中学生数学观察能力的培养2

第1页共7页中学生数学观察能力的培养李竟毅摘要:多年的教学实践中，发现学生大都存在模仿能力较强，观察能力缺乏的通病。本文通过本人在教学中如何注意培养学生的通过观察，积极主动地获取数学信息，联系数学知识，构造数学模型。进而认识数学问题及解决数学问题的能力。数学观察能力在培养中的集中观察方法：（1）直接观察法：中整体规律与局部特点的交错观察法；数量关系与图形特征观察法；三角、几何、代数知识角度的变换。（2）间接观察法：简单化观察法，具体化观察法，特殊化观察法，及反面观察法。观察的主要思想与内容：在含有参数的数学问题中，注意选取主元与辅元；培养减元减次思想；数字构成及规律、数与式变化规律、外形结构题型结构，从观察中挖掘隐含条件，最大程度的获取所提供的信息，才能取得意想不到的效果。关键词：数学观察能力培养人类的智力活动总是从眼睛获取信息开始，观察是智力活动的开端和源泉，是人类获得进步的前提，在数学诸能力的培养中，这一点也是很重要的。数学观察能力，它有何作用，在培养的过程中应注意哪些问题。一、数学观察能力的作用数学观察能力是指人们有目的、有计划、有选择的较持久的数学感知能力，是人们在学习生活中积极主动地获取数学信息，联系数学知识，构造数学模型，进而认识数学问题并解决数学问题的重要能力。它和数学的记忆能力、想象能力、思维能力、运算能力、化简运算能力、猜想能力、探索能力和创造能力共同组成认识、解决及拓展创造数学问题的能力结构，并在这些能力中起基础开发和前沿作用。在解决数学问题时，人们总是从观察理解题意和联系知识开始，即通过有目的的审题设和结论，观察各类已知条件和结论之间的内在和外在联系，充分挖掘隐含条件和题型结构，从而全面了解数学信息，联系记忆，简化类化思维过程，并参与运算。猜想和探索，进而依据所收集到的信息逐步解决问题，探索并发现问题。因而，在这些能力中数学观察能力起着基础和依托作用，同时，通过细致的观察，往往可以抓住主要的信息，简化题型结构，从而找出简便、快捷、实效的解决数学问题或沟通题目思想的方法，进而高质高效的解决问题。人们在数学观察能力方面的水平的高低，很大程度上决定其解决问题的水平高低，所以在教学中重视对学生观察能力的培养是必要的，尤其在现今高考和数学竞赛中越来越注重对数学各种能力的考察，这一点就显得格外重要。二、数学观察能力在培养中的几种主要观察方法在培养学生数学观察能力的过程中，首先应注意传授给学生观察问题的方法，使他们化被动观察为主动观察，由盲目观察变为有目的、有选择、有针对性地观察，从而起到培养和提高观察的目的性、客观性、全面性、精确性和深刻性的目的。观察方法可按照观察途径划分为直接观察和间接观察1．直接观察直接观察是指对对象的实物直观、模型直观、语言直观加以主动地感性认识的活动。解决数学问题总是始于直接观察，即通过审题，弄清题目条件与结论，明确题目要求，从而了解题目的基本结构，在头脑中建立起题目的模式，并进一步观察题目，其条件和结论有什么特点，涉及什么概念、定理和题型，还可以挖掘什么隐含条件，条件和结论有何联系和区别，题型有何规律，能否实现课题的类化，并在解题中不断观察，已经解决了什么问题，还需解决的问题，哪些条件还未起用，如何启用解决。（1）整体规律与局部特点的交错观察法例：某林场原有森林木材存量为a，木材以每年25%的增长率生长。而每年冬天要砍伐的木材量为x，第2页共7页为了使经过20年木材翻两番，求每年砍伐量x的最大值。分析：从局部观察，每一次操作都是整体的一部分，即原来木材存量为a，则第一年末的木材存量为54ax；第二年末的木材存量为25555()()(1)4444axxax；……；第20年末的木材存量为202055()4()444axx，由已知条件翻两番知其为4a，列方程有202055()4()4444axxa。设205()4y，则lg20(lg52lg2)100y，从而可求出x。此类观察法要考问题的局部特征和整体规律，使文字题或几何型数学归纳法的常用观察法。（2）数量关系和图形特征观察法有些问题直接求解有一定的困难，但仔细观察其数量关系与图形结构特征，那些隐蔽得很深的数量关系将暴露无遗，从而使问题得到巧妙解决。例：求函数224822yxxxx的最小值。分析：直接用根式性质及二次函数求解很难求得最小值，但若细致观察其数字特征容易发现该函数式类似于两点间距离公式，因而转化为几何问题求解，即转化为22(2)4(1)1yxx，设点A(2,2)，B(1,1)，P(x,0)，求PAPB的最小值，即在x轴上找一点P，使它到A(2,2)，B(1,1)的距离之和最小，进一步由镜面反射原理（如图）找出点B关于x轴的对称点'(1,-1)B，当P处于'AB与x轴交点时取得最小值，所以22'(21)(21)10PAPBAB，即min10y（3）三角、几何、代数知识角度的更换注意观察数据的结构特点，灵活转换三角、几何、代数角度，可使问题得到巧妙解决。例：在正ABC的外接圆的劣弧BC上任取一点P，求证：（1）PBPCPA;（2）22PBPCPABC分析：通过截取法、旋转法等都可证得（1），但对（2）无能为力。通过观察（1）、（2）的数据特征，易发现等式左边恰为两数和与积，联系韦达定理知，即证PB、PC是方程222()0xPAxPAPB的两根，则在PBC中，由余弦定理得22222cos60PAPBPAPCABBC，222()0PBPAPBPABC，故PB是方程222()0xPAxPAPB的根。同理可证PC也是方程222()0xPAxPAPB的根，从而可得22PBPCPABC。2．间接观察当所要解决的数学问题较为复杂时，直接观察一般难以入手，这是应注意进行间接观察。（1）简单化观察法问题较为复杂，思路、方法不够明确时，可先将问题简单化，进行简单观察，进而比较原命题情况，ABCPxyABB'PO第3页共7页从而沟通解题思路和方法。例：设0,,,1abcd，求证：(1)(1)(1)(1)1abcdabcd。分析：若展开后证明项多且不易比较，无从入手。简单化：①若0,1ab，求证：(1)(1)1abab。则由(1)(1)11abababab知其成立。②类比为三式时，则(1)(1)(1)[(1)(1)](1)(1)(1)1abcabcabcabc故原命题可由(1)(1)(1)(1)(1)(1)1abcdabcdabcd得证。（2）具体化观察法当问题较为抽象，题意不够明显，思路、方法难寻时，一般要进行具体化，使题意明确，思路清晰，方法便捷。例：求234200012342000的末位数字。分析：观察前20个数的末位数字：1，22，33，，2020的末位数字依次为：1，4，7，6，5，6，3，6，9，0，1，6，3，6，5，6，7，4，9，0。它们前十个的和的末位数字是7，后十个的和的末位数字也是7。而所有nn的末位数字组成以20为周期的循环序列，因此，由1开始，每十个连续的n，nn之和的末位数字都是7。所以原式的末位数字是7200的末位数字0。（3）特殊化观察法对于特殊函数、定值、定点等特殊问题，直接观察一般难于解决，这时，可根据题设要求仔细观察特殊状态下将呈现出来的性质和规律，然后类化解决。例：定义在R上的奇函数()fx是增函数，偶函数()gx在(0,)上的图像与()fx的图像重合，当0ab时，下列不等式成立的有哪些？①()()()()fafbgbga；②()()()()fafbgbga；③()()()()fbfagagb；④()()()()fbfagagb。分析：本例直接用图象法或函数性质观察讨论，繁杂切易错。若进行特殊化观察，依题意，令(),()||,2,1fxxgxxab，则()()2,()()1,()2,(1)1,fagafbgbfaf()2,()1gagb，代入上面四个式子可迅速判定成立的式子为①、③，且易于理解掌握。（4）反面观察法一些探索性、无穷性逻辑问题及正面观察难于解决的问题可采用反面观察法。例：求函数3sin2cosxyx的值域。分析：直接观察及特殊观察等都难于入手，但从反面入手，利用反函数定义域或类似表达式则可较易解决。原函数可化为22sin()3yxy，22|sin()|113yxy，即2|2|3yy，第4页共7页2243yy，从而可得[1,1]y。三、观察的主要思想与内容认识以上几种主要观察方法后，还需进一步认识数学观察中的目的性和选择性，从而有利于观察能力的整体提高。1．在数学问题中，特别是函数、方程、不等式及其他综合性问题往往含有许多参数。在观察中应注意选取合适的主元与副元，使题型得以简化，从而达到实效高质的解题目的。例：不等式221(1)xmx对于满足||2m的一切实数m均成立，求x的取值范围。分析：本例若以x为主元，则需分多类情况讨论m，并应用二次函数性质求解，使得问题变得相当复杂。通过仔细观察可发现它是关于x的二次函数，也是关于m的一次函数，故以m为主元时只需考虑一次函数2()(1)(21)fmxmx的值在[2,2]m内恒为负值时，相应x的范围即可。解：令2()(1)(21)fmxmx，则原命题可转化为求()fm在[2,2]m内恒为负值时，x的范围。故可解不等式组(2)0;(2)0.ff即222(1)(21)0;2(1)(21)0.xxxx解得7131,22x为所求。2．观察能力培养中的减元降次思想在数学问题中的参数字母过多、次数过高时，不利于观察，一般应先减元降次，使观察得以顺利进行。例：求111111abacbabccacbxxxxxx的值。分析：直接观察会发现字母、参数过多，很难找到解题的突破点。采用减元替换思想，令,AabBac，则bcBA，原式转化为111111ABABABABxxxxxx，从后两式分母中发现均含有Ax或Bx，故分子分母同乘以Ax或Bx，则原式化为11111ABABABABxxxxxxxx。3．数字观察在数列问题中，要观察数列中的数字构成及规律，函数构造等问题也往往涉及到数字问题。对数字及规律的观察有助于猜想、探索及创造能力的培养。例：求和：1339527(21)3nnSn分析：直接相加求解显然不易计算，但仔细观察数列构成可发现，数列中的每一项由两个因数组成，前一个因数成公差为2的等差数列，后一个因数成公比为3的等比数列，从而得出可以用“错位相减法”利用nS、3nS求得2nS，从而求得nS。解：1339527(21)3nnSn……①23413133353(21)3nnSn……②第5页共7页②-①得1231212(21)32(333)3(21)33(31)3nnnnnSnn111(21)3362(1)36nnnnn1(1)33nnSn4．数与式变化规律的观察在函数问题中常要观察数与式的周期性的变化规律。例：设1()1fxx且*11()(),()[()],nnfxfxfxffxnN，求2001(2001)f。分析：直接求解不易求出，寻求()nfx可能出现的数式规律，简化求解。解：1234111()1,(),(),()1,1fxfxfxxfxxxx*313234111()1,(),(),()1,1kkkfxfxfxxfxkxxx