七年级下册第二章平行线和相交线的知识

一对一个性化教育口碑品牌1平行线和相交线的知识总结一、学习本章的要求重要概念要做到“五会。”(1)会表达：能正确地叙述概念的定义。(2)会识图：能在较复杂的图形中识别出概念所反映的部分。(3)会翻译：能结合图形把概念的定义翻译成符号语言。(4)会画图：能画出概念所反映的几何图形，以及变式图形，会在图上标注字母或符号。(5)会应用：能应用概念进行简单的判断、推理和计算。二、本章知识结构平面内两条直线的位置关系相交线平行线平行线的性质平行线的判定三线八角两线四角同旁内角内错角同位角对顶角邻补角垂线及性质斜线平行公理及推论一对一个性化教育口碑品牌2三、知识细化1概念。（1）关于相关角的概念：对顶角、邻补角、同旁内角、内错角、同位角。邻补角与对顶角两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系的角，它们的概念及性质如下表：图形顶点边的关系大小关系对顶角∠1与∠2有公共顶点∠1的两边与∠2的两边互为反向延长线对顶角相等即∠1=∠2邻补角∠3与∠4有公共顶点∠3与∠4有一条边公共，另一边互为反向延长线。∠3+∠4=180°注意点：对顶角是成对出现的，对顶角是具有特殊位置关系的两个角；如果∠α与∠β是对顶角，那么一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α与∠β不一定是对顶角如果∠α与∠β互为邻补角，则一定有∠α+∠β=180°；反之如果∠α+∠β=180°，则∠α与∠β不一定是邻补角。两直线相交形成的四个角中，每一个角的邻补角有两个，而对顶角只有一个。互为余角、互为补角是针对两个角而言的，都是成对出现。互为余角、互为补角是两个角的数量关系，与位置无关。定义反过来也成立，可以逆用。例题：1.如图1，直线a、b相交，∠1＝120°，则∠2＋∠3＝（）A.60°B.90°C.120°D.180°答案：Cab123练习：1243一对一个性化教育口碑品牌3（1）已知，201，302，403，能否说1，2，3互为余角？（2）如图3，301，622，能否说1与2互为余角？（3）若1，2互为余角，501，则2=。（4）若1，2互为补角，1201，则2=。（5）锐角的补角是角，直角的补角是角，钝角的补角是角。（6）若与是对顶角，20，则=。同一平面内两条直线的位置关系是：相交或平行.“三线八角”的识别：三线八角指的是两条直线被第三条直线所截而成的八个角.正确认识这八个角要抓住：同位角位置相同，即“同旁”和“同规”；内错角要抓住“内部，两旁”；同旁内角要抓住“内部、同旁”注意：1、同位角、内错角、同旁内角都是成对出现，完全由相对位置决定。2、上图中有4对同位角，2对内错角，2对同旁内角。例1（内江市）一个角的余角比它的补角的12少20°.则这个角为（）A.30°B.40°C.60°D.75°分析若设这个角为x，则这个角的余角是90°－x，补角是180°－x，于是构造出方程即可求解.解设这个角为x，则这个角的余角是90°－x，补角是180°－x.则根据题意，得12(180°－x)－(90°－x)＝20°.解得：x＝40°.故应选B.说明处理有关互为余角与互为补角的问题，除了要弄清楚它们的概念，通常情况下不要引进未知数，构造方程求解.一对一个性化教育口碑品牌4关于两线的概念：平行线、垂线、垂线段。（属于两线）垂线定义，当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。符号语言记作：如图所示：AB⊥CD，垂足为O（3）其它：点和点的距离。点到直线的距离、垂直、命题等。点到直线的距离直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离记得时候应该结合图形进行记忆。如图，PO⊥AB，同P到直线AB的距离是PO的长。PO是垂线段。PO是点P到直线AB所有线段中最短的一条。现实生活中开沟引水，牵牛喝水都是“垂线段最短”性质的应用。分析它们的联系与区别⑴垂线与垂线段区别：垂线是一条直线，不可度量长度；垂线段是一条线段，可以度量长度。联系：具有垂直于已知直线的共同特征。(垂直的性质)⑵两点间距离与点到直线的距离区别：两点间的距离是点与点之间，点到直线的距离是直线外一点到这条直线的垂线段的长度。联系：都是线段的长度；点到直线的距离是特殊的两点(即已知点与垂足)间距离。ABCDOPABO一对一个性化教育口碑品牌5⑶线段与距离距离是线段的长度，是一个量；线段是一种图形，它们之间不能等同。2、性质。(1)对顶角的性质；性质：对顶角相等(2)垂线的性质(一)(二)；性质1：在同一平面内，经过直线外或直线上一点，有且只有一条直线与已知直线垂直，即过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。即垂线段最短。(3)平行公理及推论；平行线的存在性与惟一性平行线的公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行(4)平行线的判定公理、定理；方法一两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行简称：同位角相等，两直线平行方法二两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行简称：内错角相等，两直线平行方法三两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行,简称：同旁内角互补，两直线平行方法四两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行。方法五在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行。前三个条件都是由角的数量关系（相等或互补）来确定直线的位置关系（平行）的，因此能否找到两直线平行的条件，关键是能否正确地找到或识别出同位角，内错角或同旁内角.一对一个性化教育口碑品牌6练习：如图2，直线AB、CD被EF所截，（1）1的同位角是，2的同位角是；（2）当5521时，直线AB，CD平行吗？说明你的理由。(5)平行线的性质公理、定理。平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线是平行线.平行线性质：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补平行线的性质公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。两条平行线之间的距离是指在一条直线上任意找一点向另一条直线作垂线，垂线段的长度就是两条平行线之间的距离.常见的几种两条直线平行的结论：（1）两条平行线被第三条直线所截，一组同位角的角平分线平行；（2）两条平行线被第三条直线所截，一组内错角的角平分线互相平行.例题：例2（盐城市）已知：如图1，l1∥l2，∠1＝50°，则∠2的度数是（）A.135°B.130°C.50°D.40°分析要求∠2的度数，由l1∥l2可知∠1+∠2＝180°，于是由∠1＝50°，即可求解.解因为l1∥l2，所以∠1+∠2＝180°，又因为∠1＝50°，所以∠2＝180°－∠1＝180°－50°＝130°.故应选B.说明本题是运用两条直线平行，同旁内角互补求解.例3（重庆市）如图2，已知直线l1∥l2，∠1＝40°，那么∠2＝度.分析如图2，要求∠2的大小，只要能求出∠3，此时由直线l1∥l2，得∠3＝∠1即可求解.解因为l1∥l2，∠1＝40°，所以∠1＝∠3＝40°.又因为∠2＝∠3，所以解题方法总结：1、由角的相等或互补的关系识别两直线平行。2、把复杂图形分解成简单图形在识别各种角。解题方法总结：1、若给了平行线，则利用平行线的性质得到角的关系。2、若给了角的相互关系，则利用平行线的判定得两直线平行的位置关系。一对一个性化教育口碑品牌7∠2＝40°.故应填上40°.说明本题在求解过程中运用了两条直线平行，同位角相等求解.练习：已知∠1＝∠B，求证：∠2＝∠C3画法。(1)平行线的画法；一“放”；二“靠”；三“移”；四“画”。(2)垂线的画法：⑴过直线上一点画已知直线的垂线；⑵过直线外一点画已知直线的垂线。注意：①画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线；②过一点作线段的垂线，垂足可在线段上，也可以在线段的延长线上。画法：⑴一靠：用三角尺一条直角边靠在已知直线上，⑵二移：移动三角尺使一点落在它的另一边直角边上，⑶三画：沿着这条直角边画线，不要画成给人的印象是线段的线。4证明几种类型问题的主要依据。图2图1ADEBC12一对一个性化教育口碑品牌8(1)证明两条直线垂直的依据；(2)证明两条直线平行的依据；(3)证明两个角相等的依据。三、辨认图形的训练目的：概念不离图，图中识概念。“F”型中的同位角。如图2-92。“Z”字型中的内错角，如图2-93。“U”字型中的同旁内角。如图2-94。一对一个性化教育口碑品牌9练习：1、如图，AB∥ED，则∠A＋∠C＋∠D＝（）A.180°B.270°C.360°D.540°ABCDE2、如图，AB∥CD，则结论：（1）∠1=∠2；（2）∠3=∠4；（3）∠1＋∠3=∠2＋∠4中正确的是（）A.只有（1）B.只有（2）C.（1）和（2）C.（1）（2）（3）3、如图，AB∥CD，若∠3是∠1的3倍，则∠3为（）A.45B.135C.120D.904、如图、已知AB∥CD，CE平分∠ACD，∠A=110°，则∠ECD的度数为（）一对一个性化教育口碑品牌10A110°B.70°C.55°D.35°5、如图2，AD∥BC，∠1=60°，∠2=50°，则∠A=（），∠CBD=（），∠ADB=（），∠A＋∠ADB＋∠2=（）6、已知：如图2-95。∠1+∠3=180°。CD⊥AD，CM平分∠DCE，求∠4的度数。7、如图2-96，∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠A。一对一个性化教育口碑品牌11求证：BE∥CF。8、判断下面的结论是否正确，并说明理由（1）如图11：AE平分∠CAD，AE∥BC，那么∠B=∠C图11（2）如图11：如果∠B=∠C，AE∥BC，那么AE平分∠CAD。9、如图12，AB∥CD，∠ABE=∠FCD，∠F=40°，求∠E的度数。相交线与平行线测试题一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．下列说法中，正确的是（）A．一条射线把一个角分成两个角，这条射线叫一对一个性化教育口碑品牌12做这个角的平分线;B．P是直线L外一点，A、B、C分别是L上的三点，已知PA=1，PB=2，PC=3，则点P到L的距离一定是1;C．相等的角是对顶角;D．钝角的补角一定是锐角.2．如图1，直线AB、CD相交于点O，过点O作射线OE，则图中的邻补角一共有（）A．3对B．4对C．5对D．6对(1)(2)(3)3．若∠1与∠2的关系为内错角，∠1=40°，则∠2等于（）A．40°B．140°C．40°或140°D．不确定4．如图，哪一个选项的右边图形可由左边图形平移得到（）5．a，b，c为平面内不同的三条直线，若要a∥b，条件不符合的是（）A．a∥b，b∥c;B．a⊥b，b⊥c;C．a⊥c，b∥c;D．c截a，b所得的内错角的邻补角相等6．如图2，直线a、b被直线c所截，现给出下列四个条件：（1）∠1=∠5；（2）∠1=∠7；（3）∠2+∠3=180°；（4）∠4=∠7，其中能判定a∥b的条件的序号是（）A．（1）、（2）B．（1）、（3）C．（1）、（4）D．（3）、（4）7．如图3，若AB∥CD，则图中相等的内错角是（）A．∠1与∠5，∠2与∠6;B．∠3与∠7，∠4与∠8;C．∠2与∠6，∠3与∠7;D．∠1与∠5，∠4与∠88．如图4，AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点E、F，ED平分∠BEF．若∠1=72°，则∠2的度数为（）A．36°B．54°C．45°D．68°(4)(5)(6)9．已知线段AB的长为10cm，点A、B到直线L的距离分别为6cm和4cm，则符合条件的直线L的条数为（）一对一个性化教育口碑品牌13A．1B．2C．3D．410．如图5，四边形ABCD中，∠B=65°，∠C=11