切线的性质定理

切线的性质复习回顾1.切线的判定定理2.切线的判定方法：（１）定义（３）切线的判定定理.(2)d=r直线与圆相切已知直线过圆上一点：(连半径，证垂直）不明确直线是否过圆上一点：(作垂直，证半径）经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切。F拓展应用：1.在Rt△ABC中,∠B=90°,∠A的平分线交BC于D,以D为圆心,DB长为半径作⊙D.试说明:AC是⊙D的切线.课前训练1.如图，⊙O的半径OA⊥OB，点D在OB的延长线上，连接AD交⊙O于Q，过点Q作直线PQ交OD于点C，若CD=CQ。求证：PQ是⊙O的切线。QPDCOBA已知：如图，同心圆O，大圆的弦AB=CD，且AB是小圆的切线，切点为E．求证：CD是小圆的切线．如图，已知⊙O中，AB是直径，过B点作⊙O的切线BC，连结CO．若AD∥OC交⊙O于D．求证：CD是⊙O的切线．通过证明三角形全等证明垂直.如图，AD是∠BAC的平分线，P为BC延长线上一点，且PA=PD.求证：PA与⊙O相切.ABDCPO通过证明两角互余，证明垂直的如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M求证：DM与⊙O相切.通过证平行来证明垂直的D如图，已知：AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且∠CAB=300，BD=OB，D在AB的延长线上.求证：DC是⊙O的切线根据圆周角定理的推论3证明垂直的如图，AB是⊙O的直径,CD⊥AB，且OA2=OD·OP.求证：PC是⊙O的切线.根据圆周角定理的推论3证明垂直的已知：如图，AC，BD与⊙O切于A、B，且AC∥BD，若∠COD=900.求证：CD是⊙O的切线.根据综合运用解题.OAL反过来,如果L是⊙O的切线,切点为A,那么半径OA与直线L是不是一定垂直呢?如何证明？圆的切线垂直于过切点的半径探索新知切线的性质定理:M假设L与OA不垂直，过O作OM⊥L，垂足为M，根据“垂线段最短”的性质，有OMOA。这就是说圆心到直线L的距离小于半径，于是L就要与⊙O相交，这与L是⊙O的切线相矛盾。如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D。求证：AC平分∠DAB例题选讲DCOBA例：AB是⊙O的弦,C是⊙O外一点,BC是⊙O的切线,AB交过C点的直径于点D,OA⊥CD,试判断△BCD的形状,并说明你的理由.例题选讲DCOBA1、AB是⊙O的直径,AE平分∠BAC交⊙O于点E,过点E作⊙O的切线交AC于点D,试判断△AED的形状,并说明理由.随堂训练DCOEBA2、AB是⊙O的直径,CD切⊙O于C，AE⊥CD，BC延长后与AE的延长线交于F，AF=BF，求∠A的度数。随堂训练OFEDCBA4、如图，AB是⊙O的直径,⊙O交BC于点D,过点D作⊙O的切线DE交AC于点E,且DE⊥AC，由上述条件，你能推出的正确结论有_________.随堂训练DCOEBA∠ADB=90°∠B=∠CAB=ACCD=DB∠C=∠EDA∠EDA=∠B∠CAD=∠BAD如图，台风中心P（100，200）沿北偏东30O方向移动，受台风影响区域的半径为200km，那么下列城市A（200，380），B（600，480），C（550，300），D（370，540）中，哪些城市要做抗台风准备？拓展应用PABCD台风路经范围如图所示１、切线和圆只有一个公共点。２、切线和圆心的距离等于半径。３、切线垂直于过切点的半径。４、经过圆心垂直于切线的直线必过切点。５、经过切点垂直于切线的直线必过圆心。6、经过切点的直径与切线垂直。•如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个，就可推出第三个．•(1)垂直于切线；•(2)过切点；•(3)过圆心．•推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．•推论2：经过切点且垂于切线的直线必经过圆心．切线的性质定理:圆的切线垂直于过切点的半径•已知：直线a与圆o相切于点M,直线b经过点M且垂直于直线a。•求证：直线b经过圆心o•证明：假设直线b经不过圆心o，连接OM,则OM与直线b交于点M,因为直线a与圆o相切于点M,所以OM⊥直线a，又因为直线b⊥直线a，所以OM‖直线b（平面内垂直于同一条直线的两条直线平行），这与“OM与直线b交于点M”矛盾，所以，直线b经过圆心o。即经过切点垂直于切线的直线必过圆心.求证：如果圆的两条切线互相平行，则连结两个切点的线段是直径。•已知：AB、CD是⊙O的两条切线，E、F为切点,且AB∥CD•求证：连结E、F的线段是直径。•证明：连结EO并延长•∵AB切⊙O于E，∴OE⊥AB，∵AB∥CD，∴OE⊥CD．•∵CD是⊙O切线，F为切点，•∴OE必过切点F•∴EF为⊙O直径已知:AB是半⊙O直径，CD⊥AB于D，EC是切线，E为切点求证：CE=CFEBDOCFAO。ABP过圆外一点可以引圆的几条切线？在经过圆外一点的切线上，这一点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。·OPAB切线与切线长是一回事吗？它们有什么区别与联系呢？··切线:不可以度量。切线长：可以度量。比一比BOABP思考：已知⊙O切线PA、PB，A、B为切点，把圆沿着直线OP对折,你能发现什么?12请证明你所发现的结论。APOBPA=PB∠OPA=∠OPB证明：∵PA，PB与⊙O相切，点A，B是切点∴OA⊥PA，OB⊥PB即∠OAP=∠OBP=90°∵OA=OB，OP=OP∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL)∴PA=PB∠OPA=∠OPB试用文字语言叙述你所发现的结论证一证PA、PB分别切⊙O于A、BPA=PB∠OPA=∠OPB从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。几何语言:反思：切线长定理为证明线段相等、角相等提供新的方法OPAB切线长定理APOB若连结两切点A、B，AB交OP于点M.你又能得出什么新的结论?并给出证明.OP垂直平分AB证明：∵PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点∴PA=PB∠OPA=∠OPB∴△PAB是等腰三角形，PM为顶角的平分线∴OP垂直平分ABM试一试APO。B若延长PO交⊙O于点C，连结CA、CB，你又能得出什么新的结论?并给出证明.CA=CB证明：∵PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点∴PA=PB∠OPA=∠OPB∴PC=PC∴△PCA≌△PCB∴AC=BCC探究：PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，直线OP交于⊙O于点D、E，交AB于C。BAPOCED（1）写出图中所有的垂直关系OA⊥PA，OB⊥PB，AB⊥OP（3）写出图中所有相等的线段（2）写出图中与∠OAC相等的角∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPCOA=OB=OD=OE,PA=PB,AC=BC,AE=BE已知：如图,PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，Q为AB上一点，过Q点作⊙O的切线，交PA、PB于E、F点，已知PA=12CM，求△PEF的周长。EAQPFBO易证EQ=EA,FQ=FB,PA=PB∴PE+EQ=PA=12cmPF+FQ=PB=PA=12cm∴周长为24cm例题1变式：如图所示PA、PB分别切圆O于A、B，并与圆O的切线分别相交于C、D，已知PA=7cm，(1)求△PCD的周长．(2)如果∠P=46°,求∠COD的度数C·OPBDAE作圆：使它和已知三角形的各边都相切。DIABCNMABC和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形。和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形。例题在△ABC中，∠ABC=500，∠ACB=750，点O是内心，求∠BOC的度数。OABC例2、如图，四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA和圆⊙O分别相切于点L、M、N、P，求证：AD+BC=AB+CDDLMNABCOP证明：由切线长定理得∴AL=AP，LB=MB,NC=MC，DN=DP∴AL+LB+NC+DN=AP+MB+MC+DP即AB+CD=AD+BC补充：圆的外切四边形的两组对边的和相等．例题2例3△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm，求AF、BD、CE的长.解:设AF=x(cm),BD=y(cm),CE＝z(cm)∴AF=4(cm),BD=5(cm),CE=9(cm).∵⊙O与△ABC的三边都相切∴AF＝AE,BD＝BF,CE＝CD则有x＋y＝9y＋z＝14x＋z＝13解得x＝4y＝5z＝9例题3·BDEFOCA如图，△ABC的内切圆的半径为r,△ABC的周长为l,求△ABC的面积S.解：设△ABC的内切圆与三边相切于D、E、F，连结OA、OB、OC、OD、OE、OF，则OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC.∴S△ABC＝S△AOB＋S△BOC＋S△AOC＝AB·OD＋BC·OE＋AC·OF21212121＝l·r设△ABC的三边为a、b、c，面积为S，则△ABC的内切圆的半径r＝2Sa＋b＋c三角形的内切圆的有关计算思考·ABCEDFO如图，Rt△ABC中，∠C＝90°,BC＝a,AC＝b,AB＝c,⊙O为Rt△ABC的内切圆.求：Rt△ABC的内切圆的半径r.设AD=x,BE=y,CE＝r∵⊙O与Rt△ABC的三边都相切∴AD＝AF,BE＝BF,CE＝CD则有x＋r＝by＋r＝ax＋y＝c解：设Rt△ABC的内切圆与三边相切于D、E、F，连结OD、OE、OF则OA⊥AC，OE⊥BC，OF⊥AB。解得r＝a＋b－c2设Rt△ABC的直角边为a、b，斜边为c，则Rt△ABC的内切圆的半径r＝或r＝a＋b－c2aba＋b＋c变式·OABCDEFOABCDE思考：如图，AB是⊙O的直径，AD、DC、BC是切线，点A、E、B为切点，若BC=9，AD=4，求OE的长.例1、已知：P为⊙O外一点，PA、PB为⊙O的切线，A、B为切点，BC是直径。求证：AC∥OPPACBDO例题讲解练习.如图，△ABC中,∠C=90º,它的内切圆O分别与边AB、BC、CA相切于点D、E、F，且BD=12，AD=8，求⊙O的半径r.OEBDCAF·ABCEDFO如图，Rt△ABC中，∠C＝90°,BC＝3,AC＝4,⊙O为Rt△ABC的内切圆.（1）求Rt△ABC的内切圆的半径.（2）若移动点O的位置，使⊙O保持与△ABC的边AC、BC都相切，求⊙O的半径r的取值范围。设AD=x,BE=y,CE＝r∵⊙O与Rt△ABC的三边都相切∴AD＝AF,BE＝BF,CE＝CD则有x＋r＝4y＋r＝3x＋y＝5解：（1）设Rt△ABC的内切圆与三边相切于D、E、F，连结OD、OE、OF则OA⊥AC，OE⊥BC，OF⊥AB。解得r＝1在Rt△ABC中，BC＝3,AC＝4,∴AB＝5由已知可得四边形ODCE为正方形，∴CD＝CE＝OD∴Rt△ABC的内切圆的半径为1。（2）如图所示，设与BC、AC相切的最大圆与BC、AC的切点分别为B、D,连结OB、OD,则四边形BODC为正方形。·ABODC∴OB＝BC＝3∴半径r的取值范围为0＜r≤3几何问题代数化是解决几何问题的一种重要方法。基础题：1.既有外接圆,又内切圆的平行四边形是______.2.直角三角形的外接圆半径为5cm,内切圆半径为1cm,则此三角形的周长是_______.3.⊙O是边长为2cm的正方形ABCD的内切圆,EF切⊙O于P点，交AB、BC于E、F，则△BEF的周长是_____.EFHG正方形22cm2cm课堂小结圆的切线垂直于过切点的半径切线的性质定理:。PBAO（3）连结圆心和圆外一点（2）连结两切点（1）分别连结圆心和切点反思：在解决有关圆的切线长问题时，往往需要我们构建基本图形。想一想例1已知，如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点.直线OP交⊙O于点D、E，交AB于C.（1）写出图中所有的垂直关系；（2）写出图中所有的全等三角形.（3）如果PA=4cm,PD=2cm,求半径OA的长.AOCDPBE解