东南大学实验四__IIR数字滤波器的设计

-1-实验四IIR数字滤波器的设计姓名：学号：一、实验目的：1.掌握双线性变换法及脉冲响应不变法设计IIR数字滤波器的具体设计方法及其原理，熟悉用双线性变换法及脉冲响应不变法设计低通、高通和带通IIR数字滤波器的MATLAB编程。2.观察双线性变换及脉冲响应不变法设计的滤波器的频域特性，了解双线性变换法及脉冲响应不变法的特点。3.熟悉Butterworth滤波器、Chebyshev滤波器和椭圆滤波器的频率特性。二、实验原理:1．脉冲响应不变法用数字滤波器的单位脉冲响应序列)(nh模仿模拟滤波器的冲激响应)(tha,让)(nh正好等于)(tha的采样值，即)()(nThnha，其中T为采样间隔，如果以)(sHa及)(zH分别表示)(tha的拉式变换及)(nh的Z变换，则)2(1)(mTjsHTzHmaezsT2．双线性变换法S平面与z平面之间满足以下映射关系：);(,2121,11211jrezjssTsTzzzTss平面的虚轴单值地映射于z平面的单位圆上，s平面的左半平面完全映射到z平面的单位圆内。双线性变换不存在混叠问题。双线性变换是一种非线性变换，这种非线性引起的幅频特性畸变可通过预畸而得到校正。IIR低通、高通、带通数字滤波器设计采用双线性原型变换公式：变换类型变换关系式备注低通高通带通：-2-带通的上下边带临界频率以低通数字滤波器为例，将设计步骤归纳如下：1.确定数字滤波器的性能指标：通带临界频率cf、阻带临界频率rf、通带波动、阻带内的最小衰减At、采样周期T、采样频率sf；2.确定相应的数字角频率Tfcc2；Tfrr2；3.计算经过预畸的相应模拟低通原型的频率)2(2cctgT，)2(2rrtgT；4.根据Ωc和Ωr计算模拟低通原型滤波器的阶数N，并求得低通原型的传递函数)(sHa；5.用上面的双线性变换公式代入)(sHa，求出所设计的传递函数)(zH；6.分析滤波器特性，检查其指标是否满足要求。三、实验内容及步骤：实验中有关变量的定义:cf通带边界频率；rf阻带边界频率；δ通带波动；At最小阻带衰减；sf采样频率；T采样周期上机实验内容：（1）cf=0.3KHz,δ=0.8Db,rf=0.2KHz,At=20Db,T=1ms;设计一个切比雪夫高通滤波器，观察其通带损耗和阻带衰减是否满足要求。解：由于是高通，只能采用双线性变换法具体程序如下：wp=2*1000*tan(2*pi*300/(2*1000));ws=2*1000*tan(2*pi*200/(2*1000));[N,wn]=cheb1ord(wp,ws,0.8,20,'s');%给定通带（wp）和阻带(ws)边界角频率，通带波动波动0.8，阻带最小衰减20dB，求出最低阶数和通带滤波器的通带边界频率Wn[B,A]=cheby1(N,0.5,wn,'high','s');%给定通带（wp）和阻带(ws)边界角频率，通带波动[num,den]=bilinear(B,A,1000);[h,w]=freqz(num,den);f=w/(2*pi)*1000;plot(f,20*log10(abs(h)));axis([0,500,-80,10]);grid;xlabel('频率');ylabel('幅度/dB')根据运算结果得到高通滤波器系统函数:123412340.0304-0.1218z0.1827z-0.1218z0.0304zH(z)=1.0000+1.3834z+1.4721z+0.8012z+0.2286z相应的幅频特性曲线为：-3-从图中可见：其通带损耗和阻带衰减满足要求。（2）kHzfc2.0，dB1,kHzfr3.0，dBAt25,msT1；分别用脉冲响应不变法及双线性变换法设计一Butterworth数字低通滤波器，观察所设计数字滤波器的幅频特性曲线，记录带宽和衰减量，检查是否满足要求。比较这两种方法的优缺点。T=0.001;fs=1000;fc=200;fr=300;wp1=2*pi*fc;wr1=2*pi*fr;[N1,wn1]=buttord(wp1,wr1,1,25,'s')[B1,A1]=butter(N1,wn1,'s');[num1,den1]=impinvar(B1,A1,fs);%脉冲响应不变法[h1,w]=freqz(num1,den1);wp2=2*fs*tan(2*pi*fc/(2*fs))wr2=2*fs*tan(2*pi*fr/(2*fs))[N2,wn2]=buttord(wp2,wr2,1,25,'s')[B2,A2]=butter(N2,wn2,'s');[num2,den2]=bilinear(B2,A2,fs);%双线性变换法[h2,w]=freqz(num2,den2);f=w/(2*pi)*fs;plot(f,20*log10(abs(h1)),'-.',f,20*log10(abs(h2)),'-');axis([0,500,-80,10]);grid;xlabel('频率/Hz');ylabel('幅度/dB')脉冲响应不变法的低通滤波器系统函数:12345671234567890.0002z0.0153z+0.0995z0.1444z0.0611z+0.0075z+0.0002zH(z)=1.0000-1.9199z+2.5324z-2.2053z+1.3868z-0.6309z+0.2045z-0.0450z+0.0060z-0.0004z双线性变换法设计的低通滤波器系统函数:1234561234560.0179+0.1072z0.2681z+0.3575z0.2681z0.1072z+0.0179zH(z)=1.0000-0.6019z+0.9130z-0.2989z+0.1501z-0.0208z+0.0025z-4-相应的幅频特性曲线为：从图中可见，通带边界和阻带边界分别为200hz,300hz,衰减量也满足为25dB。总结：脉冲响应不变法的一个重要特点是频率坐标的变换是线性的，ω＝ΩΤ，ω与Ω是线性关系：在某些场合，要求数字滤波器在时域上能模仿模拟滤波器的功能时，如要实现时域冲激响应的模仿，一般使用脉冲响应不变法。脉冲响应不变法的最大缺点：有频谱周期延拓效应，因此只能用于带限的频响特性，如衰减特性很好的低通或带通,而高频衰减越大，频响的混淆效应越小，至于高通和带阻滤波器,由于它们在高频部分不衰减，因此将完全混淆在低频响应中，此时可增加一保护滤波器，滤掉高于/2s的频带，再用脉冲响应不变法转换为数字滤波器，这会增加设计的复杂性和滤波器阶数，只有在一定要满足频率线性关系或保持网络瞬态响应时才采用。双线性变换法的主要优点是S平面与Z平面一一单值对应，s平面的虚轴(整个jΩ)对应于Z平面单位圆的一周，S平面的Ω=0处对应于Z平面的ω=0处，Ω=∞处对应于Z平面的ω=π处,即数字滤波器的频率响应终止于折叠频率处，所以双线性变换不存在混迭效应。双线性变换缺点:Ω与ω成非线性关系，导致：a.数字滤波器的幅频响应相对于模拟滤波器的幅频响应有畸变，(使数字滤波器与模拟滤波器在响应与频率的对应关系上发生畸变)。b.线性相位模拟滤波器经双线性变换后，得到的数字滤波器为非线性相位。c.要求模拟滤波器的幅频响应必须是分段恒定的，故双线性变换只能用于设计低通、高通、带通、带阻等选频滤波器(3)利用双线性变换法分别设计满足下列指标的Butterworth型、Chebyshev型和椭圆型数字低通滤波器，并作图验证设计结果：kHzfc2.1，dB5.0,kHzfr2，dBAt40,kHzfs8，比较这种滤波器的阶数。-5-部分程序如下，其余只要稍加改动：fs=8000;wc=2*fs*tan(2*pi*1200/(2*fs));wr=2*fs*tan(2*pi*2000/(2*fs));[N,wn]=buttord(wc,wr,0.5,40,'s')[B,A]=butter(N,wn,'s');[num,den]=bilinear(B,A,fs);[h,w]=freqz(num,den);f=w/(2*pi)*fs;figure(1);plot(f,20*log10(abs(h)));Butterworth型低通滤波器系统函数：1234567891234567890.0004+0.0032z0.0129z+0.0302z0.0453z0.0453z+0.0302z+0.0129z+0.0032z+0.0004zH(z)=1.0000-2.7996z+4.4582z-4.5412z+3.2404z-1.6330z+0.5780z-0.1370z+0.0197z-0.0013zChebyshev型低通滤波器系统函数：12345123450.0026+0.0132z0.0264z+0.0264z0.0132z0.0026zH(z)=1.0000-2.9775z+4.2932z-3.5124z+1.6145z-0.3334z椭圆型数字低通滤波器系统函数：123412340.0389+0.0363z0.0665z+0.0363z0.0389zH(z)=1.0000-2.1444z+2.3658z-1.3250z+0.3332zButterworth型数字低通滤波器：Chebyshev型数字低通滤波器：-6-椭圆型数字低通滤波器：在相同指标下：Butterworth型滤波器需要9阶，Chebyshev型需要5阶，椭圆型需要4阶（4）分别用脉冲响应不变法及双线性变换法设计一Butterworth型数字带通滤波器，已知kHzfs30，其等效的模拟滤波器指标dB3，kHzfkHz32；dBAt5，kHzf6；dBAt20，kHzf5.1。程序同第二题：wp1=2*pi*2000;wp2=2*pi*3000;ws1=2*pi*1500;ws2=2*pi*6000;[N1,wn1]=buttord([wp1wp2],[ws1ws2],3,20,'s')[B1,A1]=butter(N1,wn1,'s');-7-[num1,den1]=impinvar(B1,A1,30000)[h1,w]=freqz(num1,den1);w1=2*30000*tan(2*pi*2000/(2*30000));w2=2*30000*tan(2*pi*3000/(2*30000));wr1=2*30000*tan(2*pi*1500/(2*30000));wr2=2*30000*tan(2*pi*6000/(2*30000));[N,wn]=buttord([w1w2],[wr1wr2],3,20,'s');[B,A]=butter(N,wn,'s');[num,den]=bilinear(B,A,30000);[h2,w]=freqz(num,den);f=w/(2*pi)*30000;plot(f,20*log10(abs(h1)),'-.',f,20*log10(abs(h2)),'-');axis([0,15000,-60,10]);grid;xlabel('频率/Hz');ylabel('幅度/dB')脉冲响应不变法的带通滤波器系统函数:123451234560.0057z-0.0122z+0.0025z0.0089z-0.0049zH(z)=1.0000-4.8056z+10.2376z-12.2625z+8.7012z-3.4719z0.6145z双线性变换法的带通滤波器系统函数:2461234560.0014-0.0042z0.0042z-0.0014zH(z)=1.0000-4.8071z+10.2473z-