万有引力定律在天文学上的应用

万有引力定律在天文学上的应用●本节教材分析这节课通过对一些天体运动的实例分析，使学生了解：通常物体之间的万有引力很小，常常觉察不出来，但在天体运动中，由于天体的质量很大，万有引力将起决定性作用，对天文学的发展起了很大的推动作用，其中一个重要的应用就是计算天体的质量．在讲课时，应用万有引力定律有两条思路要交待清楚．1．把环绕天体(或卫星)的运动看成是匀速圆周运动，即F引＝F向，用于计算天体(中心体)的质量，讨论卫星的速度、角速度、周期及半径等问题．2．地面附近物体与地球间的万有引力约等于物体的重力，即F引＝mg．主要用于计算涉及重力加速度的问题．本节内容是这一章的重点，是万有引力定律在实际中的具体应用．利用万有引力定律除了可求出中心天体的质量外还可发现未知天体．●教学目标一、知识目标1．了解行星绕恒星运动及卫星绕行星运动的共同点：万有引力作为行星、卫星圆周运动的向心力．2．了解万有引力定律在天文学上有重要应用．3．会用万有引力定律计算天体的质量．二、能力目标通过万有引力定律在实际中的应用，培养学生理论联系实际的能力．三、德育目标利用万有引力定律可以发现未知天体，让学生懂得理论来源于实践，反过来又可以指导实践的辩证唯物主义观点．●教学重点1．人造卫星、月球绕地球的运动；行星绕太阳的运动的向心力是由万有引力提供的．2．会用已知条件求中心天体的质量●教学难点根据已知条件求中心天体的质量．●教学方法分析推理法、讲练法．●教学用具有关练习题的投影片、投影仪．●课时安1课时●教学过程本节课的学习目标1．利用万有引力等于向心力求出中心天体的质量．2．了解万有引力定律在天文学上的应用．学习目标完成过程一、导入新课上节课我们共同学习了万有引力常量的测定．现在请同学们回忆下面几个问题：1．卡文迪许用什么装置来测定万有引力常量？其实验原理是什么？2．为什么扭秤装置能测定相互作用很小的万有引力，其巧妙之处何在？回忆上节所学，找出问题答案．1．卡文迪许用扭秤装置来测定引力常量．其实验原理是力矩平衡．2．扭秤装置所以能测定很小的万有引力，其根本原因是通过小平面镜及T型架的横杆对万有引力的作用效果进行了放大．万有引力常量的测出，使万有引力定律对天文学的发展起了很大的推动作用．这节课我们就共同来学习万有引力定律在天文学上的应用．二、新课教学(一)天体质量的计算A．基础知识请同学们阅读课文第一部分--天体质量的计算．同时考虑下列问题．1．万有引力定律在天文学上有何用处？2．应用万有引力定律求解天体质量的基本思路是什么？3．求解天体质量的方程依据是什么？学生阅读课文第一部分，从课文中找出相应的答案．1．当测定出万有引力常量后，我们便可应用万有引力定律计算天体的质量．使以前看似不可能的事变为现实．2．应用万有引力定律求解天体质量的基本思路是：根据环绕天体的运动情况，求出其向心加速度，然后根据万有引力充当向心力，进而列方程求解．3．从前面的学习知道，天体之间存在着相互作用的万有引力，而行星(或卫星)都在绕恒星(或行星)做近似圆周的运动，而物体做圆周运动时合力充当向心力，故对于天体所做的圆周运动的动力学方程只能是万有引力充当向心力，这也是求解中心天体质量时列方程的根源所在．B．深入探究请同学们结合课文知识以及前面所学匀速圆周运动的知识，加以讨论、综合．然后思考下列问题．1．天体实际做何运动？而我们通常可认为做什么运动？2．描述匀速圆周运动的物理量有哪些？3．根据环绕天体的运动情况求解其向心加速度有几种求法？4．应用天体运动的动力学方程--万有引力充当向心力求出的天体质量有几种表达式？各是什么？各有什么特点？5．应用此方法能否求出环绕天体的质量？分组讨论，得出答案．1．天体实际运动是沿椭圆轨道运动的，而我们通常情况下可以把它的运动近似处理为圆形轨道，即认为天体在做匀速圆周运动．2．在研究匀速圆周运动时，为了描述其运动特征，我们引进了线速度v，角速度，周期T三个物理量．3．根据环绕天体的运动状况，求解向心加速度有三种求法．即：a．a心＝rv2b．a心＝2·rc．a心＝42r/T24．应用天体运动的动力学方程--万有引力充当向心力，结合圆周运动向心加速度的三种表述方式可得三种形式的方程，即a．F引＝G2rMm＝F心＝ma心＝mrv2．即：GrvmrMm22①b．F引＝G2rMm＝F心＝ma心＝m2r即：G2rMm＝m2·r②c．F引＝G2rMm＝F心＝ma心＝m224Tr即：G2rMm＝m224Tr③从上述动力学方程的三种表述中，可得到相应的天体质量的三种表达形式：a．M＝v2r/G．b．M＝2r3/G．c．M＝42r3/GT2．上述三种表达式分别对应在已知环绕天体的线速度v，角速度，周期T时求解中心天体质量的方法．以上各式中M表示中心天体质量，m表示环绕天体质量，r表示两天体间距离，G表示万有引力常量．5．从以上各式的推导过程可知，利用此法只能求出中心天体的质量，而不能求出环绕天体的质量，因为环绕天体的质量同时出现在方程的两边，已被约掉．C．教师总结从上面的学习可知，在应用万有引力定律求解天体质量时，只能求解中心天体的质量，而不能求解环绕天体的质量．而在求解中心天体质量的三种表达式中，最常用的是已知周期求质量的方程．因为环绕天体运动的周期比较容易测量．从前面的学习我们知道，当物体静止在地面上时，万有引力同时产生两个作用效果，一是物体的重力，一是物体随地自转的向心力，而随地自转的向心力非常小，故有：F引mg而当物体绕地球运转时，不再有随地自转的向心力．此时有：F引＝mg综上所述，我们可知，F引＝mg这也是这一章中，除动力学方程外的又一重要方程．既然万有引力可以充当向心力，且它又等于物体的重力，所以我们便可得到另一个重要的方程：mg＝F心综合以上，在这一章中我们所用的方程总共有三个，即：F引＝F心F引＝mgmg＝F心D．基础知识应用1．求解中心天体质量时，列方程的依据是________．2．把地球绕太阳公转看做是匀速圆周运动轨道，平均半径为1.5×108km，已知引力常量为：G＝6.67×10-11N·m2/kg2，则可估算出太阳的质量大约是多少千克？(结果取一位有效数字)参考答案：1．万有引力充当向心力2．2×1030kg分析：题干给出了轨道的半径，虽然没有给出地球运转的周期，但日常生活常识告诉我们：地球绕太阳一周为365天．故：T＝365×24×3600s＝3.15×107s由万有引力充当向心力可得：G2rMm＝m224Tr故：M＝2324GTr＝27113112)102.3(107.6)105.1(14.34kg＝2×1030kg(二)发现未知天体A．基础知识请同学们阅读课文第二部分--发现未知天体，考虑以下问题：1．应用万有引力定律除可估算天体质量外，还可以在天文学上起什么作用？2．应用万有引力定律发现了哪些行星？阅读课文，从课文中找出相应的答案：1．应用万有引力定律还可以用来发现未知的天体．2．海王星、冥王星就是应用万有引力定律发现的．B．深入探究人们是怎样应用万有引力定律来发现未知天体的？人们在长期的观察中发现天王星的实际运转轨道与应用万有引力定律计算出的轨道总存在一定的偏差，所以怀疑在天王星周围还可能存在未知行星，然后应用万有引力定律，结合对天王星的观测资料，便计算出了另一颗行星的轨道，进而在计算的位置上观察到新的行星．C．教师总结万有引力定律的发现，为天文学的发展起到了积极的作用，用它可以来计算天体的质量，同时还可以来发现未知天体．D．基础知识应用1．太阳系的第八颗行星--海王星是________国的________于________(时间)发现的．2．太阳系的第九颗行星--冥王星是________(时间)，应用万有引力定律发现的．参考答案：1．德；加勒；1846年9月23日2．1930年3月14日三、知识反馈1．根据观察，在土星外层有一个环，为了判断是土星的连续物还是小卫星群，可测出环中各层的线速度v与该层到土星中心的距离R之间的关系．下列判断正确的是()A．若v与R成正比，则环是连续物B．若v2与R成正比，则环是小卫星群C．若v与R成反比，则环是连续物D．若v2与R成反比，则环是小卫星群2．已知地球的半径为R，地面的重力加速度为g，万有引力常量为G，如果不考虑地球自转的影响，那么地球的平均密度的表达式为________．3．某人在某一星球上以速度v竖直上抛一物体，经时间t落回抛出点，已知该星球的半径为R，若要在该星球上发射一颗靠近该星运转的人造星体，则该人造星体的速度大小为多少？4．一艘宇宙飞船绕一个不知名的、半径为R的行星表面飞行，环绕一周飞行时间为T．求该行星的质量和平均密度．参考答案：1．AD2．3g/4GR3．星球表面的重力加速度g＝tvtv22人造星体靠近该星球运转时：mg＝G2RMm＝mRv2(M：星球质量，m：人造星体质量)所以v′＝tvRgR24．设宇宙飞船的质量为m，行星的质量为M．宇宙飞船围绕行星的中心做匀速圆周运动．G2RMm＝m(T2)2R所以M＝2324GTR又v＝34R3所以＝23GTVM四、小结学习本节的解题思路如下：F引＝mg．mg＝F心五、作业1．阅读本节内容．2．课本P110(1)3．思考题：已知地球的半径为R，质量为M地，月球球心到地球球心的距离r月地＝60R＝3.8×108m，月球绕地球运行周期T＝27.3天，地球对物体的重力加速度g0＝9.8m/s2，试证明地球对月球的引力和地球对其附近物体的引力是同性质的力，都是万有引力．参考答案：月球绕地球做半径为r月地的匀速圆周运动，如果提供月球做匀速圆周运动的向心力与地球对物体的引力是同性质的力，则由牛顿运动定律可得月球绕地球做圆周运动的向心加速度a月为：地球上物体的重力加速度g为由月球绕地球做匀速圆周运动所需的向心加速度公式可知：a月′＝2r月地＝(T2)2·r月地＝(3600243.2714.32)2×3.8×108m/s2＝2.69644×10-3m/s2已知地球表面的重力加速度g0＝9.8m/s2由此可知，由月球以及地球附近的物体绕地球做匀速圆周运动所需的向心加速度之比，跟由同性质的万有引力对它们提供的向心力所获得的向心加速度之比近似相等．所以，地球对月球的引力跟地球对其附近物体的引力是同性质的力，都是万有引力．六、板书设计七、本节优化训练设计1．(1997年全国)某行星的一颗小卫星在半径为r的圆轨道上绕行星运动，运行的周期是T，已知引力常量为G，这个行星的质量是________．2．(2001年春季)两个星球组成双星，它们在相互之间的万有引力作用下，绕连线上某点做周期相同的匀速圆周运动，现测得两星中心距离为R，其运动周期为T，求两星的总质量．3．行星的平均密度是，靠近行星表面的卫星的周期是T，试证明T2为一个常数．4．设想有一宇航员在某行星的极地上着陆时，发现物体在当地的重力是同一物体在地球上重力的0.01倍，而该行星一昼夜的时间与地球相同，物体在它赤道上时恰好完全失重．若存在这样的星球，它的半径R应多大？5．质量为m的物体在离地某高处的重力是它在地表附近所受重力的一半，求物体所处的高度．(已知地球的平均半径为R)参考答案：1．分析：本题考查应用万有引力定律计算天体质量，行星对卫星的引力提供卫星做匀速圆周运动所需的向心力．解：由于G2rMm＝m224Tr，得M＝2324GTr．2．分析：此为天体运动的双星问题，除两星间的作用外，其他天体对其不产生影响．两星球周期相同，有共同的圆心，且间距不变，其空间分布如右图所示．解：设两星质量分别为M1和M2，都绕连线上O点做周期为T的圆周运动，两星到圆心的距离分别为L1和L2，由于万有引力提供向心力．故有G12212214LTMRMM①G22222214LTMRMM②由几何关系知：L1＋L2＝R③联立解得M1＋M2＝2324GTR3．分析：将行星看做一个球体，卫星绕行星做匀速圆周运动的向心力由万有引力提供．解：设半径为R，则