《状元之路》2016届高考数学理新课标A版一轮总复习必修部分开卷速查60变量间的相关关系与统计案例

-1-开卷速查(六十)变量间的相关关系与统计案例A级基础巩固练1．已知x与y之间的一组数据：x0123ym35.57已求得关于y与x的线性回归方程y^＝2.1x＋0.85，则m的值为()A．1B．0.85C．0.7D．0.5解析：回归直线必过样本中心点(1.5，y)，故y＝4，m＋3＋5.5＋7＝16，得m＝0.5.答案：D2．下面是2×2列联表：y1y2总计x1a2173x2222547总计b46120则表中a，b的值分别为()A．94,72B．52,50C．52,74D．74,52解析：∵a＋21＝73，∴a＝52，又a＋22＝b，∴b＝74.答案：C3．工人月工资(元)依劳动产值(千元)变化的回归直线方程为y^＝60＋90x,下列判断正确的是()A．劳动产值为1000元时，工资为50元B．劳动产值提高1000元时，工资提高150元C．劳动产值提高1000元时，工资提高90元-2-D．劳动产值为1000元时，工资为90元解析：回归系数b的意义为：解释变量每增加1个单位，预报变量平均增加b个单位．答案：C4．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：男女总计爱好402060不爱好203050总计6050110由K2＝nad－bc2a＋bc＋da＋cb＋d，算得K2＝110×40×30－20×20260×50×60×50≈7.8.附表：P(K2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828参照附表，得到的正确结论是()A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”解析：根据独立性检验的定义，由K2≈7.8＞6.635，可知我们在犯错误的概率不超过0.01的前提下，即有99%以上的把握认为“爱好该-3-项运动与性别有关”，故选C.答案：C5．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：广告费用x(万元)4235销售额y(万元)49263954根据上表可得回归方程y^＝b^x＋a^中的b^为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为()A．63.6万元B．65.5万元C．67.7万元D．72.0万元解析：样本中心点是(3.5,42)，a^＝y－b^x，则a^＝y－b^x＝42－9.4×3.5＝9.1，所以回归直线方程是y^＝9.4x＋9.1，把x＝6代入得y^＝65.5，故选B.答案：B6．[2014·湖北]根据如下样本数据x345678y4.02.5－0.50.5－2.0－3.0得到的回归方程为y^＝bx＋a，则()A．a＞0，b＞0B．a＞0，b＜0C．a＜0，b＞0D．a＜0，b＜0解析：根据题中表内数据画出散点图(图略)，由散点图可知b＜0，a＞0，选B.答案：B7．某炼钢厂废品率x(%)与成本y(元/t)的线性回归方程为y^＝105.492＋42.569x.当成本控制在176.5元/t时，可以预计生产的1000t-4-钢中，约有__________t钢是废品．解析：∵176.5＝105.492＋42.569x，∴x≈1.668，即成本控制在176.5元/t时，废品率为1.668%.∴生产的1000t钢中，约有1000×1.668%＝16.68t钢是废品．答案：16.688．[2014·课标全国Ⅱ]某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y(单位：千元)的数据如下表：年份2007200820092010201120122013年份代号t1234567人均纯收入y2.93.33.64.44.85.25.9(1)求y关于t的线性回归方程；(2)利用(1)中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b^＝i＝1nti－tyi－yi＝1nti－t2，a^＝y－b^t.解析：(1)由所给数据计算得t＝17(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4，y＝17(2.9＋3.3＋3.6＋4.4＋4.8＋5.2＋5.9)＝4.3，∑7i＝1(ti－t)2＝9＋4＋1＋0＋1＋4＋9＝28，-5-∑7i＝1(ti－t)(yi－y)＝(－3)×(－1.4)＋(－2)×(－1)＋(－1)×(－0.7)＋0×0.1＋1×0.5＋2×0.9＋3×1.6＝14，b^＝∑7i＝1ti－tyi－y∑7i＝1ti－t2＝1428＝0.5，a^＝y－b^t＝4.3－0.5×4＝2.3，所求回归方程为y^＝0.5t＋2.3.(2)由(1)知，b^＝0.5＞0，故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元．将2015年的年份代号t＝9代入(1)中的回归方程，得y^＝0.5×9＋2.3＝6.8，故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元．B级能力提升练9．[2014·重庆]已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数x＝3，y＝3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是()A.y^＝0.4x＋2.3B．y^＝2x－2.4C.y^＝－2x＋9.5D.y^＝－0.3x＋4.4解析：依题意知，相应的回归直线的斜率应为正，排除C、D.且直线必过点(3,3.5)，代入A、B得A正确．答案：A10．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验．根据收集到的数据(如下表)，由最小二乘法求得回归方程y^＝0.67x＋54.9.-6-零件数x(个)1020304050加工时间y(min)62758189现发现表中有一个数据看不清，请你推断出该数据的值为__________．解析：由已知可计算求出x＝30，而回归直线方程必过点(x，y)，则y＝0.67×30＋54.9＝75，设模糊数字为a，则a＋62＋75＋81＋895＝75，计算得a＝68.答案：6811．某工厂有25周岁以上(含25周岁)工人300名，25周岁以下工人200名，为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上(含25周岁)”和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分成5组：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．25周岁以上组-7-25周岁以下组(1)从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽取一名“25周岁以下组”工人的概率；(2)规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？K2＝nad－bc2a＋bc＋da＋cb＋d解析：(1)由已知得，样本中有25周岁以上组工人60名，25周岁以下组工人40名．所以，样本中日平均生产件数不足60件的工人中，25周岁以上组工人有60×0.05＝3(人)，记为A1，A2，A3；25周岁以下组工人有40×0.05＝2(人)，记为B1，B2.从中随机抽取2名工人，所有的可能结果共有10种，它们是：(A1，A2)，(A1，A3)(A2，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)．其中，至少有1名“25周岁以下组”工人的可能结果共有7种，它们是：(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)，故所求的概率P＝710.(2)由频率分布直方图可知，在抽取的100名工人中，“25周岁以-8-上组”中的生产能手60×0.25＝15(人)，“25周岁以下组”中的生产能手40×0.375＝15(人)，据此可得2×2列联表如下：生产能手非生产能手合计25周岁以上组15456025周岁以下组152540合计3070100所以得K2＝nad－bc2a＋bc＋da＋cb＋d＝100×15×25－15×45260×40×30×70＝2514≈1.79.因为1.79＜2.706，所以没有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”．