中学数学的最值问题

第1页共12页ab2一、用函数的单调性求代数函数的最值（1）对于一次函数、指数函数、对数函数等单调递增或单调递减的函数，若定义域的闭区间，如x∈[m，n],则f（m），与f（n）中较大者为最大值，较小者为最小值。（2）求二次函数f(x)=ax2+bx+c在[m,n]上的最值时，先判定对称轴x=-是否属于[m,n]，若x=-∈[m,n],则f(m),f(n),f(-中较大者是最大值，较小者是最小值，若-[m,n]，则f(m)与f(n)中较大者为最大值，较小者为最小值；若二次函数f(x)2ax2+bx+c的定义域为R，当a0时，有最小值ymn=,岂a0时，有最大值ymax=,例1、求函数y=x2-2x-3在[，]上的最值。解：∵对称轴x=1∈[,]f，而f()=,f(1)=-4,f(∟)=-.∴f(x)max=f(x)min=-4例2、（2004年北京卷）f(x)=ax2+bx+c中，若a、b、c成等比数列，且f(0)=-4,则f(x)有最________值（填“大”或“小”）且该值为_______。解：∵f(0)=-4∴c=-42∵a、b、c成等比数列∴b2=ac=-4a而b≠0则有a0从而函数f(x)=ax2+bx+c的图象的开口向下，故有最大值，其最大值为：f(x)max===-3.ab2ab2abac4422125214152547abac442212547abac442aaa4416第2页共12页（3）对定义在[n,m]上的函数f(x)还可借助导函数值的符号判定其单调性，从而求得函数f(x)在[n,m]上的最值。例3、已知函数f(x)=x∈[1,+∞]当a=时，求函数f(x)的最小值（2004年上海）解：当a=时，f(x)=x++2∵f/(x)=1-∵x∈[1,+∞]∴f/(x)0∴f(x)在[1，+∞]上是增函数∴f(x)在区间[1，+∞]上的最小值是f(x)min=f(1)=二、有关三角函数最值的求法（1）用三角函数的有界性求最值由于正弦函数，余弦函数均是有界函数，即：-1≤sinx≤1-1≤cosx≤1,故在求三角函数有关的函数的最值时，可考虑把它转化为同一三角函数，然后运用三角函数的有界性求其最值。例4，已知R-4,则函数cos2x+R(cosx-1)的最小值是（）A、1B、-2C、2R+1D、-2R+1解：∵y=cos2x+R(cosx-1)=2cos2x+Rcosx-R-1=2(cosx+)2-R-1-而R＜-4∴当cosx=1时,ymin=1例5，a、b是不相等的函数，求y=xbsinxacos22+xbcosxasin22的最大值和最小值。xaxx222121x21221x274k82k第3页共12页解：∵y是正值，故使y2达到最大（或最小）的x值也使y达到最大（或最小）。y2=acosx2+bsin2x+2xbsinxacos22·xbcosxasin22+asin2x+asin2x+bcos2x=a+b+2xsinb)-(a4ab22∵a≠ba0b0∴(a-b)200≤sin2x≤1∴当sinx=±1,即x=+(k∈z)时ymax=2b2a当sinx=0,即x=(k∈z)时，ymin=a+b(2)利用三角函数的单调性如果f(x)在[α,β]上是增函数，则f(x)在[α，β]上有f(x)max=f(β),f(x)min=f(x),如果f(x)在[α,β]上是减函数，则f(x)在[α,β]上有最大值f(x)，最小值f(β).例6，在0≤x≤的条件下，求y=cos2x-4sinxcosx-3sin2x的最大值和最小值。解：用二倍角公式及变形公式有：y=-2sinx-3=2(cos2x-sinx)-1=22(cos2xcos-sin2xsin)-1=22cos(2x+)-1∵0≤x≤∴≤2x+≤由余弦函数的单调性知：cos(2x+)在[0，]上是减函数，故岂x=0时有最大值，当x=时有最小值-1。2k22k222cos1x22cos1x444244454832283第4页共12页cos(2x+)在[，]上是增函数，故当x=时，有最小值-1,当x=时有最大值-。综上当x=0时,ymax=22×-1=1当x=时,ymin=22x(-1)-1=22-1（3）用换元法求三角函数的最值利用变量代换，我们可以把三角函数的最值问题转化为代数函数最值问题求解，例7，求f(x)=sin4x+2sin3xcosx+sin2xcos2x+2sinxcos3x+cos4x的最大值和最小值。解：f(x)=sin4x+2sincosx+sin2xcos2x+2sinxcos3x+cos4x=(sin4x+2sin2xcos2x+cos4x)-sin2xcos2x+2sinxcosx(sin2x+cos2x)=(sin2x+cos2x)2-sin2xcos2+2sinxcosx=1+2sinxcosx-sin2xcos2x令t=sinxcosx=21sin2x则-21≤t≤21∴f(t)=1+2t-t2=-(t-t)2+2(-21≤t≤21)当t=21,即x=kπ+4(k∈z)时,f(x)max=f(t)max=47当t=-21,即x=kπ+43(kπ∈z)时,f(x)min=-41∴f(x)max=47f(x)min=-41三、用均值定理求最值1、均值定理的构成的注意事项4832832222283第5页共12页二元均值不等式：2ba≥ab（a0,b0,当且仅当a=b时取等号）三元均值不等式：3cba≥3abc（a0,b0，c0,当且仅当a=b=c时取等号）n元均值不等式：naaan21≥nnaaa21(a1＞0,a2＞0…an＞0，当且仅当a1=a2=…=an时取不等号)在运用均值不等式求最值时应注意以下三点：i函数解析式中各项均为正数。ii函数的解析式中含有变数的各项的和或积必须有一个定值。iii含变数的各项均相等时才能取得最值。2、均值定理在求函数最值中的应用例8、解答下列各题（1）求函数y=x2+44x(x0)的最小值。（2）求函数y=2x2+x4(x0)的最小值。（3）求函数y=6x2-3x3(0x3)的最大值。（4）求函数y=x(1-x2)(0x1)的最大值。(5)(05年全国卷Ⅲ)求函数y=xxx2sinsin82cos12(0x2)的最小值。分析：若均值定理的某一端为常数，则当不等式的等号能取到时，这个常数就是另一端的最值，如2ba≥ab，当ab为常数m0时，则当且仅当a=b时，a+b有最小值m2，若a+b为常数n0，则当且仅当a=b时，有最大值2n，较解这些问题的关键是构造“定”或“定积”。解：（1）∵y=x2+44x=22x+22x+44x≥34224223xxx=3∴当且仅当22x=44x，即x=2(∵x0)时，ymin=3(2)∵x0∴2x20x20第6页共12页∴y=2x2+x4=2x2+x2+x2≥322223xxx=6∴当且仅当2x2=x2,即x=1时，ymin=6(3)∵y=6x2-2x3=2x2(3-x)∵0x3∴3-x02x0∴y=8·2x·2x(3-x)≤8×33)3(22xxx=8当且仅当2x=3-x,即x=2时，ymax=8(4)∵0x1∴x01-x20∴x(1-x2)0∵y2=x2·(1-x2)2=21·2x2(1-x2)(1-x2)≤=33)1()1(221222xxx=274当且仅当2x2=1-x2,即x=33时，y2有最大值274。∴当x=33时，ymax=932（5）y=xxxxcossin2sin81cos2122=cotx+4tanx∵0x2∴cotx0tanx0∴y=cotx+4tanx≥xxcottan42=4当且仅当4tanx=cotx即x=aintan21时，ymin=43、运用均值定理解应用题例9：学校食堂定期从某粮店以每吨2000元价格购进大米，每次购进大米需支付运输费100元，已知食堂每天需用大米1吨，贮存大米的费用为每吨每天2元，假如食堂每次都在用完大米的当天购买。第7页共12页（1）该食堂每隔多少天进一次大米才能使平均每天所支付的费用最少？（2）粮食提出价格优惠条件：一次购买不少于20吨时，大米价格可享受九五折优惠，问食堂可否接受此优惠条件？请说明理由。解：（1）设每隔x天购进一次大米，因为每天用米一吨，故一次购米x吨，从而库存总费用为2[x+(x-1)+……+2+1]=x(x+1)若设平均每天所支付的总费用为y,则y1=x1[x(x+1)+100]+2000=x+x100+2001≥2xx100+2001=2021当且仅当x=x100即x=10时取等号。∴每隔10天购出一项，才能使每天所付费用最少。（2）设能接受优惠条件，则至少每隔20天购米一项，没每隔七天购米一次，平均每天费用为y2元，则y2=t1[t(t+1)+100]+2000×95%=t+t100+1901由于t=10不在函数定义域内，教不能使用均值定理。令f(t)=t+t100+1901(t≥20)设t1,t2∈[20,+∞)且t1t2则f(t2)-f(t1)=t2-t1+12100100tt=(t2-t1)(1-12100tt)=∵t2t1≥20∴t2－t10t2t1-1000t2t10∴f(t2)-f(t1)0即f(t2)f(t1)∴f(t)在[20，+∞]上是增函数。∴当x=20时，y2取得最小值1926元121212)100)((tttttt第8页共12页而1926＜2021，故该食堂可接受优惠条件。四、运用线性规划求最值运用线性规划求最值就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，从而求出最值，无论此类问题是以什么实际问题提出，其解题格式步骤基本不变：（1）寻找线性约束条件，线性目标函数。（2）由二元一次不等式表示出平面区域（即可行域）（3）在可行域内求目标函数的最优解，从而求出最值（求是优解时，主要由图形得出，故应准确作图）例10、（2005年福建）非负实数x、y满足03042yxyx则x+3y的最大值为__________解：约束条件所围成的区域，如图所示，将目标函数z=x+3y从左向右平移，最后经过的点是（0，3）∴x+3y的最大值为0+3×3=9例11、（2004年江西）设实数x,y满足03204202xyxyx第9页共12页则xy的最大值是______________.解：画出约速条件所围成的区域，如图所示，令xy=k，则K的最大值即为过原点且过可行域内的一点的直线中，斜率的最大值。∴由图形知，直线过点A（1，23）时Kmax=23例2，已知试求（x+1）2+(y+1)2的最大值、最小值，及取得最大、最小值时x、y的值。解：作出不等式组所表示的平面区域如右图所示，其区域的顶点A（2，1），B（3，4），C（1，3）而（X+1）2+（y+1）2表示可行域内的动点M（x,y）与定点P（-1，-1）的距离的平方，过点P作AC的垂线，垂足不在可行域内，由图可知，只有当x=2,y=1时，（x+1）2+(y+1)2才取得最小值，最小值为13，当x=3.y=4时，（x+1）2+(y+1)2才取得最小值，最大值为41。五、运用构造求最值构造法就是数学建模在解题中的应用，它要求具有相当的基本功，能根据不同的题型，构造成我们能够解决的数学模型，从而使问题得以解决。052053052yxyxyx第10页共12页1、构造距离解题例13、求函数y=522xx+222xx的最小值解：原函数可变形为：y=2222)10()1()20()1(xx∴函数y的值可看作点P（x,o）到点A（1，2）与点B（-1，1）的距离之和，而点P（x,0）为x轴上的