【2016届走向高考】高三数学一轮(北师大版)课件第2章第9节函数模型及其应用

走向高考·数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索北师大版·高考总复习走向高考·高考总复习·北师大版·数学第二章函数与基本初等函数函数与基本初等函数第二章走向高考·高考总复习·北师大版·数学第二章函数与基本初等函数第九节函数模型及其应用第二章走向高考·高考总复习·北师大版·数学第二章函数与基本初等函数课前自主导学2课时作业4高考目标导航1课堂典例讲练3走向高考·高考总复习·北师大版·数学第二章函数与基本初等函数高考目标导航走向高考·高考总复习·北师大版·数学第二章函数与基本初等函数考纲要求命题分析1.了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义．2．了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.通过对近三年高考试题的统计分析可以看出，对函数的实际应用问题的考查，多以社会实际生活为背景，设问新颖、灵活，而解决这些问题所涉及的数学知识、数学思想和方法又都是高中教材中大纲中所要求掌握的，这就要求学生具备转化与化归及分类讨论的能力，将复杂问题转化为熟悉的问题加以解决．预测2016年高考试题仍将突出函数实际应用题的信息量大的特征，重点考查学生处理问题的能力．高考复习中应充分挖掘课本中涉及的应用背景，重点训练学生处理问题、建立数学模型的能力.走向高考·高考总复习·北师大版·数学第二章函数与基本初等函数课前自主导学走向高考·高考总复习·北师大版·数学第二章函数与基本初等函数1.几类函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)指数函数模型f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a0且a≠1)对数函数模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a0且a≠1)幂函数模型f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)走向高考·高考总复习·北师大版·数学第二章函数与基本初等函数2.三种增长型函数之间增长速度的比较(1)指数函数y＝ax(a1)与幂函数y＝xn(n0)在区间(0，＋∞)，无论n比a大多少，尽管在x的一定范围内ax会小于xn，但由于y＝ax的增长速度________y＝xn的增长速度，因而总存在一个x0，当xx0时有__________．快于axxn走向高考·高考总复习·北师大版·数学第二章函数与基本初等函数(2)对数函数y＝logax(a1)与幂函数y＝xn(n0)对数函数y＝logax(a1)的增长速度，不论a与n值的大小如何总会________y＝xn的增长速度，因而在定义域内总存在一个实数x0，使xx0时有__________．由(1)(2)可以看出三种增长型的函数尽管均为增函数，但它们的增长速度不同，且不在同一个档次上，因此在(0，＋∞)上，总会存在一个x0，使xx0时有__________．慢于logaxxnaxxnlogax走向高考·高考总复习·北师大版·数学第二章函数与基本初等函数3．解函数应用问题的步骤(四步八字)(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)求模：求解数学模型，得出数学结论；(4)还原：将数学问题还原为实际问题的意义．以上过程用框图表示如下：走向高考·高考总复习·北师大版·数学第二章函数与基本初等函数4．函数模型的应用实例的基本题型(1)给定函数模型解决实际问题；(2)建立确定性的函数模型解决问题；(3)建立拟合函数模型解决实际问题．走向高考·高考总复习·北师大版·数学第二章函数与基本初等函数1.“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点．用S1、S2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t为时间，则下图与故事情节相吻合的是()走向高考·高考总复习·北师大版·数学第二章函数与基本初等函数[答案]B[解析]在B中，乌龟到达终点时，兔子在同一时间的路程比乌龟短．走向高考·高考总复习·北师大版·数学第二章函数与基本初等函数2．在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据：现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是()x1.99345.16.12y1.54.047.51218.01A．y＝2x－2B．y＝12(x2－1)C．y＝log3xD．y＝2x－2走向高考·高考总复习·北师大版·数学第二章函数与基本初等函数[答案]B[解析]把表格中的数据代入选择项的解析式中，易得最接近的一个函数是y＝12(x2－1)．走向高考·高考总复习·北师大版·数学第二章函数与基本初等函数3．下列函数中，随x的增大，y的增大速度最快的是()A．y＝1100exB．y＝100lnxC．y＝x2D．y＝100·2x[答案]A[解析]∵在(0，＋∞)上，总存在一个x0，使xx0时有axxnlogax(a1)，∴排除B，C．又∵e2，∴1100ex的增长速度大于100·2x的增长速度．走向高考·高考总复习·北师大版·数学第二章函数与基本初等函数4．(文)(原创题)绿原公司2014年新上市的一种化妆品，由于脱销，在2015年曾提价25%,2016年想要恢复成原价，则应降价()A．30%B．25%C．20%D．15%[答案]C[解析]设原价为1，降价为x，则(1＋25%)(1－x)＝1，所以x＝0.2.走向高考·高考总复习·北师大版·数学第二章函数与基本初等函数(理)(教材改编题)王先生于两年前购买了一部手机，现在这款手机的价格已降为1000元，设这种手机每年降价20%，那么两年前这部手机的价格为()A．1535.5元B．1440元C．1620元D．1562.5元[答案]D[解析]设两年前的价格为a，则有a(1－0.2)2＝1000，解得a＝1562.5元，故选D．走向高考·高考总复习·北师大版·数学第二章函数与基本初等函数5．(2014·晋江模拟)生活经验告诉我们，当水注进容器(设单位时间内进水量相同)时，水的高度随着时间的变化而变化，在下图中请选择与容器相匹配的图像，(A)对应________；(B)对应________；(C)对应________；(D)对应________．走向高考·高考总复习·北师大版·数学第二章函数与基本初等函数[答案](4)(1)(3)(2)[解析]A容器下粗上细，水高度的变化先慢后快，故与(4)对应；B容器为球形，水高度变化为快—慢—快，应与(1)对应；C、D容器都是柱形的，水高度的变化速度都应是直线形，但C容器细，D容器粗，故水高度的变化为：C容器快，与(3)对应，D容器慢，与(2)对应．走向高考·高考总复习·北师大版·数学第二章函数与基本初等函数6．某工厂生产某种产品固定成本为2000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元，又知总收入k是单位产品数Q的函数，k(Q)＝40Q－120Q2，则总利润L(Q)的最大值是________万元．[答案]2500走向高考·高考总复习·北师大版·数学第二章函数与基本初等函数[解析]总利润L(Q)＝40Q－120Q2－10Q－2000＝－120(Q－300)2＋2500.故当Q＝300时，总利润最大为2500万元．走向高考·高考总复习·北师大版·数学第二章函数与基本初等函数课堂典例讲练走向高考·高考总复习·北师大版·数学第二章函数与基本初等函数随着我国加入WTO，某企业决定从甲、乙两种产品中选择一种投资生产，打入国际市场，已知投资生产这两种产品的有关数据如下表：一次、二次函数模型年固定成本(万美元)每件产品成本(万美元)每件产品销售价(万美元)每年最多可生产件数甲产品20a10200乙产品40818120走向高考·高考总复习·北师大版·数学第二章函数与基本初等函数其中年固定成本与年生产的件数无关，a为常数，且3≤a≤8.另外，年销售x件乙产品时需上交0.05x2万美元的特别关税．(1)写出该厂分别投资生产甲、乙两种产品的年利润y1、y2与生产相应产品的件数x(x∈N)之间的函数关系式；(2)分别求出投资生产这两种产品的最大年利润．[思路分析]列出函数关系式，根据函数性质求最值．走向高考·高考总复习·北师大版·数学第二章函数与基本初等函数[规范解答](1)由题知y1＝10x－(20＋ax)＝(10－a)x－20,0≤x≤200且x∈N；y2＝18x－(40＋8x)－0.05x2＝－0.05x2＋10x－40＝－0.05(x－100)2＋460,0≤x≤120且x∈N.走向高考·高考总复习·北师大版·数学第二章函数与基本初等函数(2)∵3≤a≤8，∴10－a0，∴y1＝(10－a)x－20为增函数．又0≤x≤200，x∈N，∴x＝200时y1取最大值，即生产甲产品的最大年利润为(10－a)×200－20＝1980－200a(万美元)．又y2＝－0.05(x－100)2＋460,0≤x≤120，x∈N，∴x＝100时y2取最大值，即生产乙产品的最大年利润为460万美元．走向高考·高考总复习·北师大版·数学第二章函数与基本初等函数[方法总结]二次函数是我们比较熟悉的基本函数，建立二次函数模型可以求出函数的最值，解决实际中的最优化问题，值得注意的是：一定要注意自变量的取值范围，根据图像的对称轴与定义域在数轴上表示的区间之间的位置关系讨论求解．走向高考·高考总复习·北师大版·数学第二章函数与基本初等函数某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y(万元)与年产量x(t)之间的函数关系式可以近似地表示为y＝x25－48x＋8000，已知此生产线年产量最大为210t.(1)求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；(2)若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？走向高考·高考总复习·北师大版·数学第二章函数与基本初等函数[解析](1)每吨平均成本为yx(万元)，则yx＝x5＋8000x－48≥2x5·8000x－48＝32，当且仅当x5＝8000x，即x＝200时取等号．∴年产量为200t时，每吨平均成本最低为32万元．走向高考·高考总复习·北师大版·数学第二章函数与基本初等函数(2)设年获得总利润为R(x)万元，则R(x)＝40x－y＝40x－x25＋48x－8000＝－x25＋88x－8000＝－15(x－220)2＋1680(0≤x≤210)．∵R(x)在[0,210]上是增函数，∴x＝210时，R(x)有最大值为－15(210－220)2＋1680＝1660.∴年产量为210t时，可获得最大利润1660万元．走向高考·高考总复习·北师大版·数学第二章函数与基本初等函数提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：km/h)是车流密度x(单位：辆/km)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/km时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/km时，车流速度为60km/h.研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．(1)当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式；(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/h)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/h)分段函数模型走向高考·高考总复习·北师大版·数学第二章函数与基本初等函数[思路分析]首先求函数v(x)为分段函数，然后利用一元二次函数配方法或基本不等式求解．[规范解答](1)由题意：当0≤x≤20时，v(x)＝60，当20≤x≤200时，设v(x)＝ax＋b，再由已知得200a＋b＝0，20a＋b＝60，解得a＝－13，b＝2003.故函数v(x)的表