問，也是哲學與邏輯的基礎。在科技迅速發展、生活自動化日亦提高的現代，數學知識體系的建立，可以帯給人們美的鑑賞力，滿足求知慾望，激發學習潛能，並進而景仰人類的偉大成就與自然界的浩瀚神奇。著名的科學家伽利略藉由細心的觀察與推理提出「地動說」，出發點亦在數學。他留給後代的一句格言是：大自然這本書是用數學寫出來。相對的，若缺乏相當的數學知識與實務運用，則更難適應現代的社會生活。因此在中小學教育中，數學的學習與評量是一件相當重要的事情，甚至在大學專業領域中，也是不可或缺。面對一個數學知識的評量，不但要看其數學內涵能理解多少，更要看其如何運用數學知識方法、問題解決能力，甚至是創造能力的產出。因此數學的評量自有其獨特性。一個好的數學評量不但能達成上述目標，更可以激發學習能量，甚至具體提升學習成效，增進數學學習興趣。正如哈佛教授Dr.HowardGardner(1991)認為評量在教學中扮演重要的角色，多元的評量方式，能帶來有立即有效的訊息，協助學生正確的學習。因此現代的教學評量已朝向統合化、適性化、生活化、網路化，使評量達到更專業化及個別化的目標，至於評量方式則呈現多元化、彈性化的趨勢。近幾年來，不管是政府相關單位或是民間基金會亦積極研發各種數學評量工具，以全面提升本土數學教育的品質。有鑑於全球化無國界的競爭，許多的數學評量、診斷亦積極與國際接軌，並透過與國際交流，讓臺灣本土所研發的數學教材及評量工具等能有機會與國外進行交流和分享。而許多國際數學評量測驗，不但可提供各級學校作為選才參考，亦能藉由參與國際測驗活動，積極進行研究發展與研討，使國內數學教育專家及中小學教師能有更多的對話平台，攜手為教育改革與提昇國家人才競爭力做出具體貢獻。數學評量早期對於中學生數學能力的界定，較偏重於知識體系的建立及基本的計算能力的增進，隨著多元能力的發展，逐漸重視邏輯推理能力提升、解題策略的運用及抽象思考的產生。根據全美數學教師協會所定義十種數學基本技能:(1)解題(2)應用數學於日常情境(3)對結果是否合理有所警覺(4)估計及概算(5)適當的計算技能(6)幾何(7)測量(8)圖表的閱讀、解釋與設計(9)利用數學進行預測(10)電腦素養等。及綜合國外學者克魯切次基、托瑪斯、科梅雷爾等人對於數學能力的解讀，包括抽象能力、邏輯推理能力、數學記2憶能力、運用公式、計算能力、空間概念及想像能力等等。據此分析國內中學生數學科基本能力的評量內容，可概略區分為概念建構能力、基本運算能力、表徵轉換能力及推理思考能力等四大領域。由於近幾年許多數學檢定與評量活動，已成為中學生數學能力與創造力展現的重要舞台。除了培養學生多元思考及激發數學的興趣與潛能外，更能引導正確的學習方向，提供自我挑戰與相互交流的機會，也替數學界發掘出不少優秀的人才。投資教育就是投資未來。早日發掘，經常有效地培育並輔導他們，使其能夠發揮天賦的才能，期能造福社會與國家，亦是教育努力耕耘的目標之一。因此本文擬介紹目前五種國內中學階段數學學習領域的成就測驗與評量，以期能結合國內外多元評量的實作經驗，應用在課堂中，持續激發中學生在數學方面的學習興趣，及訓練其獨立思考能力，積極打造青少年的魅力舞台，並作為改進教學評量之參考。一、台灣高中聯盟數學競賽TaiwanRegionsMathematicsLeague（TRML）由九九文教基金會所引進發起，於每年8月的第三個星期六、日所舉辦台灣高中聯盟數學競賽，簡稱TRML。是獲得美國ARML(AmericanRegionsMathematicsLeague)競賽總部授權，所自行發展本土高中數學團隊競賽。自1999年舉辦以來，7年共超過3萬名高中生參加這個全台規模最大餐與人數最多的數學競賽，特別是五、六千人在臺大巨蛋同場競技，盛況空前。競賽隊伍每15人組成1隊。競賽範圍包含數論、代數、幾何、組合。而競賽項目則可區分為下列四種：(1)團體賽（TheTeamRound）：共計10小題簡答題，20分鐘作答時間，全隊需共同繳交一份答案卷，10題共計40分。(2)思考賽（ThePowerQuestion）：一大題分成10小題依序證明或計算，全隊計時1小時，需列出過程，10題計40分。(3)個人賽（TheIndividualQuestion）：個人獨立作簡答，每人均需繳交答案卷。每兩小題10分鐘作答，共計8小題40分鐘，8題每題1分，全隊15人共計120分。(4)接力賽（TheRelayRound）：一隊分成5小隊，每小隊３人，共計兩回合接力賽，測驗時間12分鐘。每回合由3小題組成題組，三人接力作簡答，將前者答案代入第二人的解題資訊中，以次類推，最後一人（第三人）繳交答案卷，其中3分鐘作出者可得4分，6分鐘作正確者得2分。每小隊最高得8分，每隊最高得40分。上述四項總分合計240分。相關活動網址:二、環球城市數學競賽（InternationalMathematicsTournamentofTowns）每年10月及次年3月所舉辦的環球城市數學競賽秋季及春季數學競賽，肇始於19803年。原只有前蘇聯的三個城市莫斯科（Moscow）、基輔（Kiev）及里加（Riga）市參加，現已成為國際性的比賽，有上百個城市，數十萬名學生參加。台灣地區由環球城市數學競賽委員會與財團法人臺北市九章數學教育基金會共同於1999秋季第一次主辦，至今每次均有數千人參加。成績優異者將由俄羅斯科學院頒發證書，各城市之成績優異者由各地主辦單位頒發獎狀。而競賽規則包括下列四點:1.全世界同步舉行，各城市自行初閱後，將試卷得分較高者依人口一定比例之數量呈交總主辦單位複核評比。2.競賽指定語文為英語、俄語、法語、德語、西班牙語、世界語，非使用上述語文之參賽城市必須自行翻譯試題及送交總部之答案卷。3.每輪競賽分為國中組及高中組，國一及國一以下學生參加國中組競賽以原始分數乘以3/2計分，國二學生則以原始分數乘以4/3計分；高一及高一以下學生參加高中組競賽，以原始分數乘以5/4計分。4.每組試卷又分為初級卷及高級卷，間隔一週測試，參賽者可擇一或二者均參加，高級卷較難，但每題佔分較多。5.初級卷測試時間4小時；高級卷測試時間5小時。以參賽者每次試卷得分最高之三題總分為原始分數，以初級卷及高級卷較高之得分參加評比。（台灣區的競賽時間為上午9時至下午1時。）相關活動網址:三、全美中學數學能力分級測驗AmericanMathematicsCompetitionAmericanMathematicsCompetition又稱為AmericanHighSchoolMathematicsExamination美國中學數學科考試（AHSME），簡稱AMC是由美國數學協會（MathematicsAssociationofAmerica簡稱MAA）所主辦的全美中學數學能力分級測驗。測驗試題是由素以數理聞名的內布拉斯加大學林肯校區（UniversjtyofNebraska一Lincoln）的數學教授結合美國國內知名大學教授組成委員會，並經過嚴謹的研發，執行測驗實施與閱卷。AMC測驗除獲美國數學協會、內布拉斯加大學以及阿肯邁基金會（AkamaiFoundation）主辦與贊助外，也獲得許多學術機關、民間團體的贊助支持。至今每年加拿大、新加坡、香港、日本、匈牙利、希臘、土耳其、法國、臺灣等30餘國家及地區同步參加應試者約有30餘萬人。也由於AMC高信度與效度的評量試題，而使此項測驗獲得美國中學校長協會（TheNationalAssociationofSecondarySchoolPrincipals）所推薦的年度重要測驗活動，可見此測驗之公信力及受歡迎的程度。而近幾年澳洲的AMC數學測驗亦在國內同步由國立高雄師範大學推廣實施中。而全美AMC共分AMC8、AMC10、AMC12三級測驗。分別相當於我國學制國中二年級、高中一年級及高中三年級等三個年級以前的能力測驗。AMC測驗除考驗中學生數學能力外，也是美國發掘中學數理人才的管道。在參加AMC12之後，許多數學資優生還可獲得邀請參加更高層次的測驗，並從中獲得參加國際數學奧林匹亞競賽的機會。AMC測驗自19504年起，其中AMC12已辦過57屆，AMC8辦了21屆，AMC10也於2000年起辦了7屆。臺灣地區則於民國89年11月首度同步推出美國AMC8及民國90年2月推出AMC10、12兩次測驗，參加測驗的學生達兩萬餘人。西元2000年AMC8全球滿分者58人，台灣學生就佔了12人，AMC10、12全球平均約68分，台灣學生平均達85分。這些優異的表現更在在肯定臺灣數學教育的卓越品質。AMC12測驗的主要目的是在刺激學生對數學的興趣，並且透過選擇題的方式來開啟學生對數學的才能。更重要的是學生能集體參與對數學的練習，遠比一個人獨自研讀的效果來得更好．特別在老師的指導之下，能夠學習到如何分配時問解題。參加AMC12的學生應該不難發現測驗的問題都具挑戰性，但測驗的題型都不會超過學生的學習範圍。這項測驗希望每個考生能從競賽中享受數學。因為AMC12測驗範圍涵蓋了許多知識和能力，使得成績的層級也有所不同。參加AMC數學測驗的學生均可獲該協會（MAA）發給成績證明書，而AMC12成績在150~100分或者是全球考生成績前3％才有可能獲得資優證書（HonorRoll）。MAA總部每年都會將這些成績的評比編列成冊並且發送給有參加這場測驗的學校。學生可以藉此來比較自己的成績和以往的差異。AMC12的另一個特殊的目的是在幫助一些學生來發掘出他們對數學的才能，並讓學校注意到這些學生的存在，進而提供適性課程協助其學習發展。AIME（AmericanInvitationalMathematicsExamination）是介於AMC1O、AMC12及美國奧林匹亞數學競賽（USAMO）之間的一個高層次數學檢定競賽。共有15題問題、考試時間3小時，其每題的答案都在0一999這些數字之中。只要是在AMC12測驗中得分100分以上或成績為所有參賽者的前5％以及在AMC10測驗中成績為所有參賽者的前1％的學生皆可被邀請參加AIME數學測驗。AIME提供了更進一步的挑戰及認可，超越了AMC1O及AMC12所能提供的，這上述這些評量與競賽，更可讓美國地區以外對數學方面有優異才能的學生，透過了國際性的數學測驗提昇了對自己的肯定。而如果參加AIME成績優異的美國學生可再被邀請參加USAMO數學測驗。AIME的測驗問題更具程度及挑戰性，並不是以猜測的方式就可以獲得正確的答案；也因此在AIME的測驗中不允許使用計算機。就像許多的數學能力競賽一樣，它是推動學生參與國際數學競賽興趣的一個媒介。AMCI0測驗是針對高中一年級及國中三年級學生的數學測驗，25題選擇題“考試時間75分鐘；包含演算概念理解的數學題型。AMC10的測驗允許使用計算機（工程用計算機除外）。AMC1O的主要目的是在刺激學生對數學的興趣並且透過以選擇題方式來開發學生對數學的才能；測驗題型範圍由容易到困難。這項測驗希望每個考生能從競賽中享受數學。被選為AMCIO的題目呈現了一些重要的數學觀念，有時，題目會將一些微妙且混亂加入選項之中，例如一些普通的計算上的錯誤或者是能很快的解題但卻是一種陷阱。因此，有了這項測驗的洗禮之後，對於數學的解題就好像得到“訣竅”，參賽學生將因此獲得許多寶貴的解題高峰經驗。AMC8其測驗目的是為了增進學生對數學題目的能力。這項測驗提供了一些中學程度的5數學概念的教學與評量；其題目範圍不僅是由易而難，而且還涵蓋了較廣泛的數學實際應用。其中的一些題目頗具挑戰性，程度高於一般的中學數學。AMC8另有一個特別的目的：是希望使這些題目能利用在各種中學數學課程的實際教學上。AMC8測驗共有25題選擇題，答