《连续体力学》习题及解答7

2837弹性物质(一)概念、理论和公式提要7-1Cauchy弹性物质弹性是一个重要的流变模型，很多物质在一定的条件下都呈现弹性性质。弹性物质的显著特征是相对于参考构形0K，现时构形tK上的应力唯一确定于变形，与从tKK到0的变形过程无关，与从tKK到0所经历的时间无关(应力所作的功或应变能则不一定与过程无关)。这样的弹性物质称为Cauchy弹性物质。(1)Cauchy弹性物质的本构方程弹性物质的应力与变形史无关，所以Noll简单物质的本构方程为)(FTT(7-1-1))(FT是相对于给定参考构形0K对应于Cauchy应力的响应函数。上式表明，现时构形tK上的Cauchy应力唯一确定于变形的现时值。参考构形改变，响应函数要改变；应力形式改变，响应函数也改变。因此响应函数必定是相对于某参考构形，对应于某种应力的。客观性原理要求式(7-1-1)具有如下几种形式TRURTT)((7-1-2)TRCRTT)((7-1-3)TRERTT)((7-1-4)TfRERTT)((7-1-5)此处为简单计，对于不同的应变或变形采用了同一的函数记号。由上列本构方程可以导出对应于其他应力的本构方程1)()(det)()(-UUTUUUR，(7-1-6))()]()([21)1()1()1(ETUUTT(7-1-7))()()(det)2(11ETUUTUU(7-1-8)式中)2()2(EET，284)()()()(mmmETT(7-1-9))(fffETT(7-1-10)(2)Cauchy弹性物质的对称性各向同性弹性Cauchy弹性物质的本构方程一般地为)(FTT如果物质对对称Q，则有)()(FQTFTT(7-1-11)所以满足上式的Q(可限制为正常正交张量)构成弹性物质的对称群。对于各向同性弹性物质，式(7-1-11)中的Q可以是任意的正常正交张量。取TRQ，则式(7-1-11)变为)()(VTFTT(7-1-12)上式还应满足客观性原理，即)()(TTQVQTQVQT(7-1-13)式中Q是任意的正常正交张量，这正说明，响应函数)(VT应是各向同性张量函数(参阅式2-6-14)，即有2210)(VVIVTT(7-1-14)式中V都是、、210的主不变量的标量函数。如果在式(7-1-13)中取UVRRRQTT，注意到，则得到)(UTTRRT式中TRRT为Lagrang型张量。将式(7-1-14)代入上式左侧，就得到2210)(UUIUTTRRT(7-1-16)(3)弹性张量线性弹性已知Cauchy弹性本构方程(式7-1-8))(E(7-1-17)则有d∶CEd(7-1-18)EEC)((7-1-19)285C是四阶张量，称为弹性张量。其分量式为LMJKJKLMMLKJJKLMCEeeeeCC(7-1-20)且有JKMLKJLMJKLMCCC(7-1-21)所以C的81个分量中只有36个是独立的。C的分量称为弹性系数。如果JKLMC都是常数，称为弹性常数；这样的弹性物质称为线弹性物质。于是积分式(7-1-18)，注意到C是常数张量，得到LMJKLMJKECEC∶(7-1-22)此处假定参考构形是自然构形，在其上OE，O。大多数物质在小变形条件下呈现为线性弹性，此时，，ET为小应变条件下的应变张量。于是上式可近似写成klijklijC∶CT(7-1-23)可以证明，对于线性弹性，恒有klijijklCC上式表明，线性弹性物质只有21个独立的弹性常数。对于各向同性线弹性物质，C应是四阶各向同性张量，即有jkiljlikklijijklC(7-1-25)式中、、为任意标量。将上式代入(7-1-23)，得到2)tr(2)tr(ITijijij(7-1-26)上式就是小变形条件下的广义Hooke定律的一种形式，、为Lame常数。7-2Green弹性物质286(1)弹性势函已知在参考构形0K上单位体积的应变能率为(式4-5-7)ffwETDTEF∶∶∶∶ˆ0(7-2-1)式中)(ˆFFTTWJ的标量值数。如果存在一个，使得FFFFFdd)()(d∶∶WW则有FF)(W(7-2-2))(FW称为弹性势函或应变能函数；具有弹性势函的弹性物质称为Green弹性物质或超弹性物质。由式(7-2-1)，弹性势函W可以写作)()()()2(ff为简单计，经常将上式直接写成)()()(f(7-2-3)对应于式(7-2-1)、(7-2-3)，有)()W(EEE(7-2-4))(ffffWETET(7-2-5)式(7-2-5)是用应变能函数表示的最一般的本构方程，它包括了Seth类应变。可以看出同轴同轴从而与与UUFET)(ff。由式(7-2-4)可得EECECW2dd∶(7-2-6)JKLMLMJKJKLMEEWEEW22C(7-2-7)上式表明，超弹性物质的独立的弹性系数只有21个，所以，①存在一个弹性势函，或者②只有21独立的弹性系数是Green弹性与Cauchy弹性的主要区别；287或者说，Cauchy弹性要求现时应力唯一确定于现时变形，与变形过程无关，而Green弹性则不只现时应力而且应力作功(应变能)都与变形过程无关。显然，线性弹性总是超弹性的。(2)Green弹性物质的客观性和对称性由式(7-2-1)可见，弹性应变能是客观的标量值张量函数，且有~dd0。于是有。其中)~()()~(~)()(系系QFFF因此符合客观性要求的弹性势函必需满足)()(QFFWW(7-2-8)令TRQ，上式变为)()(UFWW(7-2-9)上式表明，弹性势函的客观性等价于物质单元在纯变形之后叠加任何转动，不影响其应变能函数的值。前已说明，如果Cauchy弹性物质对Q对称，则有FQFFTFT'')()(，为此对应，Green弹性物质如果对Q对称，则应有FQFFF'')()(，WW(7-2-10)相应地有)()('EEWW(7-2-11)EQQIFFEIFFETTT)(21)(21'''(7-2-12)于是Green弹性物质如果对Q对称，则弹性势函应满足)()(EQQETWW由于如果Q是物质的对称元，则TQQ1也是它的对称元，所以上式又可写成)()(TWWQEQE(7-2-13)上式是物质的对称性对弹性势函的限制。288对于线性弹性(用E近似代)，则有]][][[][21)(21)(''''TklijijklklijijklWWQQCC将)()()('''，并令表示，再代入用就可得到对于弹性常数的附加条件，这将使独立的弹性常数的数目减少。还可导出，如果Green弹性物质对Q对称，则本构方程)(E应满足)()()('TTQEQQEQE(7-2-14)这是对称性对Green弹性物质的本构方程的限制。(3)各向同性Green弹性物质的应变能函数对于各向同性Green弹性物质，对称群包含所有的正常正交张量，即在式(7-2-13)和(7-2-14)中，Q可以是任意的正常正交张量。根据式(2-6-11)和(2-6-13)可见，应变能函数EEE分别是和本构方程)()(W的各向同性标量函数和张量函数，即)()(321IIIWW，，E(7-2-15)2110)(EEIE2(7-2-16)上式分别是Green弹性物质的应变能函数和对应于应力的本构方程；式中E是、、321III的主不变量，E是和、210的主不变量的标量函数。又从弹性势函)(FW既要满足对称性，又要满足客观性的要求，应有)()()(FQQFF对于各向同性物质，Q可取为任意的正常正交张量。于是分别将TRQVRFRUF代入，并取及，将分别得到)()()()(VRRVRUUTTWWRWW(7-2-17)上式表明VUFVU和都成立，特别地当，此式对任意的)()(WW给定时，对任289意的正常正交张量R都成立。于是可将式(7-2-17)改写成)()()()(TT(7-2-18)由上式可见，各向同性弹性物质的应变能函数应是VU或的各向同性标量值函数，亦即它是VU或的主不变量的标量函数)(321IIIWW、、(7-2-19)或中321333133221222321111)()()()()()(VUVUVUIIIIIIIII(7-2-20)321、、是主伸长比。因为22VBUC，，所以W也可以写作BC或的主不变量的函数，即在式(7-2-19)中，也可取232221333212323222221222232221111)()()()()()(BCBCBCIIIIIIIII(7-2-21)从式(7-2-20)和(7-2-21)可见，各向同性弹性物质的应变能函数也可写作)(321，，WW(7-2-22)但必须是321、、的对称函数，即满足)()()(213132321，，，，，，(7-2-23)实际上321321，，都是和，III的对称函数。根据式(7-2-5))()(fffffWETEET)()()(ififfE的主值为UFE。如果将321，，写作W的对称函数，记fT的主值为)(fit，则321)()()(，，，ifWfWtiiiifi(7-2-24)例如，对于Seth类应变，290)(1)(IUEmmm(7-2-25)mE的主值为)1(1)()(miimimfE(7-2-26)于是)()(mimt的主值T为imimiiimiWEWt)1()()((7-2-27)当0m时，得到iiiWt)0((7-2-28)结合式(7-2-27)和(7-2-28)，可得)()0()()0(mmmiiittTUT或(7-2-29)于是可用上式由)()()()()0()0(mmiittTT或确定或。已知)2(T为1111)2(ˆURTRUUTRRUTTTJ(7-2-30)其中iiiiiiiiTTJttttˆˆˆˆ)()()()(，uuRvvRRTR(7-2-31)T是it的主值。由式(7-2-30)和(7-2-31)，可得)2(2)2(ˆˆiiiiiitttt或(7-2-32)在式(7-2-29)中取2m，得到)2(2)0(iiitt(7-2-33)由式(7-2-32)和(7-2-33)，并注意到式(7-2-28)，得到iiiiWttˆ)0((7-2-34)注意到)0(T是Lagrange型张量，Tˆ是Euler型张量，它们的主值相同，因此式(7-2-34)的直接表述为RTRTˆ)0(T(7-2-35)291(4)各向同性不可压缩Green弹性物质的本构方程由于物质不可压缩，detdetF1321U，所以应变能函数为1)(321IIIWW，，(7-2-36)式中)(21BCVU或或为、II的第一和第二主不变量。约束方程为0trDID∶(7-2-37)由式(7-2-1)及1J，有DT∶Ww0(7-2-38)在式(7-2-36)中，取B为、21II的主不变量，应用式(2-6-5)，可得BBB∶)dddd(2211IWIWW式中TIWWIW