三年级奥数第十三讲图解法解应用题_教师版(A)

选修4－4坐标系与参数方程自主园地备考套餐课前学案基础诊断第一节坐标系课堂学案考点通关开卷速查1.理解坐标系的作用，了解平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况．2.了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化．3.能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．考纲导学4.能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)的方程，通过比较这些图形在极坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义.夯基固本基础自测课前学案基础诊断1．平面直角坐标系中的伸缩变换在平面直角坐标系中进行伸缩变换，即改变x轴或y轴的单位长度，将会对图形产生影响．2．极坐标的概念(1)极坐标系：如图所示，在平面内取一个定点O，叫做□1______，从O点引一条射线Ox，叫做□2______，选定一个单位长度和角及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就确定了一个平面极坐标系，简称为□3______.(2)极坐标：对于平面内任意一点M，用ρ表示线段OM的长，θ表示以Ox为始边、OM为终边的角度，ρ叫做点M的□4______，θ叫做点M的□5______，有序实数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记作M(ρ，θ)．当点M在极点时，它的极径□6__________，极角θ可以取□7__________.(3)点与极坐标的关系：平面内一点的极坐标可以有无数对，当k∈Z时，(ρ，θ)，(ρ，θ＋2kπ)，(－ρ，θ＋(2k＋1)π)表示□8______，而用平面直角坐标表示点时，每一个点的坐标是唯一的．如果规定ρ＞0,0≤θ＜2π，或者－π＜θ≤π，那么，除极点外，平面内的点和极坐标就一一对应了．3．极坐标和直角坐标的互化(1)互化背景：把平面直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，建立极坐标系，并在两种坐标系中取相同的单位长度，如图所示．(2)互化公式：设M是坐标平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(ρ，θ)(ρ＞0，θ∈[0,2π))，于是极坐标与直角坐标的互化公式如表：点M直角坐标(x，y)极坐标(ρ，θ)互化公式x＝□9y＝□10ρ2＝□11______tanθ＝□12_____在一般情况下，由tanθ确定角时，可根据点M所在的象限取最小正角．4．常见曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点，半径为r的圆□13______________圆心为(r,0)，半径为r的圆□14_______________圆心为r，π2，半径为r的圆□15__________过极点，倾斜角为α的直线(1)θ＝α(ρ∈R)或θ＝π＋α(ρ∈R)(2)θ＝α(ρ≥0)和θ＝π＋α(ρ≥0)过点(a,0)，与极轴垂直的直线□16___________过点a，π2，与极轴平行的直线□17___________过点(a,0)，倾斜角为α的直线□18_______答案：□1极点□2极轴□3极坐标系□4极径□5极角□6ρ＝0□7任意值□8同一个点□9ρcosθ□10ρsinθ□11x2＋y2□12yx(x≠0)□13ρ＝r(0≤θ＜2π)□14ρ＝2rcosθ－π2≤θ＜π2□15ρ＝2rsinθ(0≤θ＜π)□16ρcosθ＝a□17ρsinθ＝a(0＜θ＜π)□18ρsin(α－θ)＝asinα2个要点——极坐标的多样性与对称性(1)由极坐标的意义可知平面上点的极坐标不是唯一的，如果限定ρ取正值，θ∈[0,2π)，平面上的点(除去极点)与极坐标(ρ，θ)(ρ≠0)建立一一对应关系．(2)由极坐标系上点的对称性可得到极坐标方程ρ＝ρ(θ)的图形的对称性：若ρ(θ)＝ρ(－θ)，则相应图形关于极轴对称；若ρ(θ)＝ρ(π－θ)，则图形关于射线θ＝π2所在的直线对称；若ρ(θ)＝ρ(π＋θ)，则图形关于极点O对称．2个变换——平面直角坐标系中两种常见变换(1)平移变换：在平面直角坐标系中，设图形F上任意一点P的坐标为(x，y)，向量a＝(h，k)，平移后的对应点为P′(x′，y′)，则有(x，y)＋(h，k)＝(x′，y′)，或表示成x＋h＝x′，y＋k＝y′.(2)伸缩变换：一般地，由kx＝x′，y＝y′k＞0所确定的伸缩变换，是按伸缩系数为k向着y轴的伸缩变换(当k＞1时，表示伸长；当0＜k＜1时，表示压缩)，即曲线上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的k倍(这里，P(x，y)是变换前的点，P′(x′，y′)是变换后的点)．1个互化——极坐标与直角坐标的互化(1)将点的直角坐标(x，y)化为极坐标(ρ，θ)时，运用公式ρ＝x2＋y2，tanθ＝yx(x≠0)即可．在[0,2π)范围内，由tanθ＝yx(x≠0)求θ时，要根据直角坐标的符号特征判断出点所在的象限．如果允许θ∈R，再根据终边相同的角的意义，表示为θ＋2kπ(k∈Z)即可．(2)极坐标与直角坐标的互化，常用方法有代入法、平方法等，还经常会用到同乘(或除以)ρ等技巧．1．在同一平面直角坐标系中，直线x－2y＝2经过伸缩变换x′＝x，y′＝4y后，变成直线__________．解析：由伸缩变换x′＝x，y′＝4y，得x＝x′，y＝14y′.将其代入x－2y＝2得2x′－y′＝4.答案：2x′－y′＝42.在极坐标系中，已知两点P5，5π4，Q1，π4，则线段PQ的长度为__________．解析：P，Q在过极点且与极轴成π4的直线上，它们位于极点的两侧，因此PQ＝5＋1＝6.答案：63．直角坐标方程x2＋y2－8y＝0的极坐标方程为__________．解析：因为x2＋y2＝ρ2，y＝ρsinθ，所以原方程可化为ρ2－8ρsinθ＝0.所以ρ＝0或ρ＝8sinθ.经检验，得所求的极坐标方程为ρ＝8sinθ.答案：ρ＝8sinθ4．极坐标方程ρ＝6cosθ－π3的直角坐标方程为__________．解析：原方程可化为ρ＝6cosθcosπ3＋6sinθsinπ3，方程两边同乘ρ，得ρ2＝3ρcosθ＋33ρsinθ，由ρ2＝x2＋y2，ρcosθ＝x，ρsinθ＝y，得所求的直角坐标方程为x2＋y2－3x－33y＝0.答案：x2＋y2－3x－33y＝05．在极坐标系中，圆ρ＝2cosθ的圆心的极坐标是_________，它与方程θ＝π4(ρ＞0)所表示的图形的交点的极坐标是__________．解析：圆心的极坐标为(1,0)，半径为1，θ＝π4与圆的交点的极坐标为2，π4.答案：(1,0)，2，π4考点例析通关特训课堂学案考点通关考点一平面直角坐标系中的伸缩变换【例1】求曲线y＝sin2x＋π4经伸缩变换x′＝2x，y′＝12y后的曲线方程．解析：由x′＝2x，y′＝12y得x＝12x′，y＝2y′.①将①代入y＝sin2x＋π4，得2y′＝sin2·12x′＋π4，即y′＝12sinx′＋π4.故变换后的曲线方程为y＝12sinx＋π4.►名师点拨求经伸缩变换后曲线方程的方法平面上的曲线y＝f(x)在变换φ：x′＝λxλ＞0，y′＝μyμ＞0的作用下的变换方程的求法是将x＝x′λ，y＝y′μ代入y＝f(x)，得y′μ＝fx′λ，整理之后得到y′＝h(x′)，即为所求变换之后的方程．通关特训1求双曲线C：x2－y264＝1经过φ：x′＝3x，2y′＝y变换后所得曲线C′的焦点坐标．解析：设曲线C′上任意一点P′(x′，y′)，由上述可知，将x＝13x′，y＝2y′，代入x2－y264＝1得x′29－4y′264＝1，化简得x′29－y′216＝1，即x29－y216＝1为曲线C′的方程，可见仍是双曲线，则焦点F1(－5,0)，F2(5,0)为所求．考点二极坐标与直角坐标的互化【例2】在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为3ρ2＝12ρcosθ－10(ρ＞0)．(1)求曲线C1的直角坐标方程；(2)曲线C2的方程为x216＋y24＝1，设P，Q分别为曲线C1与曲线C2上的任意一点，求|PQ|的最小值．解析：(1)曲线C1的方程可化为3(x2＋y2)＝12x－10，即(x－2)2＋y2＝23.(2)依题意可设Q(4cosθ，2sinθ)，由(1)知圆C1的圆心坐标为C1(2,0)．故|QC1|＝4cosθ－22＋4sin2θ＝12cos2θ－16cosθ＋8＝23cosθ－232＋23，|QC1|min＝263，所以|PQ|min＝63.►名师点拨极坐标与直角坐标互化的注意点(1)在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一．(2)在曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围．要注意转化的等价性．通关特训2已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－22ρcosθ－π4＝2.(1)把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程．解析：(1)由ρ＝2知ρ2＝4，所以x2＋y2＝4；因为ρ2－22ρcosθ－π4＝2，所以ρ2－22ρcosθcosπ4＋sinθsinπ4＝2.所以x2＋y2－2x－2y－2＝0.(2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x＋y＝1.化为极坐标方程为ρcosθ＋ρsinθ＝1，即ρsinθ＋π4＝22.考点三极坐标方程及其应用【例3】已知在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x＝2＋2cosθ，y＝2sinθ(θ为参数)，在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，直线l的方程为ρsinθ＋π4＝22.(1)求曲线C在极坐标系中的方程；(2)求直线l被曲线C截得的弦长．解析：(1)由已知得，曲线C的普通方程为(x－2)2＋y2＝4，即x2＋y2－4x＝0，化为极坐标方程是ρ＝4cosθ.(2)由题意知，直线l的直角坐标方程为x＋y－4＝0，由x2＋y2－4x＝0，x＋y＝4，得直线l与曲线C的交点坐标为(2,2)，(4,0)，所以所求弦长为22.►名师点拨求曲线的极坐标方程的步骤(1)建立适当的极坐标系，设P(ρ，θ)是曲线上任意一点；(2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关系式；(3)将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程．通关特训3设过原点O的直线与圆(x－1)2＋y2＝1的一个交点为P，点M为线段OP的中点，当点P在圆上移动一周时，求点M轨迹的极坐标方程，并说明它是什么曲线．解析：圆(x－1)2＋y2＝1的极坐标方程为ρ＝2cosθ－π2≤θ≤π2，设点P的极坐标为(ρ1，θ1)，点M的极坐标为(ρ，θ)，∵点M为线段OP的中点，∴ρ1＝2ρ，θ1＝θ，将ρ1＝2ρ，θ1＝θ代入圆的极坐标方程，得ρ＝cosθ.∴点M轨迹的极坐标方程为ρ＝cosθ－π2≤θ≤π2，它表示圆心在点12，0，半径为12的圆.请做：word部分：自主园地备考套餐点此进入该word板块请做：word部分：开卷速查(选修4-4-1)点此进入该word板块