《随机过程》第一章习题

中国科学院大学2015～2016第一学期随机过程讲稿孙应飞1第一章随机过程及其分类1、设随机向量),(YX的两个分量相互独立，且均服从标准正态分布)1,0(N。（a）分别写出随机变量YX和YX的分布密度（b）试问：YX与YX是否独立？说明理由。2、设X和Y为独立的随机变量，期望和方差分别为211,和222,。（a）试求XYZ和X的相关系数；（b）Z与X能否不相关？能否有严格线性函数关系？若能，试分别写出条件。3、设}0),({ttX是一个实的均值为零，二阶矩存在的随机过程，其相关函数为tsstBtXsXE),()}()({，且是一个周期为T的函数，即0),()(BTB，试求方差函数)]()([TtXtXD。4、考察两个谐波随机信号)(tX和)(tY，其中：)cos()(),cos()(tBtYtAtXcc式中A和c为正的常数；是,内均匀分布的随机变量，B是标准正态分布的随机变量。（a）求)(tX的均值、方差和相关函数；（b）若与B独立，求)(tX与)(tY的互相关函数。5、设0);sin()(tYtXt，而随机变量X、Y是相互独立且都服从]1,0[上的均匀分布，试求此过程的均值函数及相关函数。6、设随机向量,~,21NXXX，其中：2,1,21，15/45/41，令随机向量XYYY3223,21。（a）试求随机向量Y的协方差矩阵、12YYE及21YYE；（b）试问122XXEX与1X是否独立？证明你的结论。7、设},2,1,{nn是一列独立同分布随机变量序列，且pPn1}1{，pPn}1{，令：00X，nXnn/)(21，,2,1n。求随机序列},2,1,{nXn的均值函数、协方差函数和相关函数。8、设),(~2NX，Y满足参数为p的几何分布，即ppkYPk1)1(}{，其中：,2,1,10kp，X与Y独立。令YeXtXt)(，试求：（1）)(tX在0t的一维概率密度函数；中国科学院大学2015～2016第一学期随机过程讲稿孙应飞2（2）)}({tXE，))(),((tXsXCov（ts0）；9、设)sin()cos()(tBtAtX，Rt，其中A和B是独立同分布的均值为零方差为2的正态随机变量，试求：（1）)(tX的均值函数和相关函数；（2）)(tX的一维概率密度函数；（3）)(tX的二维概率密度函数。10、设随机过程tYtXt2sin2cos)(，t，其中随机变量X和Y独立同分布。（1）如果)1,0(~UX，试求过程)(t的均值函数和相关函数；（2）如果)1,0(~NX，试求过程)(t的均值函数和相关函数；11、设有一脉冲数字通信系统，它传送的信号是脉宽为0T的脉冲信号，每隔0T送出一个脉冲。脉冲幅度)(tX是一随机变量，它可取四个值}2,1,1,2{，且取这四个值的概率是相等的，即：4/1}2)({}1)({}1)({}2)({tXPtXPtXPtXP不同周期内脉冲的幅度是相互统计独立的，脉冲的起始时间相对于原点的时间差u为均匀分布在),0(0T内的随机变量。试给出随机过程)(tX的状态空间，画出样本函数及求出其均值函数和相关函数。12、设有一质点在x轴上作随机游动，即在,3,2,1t时质点可以在x轴上正向或反向移动一个单位距离，作正向和作反向移动的概率分别为p和pq1，且各次游动是相互独立的。经过n次游动，质点所处的位置为nX，试求nX的均值函数、自相关函数及自协方差函数。13、设给定随机过程}),({TttX及实数x，定义随机过程TtxtXxtXtY)(,0)(,1)(试将)(tY的均值函数和自相关函数用过程)(tX的一维和二维分布函数来表示。