《高等代数》练习

第6章要点：1.理解实二次型与实对称矩阵间的一一对应关系，熟练掌握二次型的矩阵表示AXXf'，其中AA'；2.熟悉矩阵的合同关系，理解合同关系是等价关系；3.熟练掌握化二次型AXX'为标准形的三种基本方法；4.了解惯性定理，会求矩阵A的正、负惯性指数和符号差，会求二次型的规范形；5.熟练掌握正定二次型与正定矩阵的判别方法。重点：非退化线性替换、化二次型为标准形、规范形；惯性定理、正定二次型的判别条件。一、计算题1.用正交线性替换法TYX将下列二次型化为标准形，并写出相应的正交矩阵T。3231212322214442)(xxxxxxxxxxf（P192）2.用矩阵的成对初等行、列变换法将下列二次型化为标准形，并写出所作的非退化先行替换：3231213)(xxxxxxxf（P193）3.t满足什么条件，下列实二次型是正定的？（22t）31212322212224)(xxxtxxxxxf二、证明：P2091.如果A，B都是n级正定矩阵，则A+B也是正定矩阵。（P2091）2.n级实对称矩阵A是正定的充分必要条件为：有可逆实对称矩阵C使得A=C2。(P2098.)4.如果A是正定矩阵，则存在正定矩阵C，使得A=C2。(P2099.)第7章要点：1.理解数域K上一元多项式的定义及一元多项式环等概念，掌握多项式的运算及运算规律；2.理解整除的定义,熟练掌握带余除法及整除的性质；3.理解和掌握两个(或若干个)多项式的最大公因式,互素等概念及性质，能用辗转相除法求两个多项式的最大公因式；4.理解和掌握不可约多项式的定义及性质，深刻理解并掌握因式分解及唯一性定理；5.理解和掌握k重因式的定义；6.熟练掌握复（实）系数多项式分解定理及标准分解；7.理解多元多项式、对称多项式的定义，掌握对称多项式基本定理。重点：整除概念、带余除法及整除的性质、最大公因式、互素、不可约多项式概念、因式分解及唯一性定理、k重因式与k重根的关系、复（实）系数多项式分解定理。一、计算题1.设baxxxxxf23463)(，1)(2xxg，a与b是什么数时，)(xf能被)(xg整除？2.已知242)(234xxxxxf，22)(23xxxxg，求))(),((xgxf，并求)(xu，)(xv使))(),((xgxf=)()()()(xgxvxfxu。3.a，b满足什么条件，实系数多项式：95)(234bxaxxxxf有二重根3。4.用初等对称多项式表出对称多项式（31222）332223212221321),,(xxxxxxxxxf证明：1.设],[)(),(xKxgxf并且Kdcba,,,，使得0bcad。证明：),(),(gfdgcfbgaf。（P207.）2.在][xK中，如果1))(),((xgxf，则对任意正整数m，有1))(),((mmxgxf。（P208.）3.在][xK中，)(|)(22xfxg当且仅当)(|)(xfxg。（P273.）4.][xK中，若不可约多项式)(xp是)(xf的导数)('xf的k-1重因式（k≥1），并且)(xp是)(xf的因式，则)(xp是)(xf的k重因式。（P324.）5.数域K上任意一个不可约多项式在复数域内没有重根。（P3810.）6.)(xp是数域K上的一个不可约多项式，证明：如果][xK中的多项式)(xg与)(xp有一个公共复根，则在][xK中)(|)(xgxp。（P3812.）7.设)(xf是一个整系数多项式，证明：若)0(f与)1(f都是奇数，则)(xf不能有整数根。（P485.）第8章要点：1.理解和掌握线性空间的定义及性质；熟练掌握n维线性空间的概念及性质；2.正确理解线性子空间的定义及判别定理；掌握向量组生成子空间的定义及等价条件；3.掌握子空间的交与和的定义及性质；4.理解子空间的直和的概念及和为直和的充要条件；重点：n维线性空间的概念及性质、线性子空间的定义及判别定理、子空间的直和。一、计算题1.在3K中，设111,112,101321；,1101,11121213，求基321,,到基321,,的过度矩阵，并且求向量')3,5,2(分别在这两个基下的坐标X,Y。（P829.）2.设4KV，3211,,V，212,V，其中,1230,1111,0121321,10121,73112分别求2121,VVVV的一个基和维数。