【2016年高考数学】2016年高考数学(理)一轮复习精品不等式

2016年高考数学（理）一轮复习精品不等式E1不等式的概念与性质5．B6，B7，E1[2014·山东卷]已知实数x，y满足ax＜ay(0＜a＜1)，则下列关系式恒成立的是()A.1x2＋1＞1y2＋1B.ln(x2＋1)＞ln(y2＋1)C.sinx＞sinyD.x3＞y35．D[解析]因为ax＜ay(0＜a＜1)，所以x＞y，所以sinx＞siny，ln(x2＋1)＞ln(y2＋1)，1x2＋1＞1y2＋1都不一定正确，故选D.4．E1[2014·四川卷]若ab0，cd0，则一定有()A.acbdB.acbdC.adbcD.adbc4．D[解析]因为c＜d＜0，所以1d1c＜0，即－1d－1c＞0，与a＞b＞0对应相乘得，－ad－bc＞0，所以adbc.故选D.E2绝对值不等式的解法9．E2、E8[2014·安徽卷]若函数f(x)＝|x＋1|＋|2x＋a|的最小值为3，则实数a的值为()A．5或8B．－1或5C．－1或－4D．－4或89．D[解析]当a≥2时，f(x)＝3x＋a＋1（x－1），x＋a－1－a2≤x≤－1，－3x－a－1x－a2.由图可知，当x＝－a2时，fmin(x)＝f－a2＝a2－1＝3，可得a＝8.当a2时，f(x)3x＋a＋1x－a2，－x－a＋1－1≤x≤－a2，－3x－a－1（x－1）.由图可知，当x＝－a2时，fmin(x)＝f－a2＝－a2＋1＝3，可得a＝－4.综上可知，a的值为－4或8.E3一元二次不等式的解法2．A1、E3[2014·全国卷]设集合M＝{x|x2－3x－40}，N＝{x|0≤x≤5}，则M∩N＝()A．(0，4]B．[0，4)C．[－1，0)D．(－1，0]2．B[解析]因为M＝{x|x2－3x－40}＝{x|－1x4}，N＝{x|0≤x≤5}，所以M∩N＝{x|－1x4}∩{0≤x≤5}＝{x|0≤x4}．12．E3、C4[2014·新课标全国卷Ⅱ]设函数f(x)＝3sinπxm，若存在f(x)的极值点x0满足x20＋[f(x0)]2＜m2，则m的取值范围是()A．(－∞，－6)∪(6，＋∞)B．(－∞，－4)∪(4，＋∞)C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)12．C[解析]函数f(x)的极值点满足πxm＝π2＋kπ，即x＝mk＋12，k∈Z，且极值为±3，问题等价于存在k0使之满足不等式m2k0＋122＋3m2.因为k＋122的最小值为14，所以只要14m2＋3m2成立即可，即m24，解得m2或m－2，故m的取值范围是(－∞，－2)∪(2，＋∞)．E4简单的一元高次不等式的解法E5简单的线性规划问题5．E5[2014·安徽卷]x，y满足约束条件x＋y－2≤0，x－2y－2≤0，2x－y＋2≥0.若z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一．．．，则实数a的值为()A.12或－1B．2或12C．2或1D．2或－15．D[解析]方法一：画出可行域，如图中阴影部分所示，可知点A(0，2)，B(2，0)，C(－2，－2),则zA＝2，zB＝－2a，zc＝2a－2.要使对应最大值的最优解有无数组，只要zA＝zBzC或zA＝zCzB或zB＝zCzA，解得a＝－1或a＝2.方法二：画出可行域，如图中阴影部分所示，z＝y－ax可变为y＝ax＋z，令l0：y＝ax，则由题意知l0∥AB或l0∥AC，故a＝－1或a＝2.6．E5[2014·北京卷]若x，y满足x＋y－2≥0，kx－y＋2≥0，y≥0，且z＝y－x的最小值为－4，则k的值为()A．2B．－2C.12D．－126．D[解析]可行域如图所示，当k0时，知z＝y－x无最小值，当k0时，目标函数线过可行域内A点时z有最小值．联立y＝0，kx－y＋2＝0，解得A－2k，0，故zmin＝0＋2k＝－4，即k＝－12.11．E5[2014·福建卷]若变量x，y满足约束条件x－y＋1≤0，x＋2y－8≤0，x≥0，则z＝3x＋y的最小值为________．11．1[解析]作出不等式组表示的平面区域(如图所示)，把z＝3x＋y变形为y＝－3x＋z，则当直线y＝3x＋z经过点(0，1)时，z最小，将点(0，1)代入z＝3x＋y，得zmin＝1，即z＝3x＋y的最小值为1.3．E5[2014·广东卷]若变量x，y满足约束条件y≤x，x＋y≤1，y≥－1，且z＝2x＋y的最大值和最小值分别为m和n，则m－n＝()A．5B．6C．7D．83．B[解析]本题考查运用线性规划知识求目标函数的最值，注意利用数形结合思想求解．画出不等式组表示的平面区域，如图所示．当目标函数线经过点A(－1，－1)时，z取得最小值；当目标函数线经过点B(2，－1)时，z取得最大值．故m＝3，n＝－3，所以m－n＝6.14．E5[2014·湖南卷]若变量x，y满足约束条件y≤x，x＋y≤4，y≥k，且z＝2x＋y的最小值为－6，则k＝________.14．－2[解析]画出可行域，如图中阴影部分所示，不难得出z＝2x＋y在点A(k，k)处取最小值，即3k＝－6，解得k＝－2.14．E5[2014·全国卷]设x，y满足约束条件x－y≥0，x＋2y≤3，x－2y≤1，则z＝x＋4y的最大值为________．14．5[解析]如图所示，满足约束条件的可行域为△ABC的内部(包括边界),z＝x＋4y的最大值即为直线y＝－14x＋14z的纵截距最大时z的值．结合题意，当y＝－14x＋14z经过点A时，z取得最大值．由x－y＝0，x＋2y＝3，可得点A的坐标为(1，1)，所以zmax＝1＋4＝5.9．E5、A3[2014·新课标全国卷Ⅰ]不等式组x＋y≥1，x－2y≤4的解集记为D，有下面四个命题：p1：∀(x，y)∈D，x＋2y≥－2，p2：∃(x，y)∈D，x＋2y≥2，p3：∀(x，y)∈D，x＋2y≤3，p4：∃(x，y)∈D，x＋2y≤－1.其中的真命题是()A．p2，p3B．p1，p2C．p1，p4D．p1，p39．B[解析]不等式组表示的区域D如图中的阴影部分所示，设目标函数z＝x＋2y，根据目标函数的几何意义可知，目标函数在点A(2，－1)处取得最小值，且zmin＝2－2＝0，即x＋2y的取值范围是[0，＋∞)，故命题p1，p2为真，命题p3，p4为假．9．E5[2014·新课标全国卷Ⅱ]设x，y满足约束条件x＋y－7≤0，x－3y＋1≤0，3x－y－5≥0，则z＝2x－y的最大值为()A．10B．8C．3D．29．B[解析]已知不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分所示，根据目标函数的几何意义可知，目标函数在点A(5，2)处取得最大值，故目标函数的最大值为2×5－2＝8.9．E5[2014·山东卷]已知x，y满足约束条件x－y－1≤0，2x－y－3≥0，当目标函数z＝ax＋by(a＞0，b＞0)在该约束条件下取到最小值25时，a2＋b2的最小值为()A.5B.4C.5D.29．B[解析]画出约束条件表示的可行域(如图所示)．显然，当目标函数z＝ax＋by过点A(2，1)时，z取得最小值，即25＝2a＋b，所以25－2a＝b，所以a2＋b2＝a2＋(25－2a)2＝5a2－85a＋20，构造函数m(a)＝5a2－85a＋20(5a0)，利用二次函数求最值，显然函数m(a)＝5a2－85a＋20的最小值是4×5×20－（85）24×5＝4，即a2＋b2的最小值为4.故选B.18．F2，E5[2014·陕西卷]在直角坐标系xOy中，已知点A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)，点P(x，y)在△ABC三边围成的区域(含边界)上．(1)若PA→＋PB→＋PC→＝0，求|OP→|；(2)设OP→＝mAB→＋nAC→(m，n∈R)，用x，y表示m－n，并求m－n的最大值．18．解：(1)方法一：∵PA→＋PB→＋PC→＝0，又PA→＋PB→＋PC→＝(1－x，1－y)＋(2－x，3－y)＋(3－x，2－y)＝(6－3x，6－3y)，∴6－3x＝0，6－3y＝0，解得x＝2，y＝2，即OP→＝(2，2)，故|OP→|＝22.方法二：∵PA→＋PB→＋PC→＝0，则(OA→－OP→)＋(OB→－OP→)＋(OC→－OP→)＝0，∴OP→＝13(OA→＋OB→＋OC→)＝(2，2)，∴|OP→|＝22.(2)∵OP→＝mAB→＋nAC→，∴(x，y)＝(m＋2n，2m＋n)，∴x＝m＋2n，y＝2m＋n，两式相减得，m－n＝y－x，令y－x＝t，由图知，当直线y＝x＋t过点B(2，3)时，t取得最大值1，故m－n的最大值为1.5．E5，L1[2014·四川卷]执行如图1­1所示的程序框图，如果输入的x，y∈R，那么输出的S的最大值为()图1­1A．0B．1C．2D．35．C[解析]题中程序输出的是在x＋y≤1，x≥0，y≥0的条件下S＝2x＋y的最大值与1中较大的数．结合图像可得，当x＝1，y＝0时，S＝2x＋y取得最大值2，21，故选C.2．E5[2014·天津卷]设变量x，y满足约束条件x＋y－2≥0，x－y－2≤0，y≥1，则目标函数z＝x＋2y的最小值为()A．2B．3C．4D．52．B[解析]画出可行域，如图所示．解方程组x＋y－2＝0，y＝1，得x＝1，y＝1，即点A(1，1)．当目标函数线过可行域内A点时，目标函数有最小值，即zmin＝1×1＋2×1＝3.13．E5[2014·浙江卷]当实数x，y满足x＋2y－4≤0，x－y－1≤0，x≥1时，1≤ax＋y≤4恒成立，则实数a的取值范围是________．13.1，32[解析]实数x，y满足的可行域如图中阴影部分所示，图中A(1，0)，B(2，1)，C1，32.当a≤0时，0≤y≤32，1≤x≤2，所以1≤ax＋y≤4不可能恒成立；当a0时，借助图像得，当直线z＝ax＋y过点A时z取得最小值，当直线z＝ax＋y过点B或C时z取得最大值，故1≤a≤4，1≤2a＋1≤4，1≤a＋32≤4，解得1≤a≤32.故a∈1，32.E6基本不等式2abab16．E6、E9[2014·辽宁卷]对于c0，当非零实数a，b满足4a2－2ab＋4b2－c＝0且使|2a＋b|最大时，3a－4b＋5c的最小值为________．16．－2[解析]由题知2c＝－(2a＋b)2＋3(4a2＋3b2)．(4a2＋3b2)1＋13≥(2a＋b)2⇔4a2＋3b2≥34(2a＋b)2，即2c≥54(2a＋b)2，当且仅当4a21＝3b213，即2a＝3b＝6λ(同号)时，|2a＋b|取得最大值85c，此时c＝40λ2.3a－4b＋5c＝18λ2－1λ＝181λ－42－2≥－2，当且仅当a＝34，b＝12，c＝52时，3a－4b＋5c取最小值－2.14．J3，E6[2014·山东卷]若ax2＋bx6的展开式中x3项的系数为20，则a2＋b2的最小值为________．14．2[解析]Tr＋1＝Cr6(ax2)6－r·bxr＝Cr6a6－r·brx12－3r，令12－3r＝3，得r＝3，所以C36a6－3b3＝20，即a3b3＝1，所以ab＝1，所以a2＋b2≥2ab＝2，当且仅当a＝b，且ab＝1时，等号成立．故a2＋b2的最小值是2.10．E6，F7[2014·四川卷]已知F为抛物线y2＝x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，OA→·OB→＝2(其中O为坐标原点)，则△ABO与△AFO面积之和的最小值是()A．2B．3C.1728D.1010．B[解析]由题意可知，F14