【2016届走向高考】高三数学一轮(人教A版)基础巩固第10章第9节随机变量的数字特征与正态分布(理

-1-第十章第九节一、选择题1．(2014·吉林市质检)已知随机变量ξ服从正态分布N(0，σ2)，P(ξ2)＝0.023，则P(－2≤ξ≤2)＝()A．0.954B．0.977C．0.488D．0.477[答案]A[解析]P(ξ2)＝0.023，由正态分布曲线的性质可知，P(－2≤ξ≤2)＝1－2×0.023＝0.954.2．(2013·广州一模)已知随机变量X＋η＝8，若X～B(10，0.6)，则E(η)，D(η)分别是()A．6和2.4B．2和2.4C．2和5.6D．6和5.6[答案]B[解析]∵X～B(10,0.6)，∴E(X)＝10×0.6＝6，D(X)＝10×0.6×(1－0.6)＝2.4，∴E(η)＝8－E(X)＝2，D(η)＝(－1)2D(X)＝2.4.3．(2014·东北三省二模)一个射箭运动员在练习时只记射中9环和10环的成绩，未击中9环或10环就以0环记．该运动员在练习时击中10环的概率为a，击中9环的概率为b，既未击中9环也未击中10环的概率为c(a，b，c∈[0,1))，如果已知该运动员一次射箭击中环数的期望为9环，则当10a＋19b取最小值时，c的值为()A．111B．211C．511D．0[答案]A[解析]因为运动员射击一次击中环数的期望为9，所以有10a＋9b＝9，所以10a＋19b＝19(10a＋19b)(9b＋10a)＝19(90ba＋10a9b＋101)≥1219.当且仅当90ba＝10a9b时取等号，即a＝9b.与10a＋9b＝9联立可解得a＝911，b＝111.又因为a＋b＋c＝1，所以c＝111.4．(2013·白山联考)设随机变量X～N(1,52)，且P(X≤0)＝P(X≥a－2)，则实数a的值为()A．4B．6C．8D．10[答案]A[解析]∵X～N(1,52)，P(X≤0)＝P(X≥a－2)，-2-∴a－2＋02＝1，∴a＝4.5．一台机器生产某种产品，如果生产一件甲等品可获利50元，生产一件乙等品可获利30元，生产一件次品，要赔20元，已知这台机器生产甲等品、乙等品和次品的概率分别为0.6、0.3和0.1，则这台机器每生产一件产品，平均预期可获利()A．39元B．37元C．20元D．1003元[答案]B[解析]ξ的分布列为ξ5030－20p0.60.30.1∴E(ξ)＝50×0.6＋30×0.3＋(－20)×0.1＝37(元)，故选B．6．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴在y轴的左侧，其中a、b、c∈{－3，－2，－1,0,1,2,3}，在这些抛物线中，记随机变量ξ＝“|a－b|的取值”，则ξ的数学期望E(ξ)为()A．89B．35C．25D．13[答案]A[解析]∵对称轴在y轴左侧，∴－b2a0，∴ab0，即a与b同号，∴满足条件的抛物线有2C13C13C17＝126条．ξ的取值为0、1、2，P(ξ＝0)＝6×7126＝13，P(ξ＝1)＝8×7126＝49，P(ξ＝2)＝4×7126＝29.∴E(ξ)＝13×0＋49×1＋29×2＝89.二、填空题7．(2014·浙江)随机变量ξ的取值为0,1,2，若P(ξ＝0)＝15，E(ξ)＝1，则D(ξ)＝________.[答案]25[解析]设ξ＝1的概率为P.则E(ξ)＝0×15＋1×P＋2(1－P－15)＝1，∴P＝35.-3-故D(ξ)＝(0－1)2×15＋(1－1)2×35＋(2－1)2×15＝258．如果随机变量ξ～B(n，p)，且E(ξ)＝4，且D(ξ)＝2，则E(pξ－D(ξ))＝________.[答案]0[解析]∵ξ～B(n，p)，且E(ξ)＝4，∴np＝4，又∵D(ξ)＝2，∴np(1－p)＝2，∴p＝12，∴E(pξ－D(ξ))＝E(12ξ－2)＝12E(ξ)－2＝0.9．甲罐中有5个红球、2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球、4个白球和2个黑球，先从甲罐中任意取出一球放入乙罐，再从乙罐中取出一球，则从乙罐中取出的球是白球的概率为________．[答案]2155[解析]设从甲罐中取出红球、白球、黑球的事件分别为A1、A2、A3，设从乙罐中取出白球的事件为B，则P(A1)＝12，P(A2)＝15，P(A3)＝310，所求概率P(B)＝P(A1B)＋P(A2B)＋P(A3B)＝12×411＋15×511＋310×411＝2155.三、解答题10．(2013·海淀模拟)某班将要举行篮球投篮比赛，比赛规则是：每位选手可以选择在A区投篮2次或选择在B区投篮3次．在A区每进一球得2分，不进球得0分；在B区每进一球得3分，不进球得0分，得分高的选手胜出．已知参赛选手甲在A区和B区每次投篮进球的概率分别为910或13.(1)如果选手甲以在A、B区投篮得分的期望较高者为选择投篮区的标准，问选手甲应该选择在哪个区投篮？(2)求选手甲在A区投篮得分高于在B区投篮得分的概率．[解析](1)法一：设选手甲在A区投两次篮的进球数为X，则X～B(2，910)，故E(X)＝2×910＝95，则选手甲在A区投篮得分的期望为2×95＝3.6.设选手甲在B区投三次篮的进球数为Y，则Y～B(3，13)，故E(Y)＝3×13＝1，则选手甲在B区投篮得分的期望为3×1＝3.∵3.63，-4-∴选手甲应该选择在A区投篮．法二：设选手甲在A区投篮的得分为ξ，则ξ的可能取值为0,2,4，P(ξ＝0)＝(1－910)2＝1100，P(ξ＝2)＝C12×910×(1－910)＝18100，P(ξ＝4)＝(910)2＝81100.所以ξ的分布列为：ξ024P11001810081100∴E(ξ)＝0×1100＋2×18100＋4×81100＝3.6.同理，设选手甲在B区投篮的得分为η，则η的可能取值为0,3,6,9，P(η＝0)＝(1－13)3＝827，P(η＝3)＝C13×13×(1－13)2＝49，P(η＝6)＝C23×(13)2(1－13)＝29，P(η＝9)＝(13)3＝127.所以η的分布列为：ξ0369P8274929127∴E(η)＝0×827＋3×49＋6×29＋9×127＝3.∵E(ξ)E(η)，∴选手甲应该选择在A区投篮．(2)设选手甲在A区投篮得分高于在B区投篮得分为事件C，甲在A区投篮得2分、在B区投篮得0分为事件C1，甲在A区投篮得4分、在B区投篮得0分为事件C2，甲在A区投篮得4分、在B区投篮得3分为事件C3，则C＝C1∪C2∪C3，其中C1，C2，C3为互斥事件．则：P(C)＝P(C1∪C2∪C3)＝P(C1)＋P(C2)＋P(C3)＝18100×827＋81100×827＋81100×49＝4975，故选手甲在A区投篮得分高于在B区投篮得分的概率为4975.一、解答题-5-11．(2013·福州模拟)随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元．设1件产品的利润(单位：万元)为ξ.(1)求ξ的分布列；(2)求1件产品的平均利润(即ξ的均值)；(3)经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%.如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？[解析](1)由于1件产品的利润为ξ，则ξ的所有可能取值为6,2,1，－2，由题意知P(ξ＝6)＝126200＝0.63，P(ξ＝2)＝50200＝0.25，P(ξ＝1)＝20200＝0.1，P(ξ＝－2)＝4200＝0.02.故ξ的分布列为ξ621－2P0.630.250.10.02(2)1件产品的平均利润为E(ξ)＝6×0.63＋2×0.25＋1×0.1＋(－2)×0.02＝4.34(万元)．(3)设技术革新后三等品率为x，则此时1件产品的平均利润为E(ξ)＝6×0.7＋2×(1－0.7－x－0.01)＋1×x＋(－2)×0.01＝4.76－x.由E(ξ)≥4.73，得4.76－x≥4.73，解得x≤0.03，所以三等品率最多为3%.12．(2014·贵州黔东南月考)有甲、乙、丙、丁、戊五位工人参加技能竞赛培训．现分别从甲、乙两人在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取6次，用茎叶图表示这两组数据如图所示.甲乙987541803553925(1)现要从甲、乙两人中选派一人参加技能竞赛，从平均成绩及发挥稳定性角度考虑，你认为派哪位工人参加合适？请说明理由．(2)若将频率视为概率，对甲工人在今后3次的竞赛成绩进行预测，记这3次成绩中高于80分的次数为X，求X的分布列及期望E(X)．[解析](1)派甲工人参加比较合适．理由如下：x－甲＝16(78＋79＋81＋84＋93＋95)＝85，x－乙＝16(75＋80＋83＋85＋92＋95)＝85.-6-s2甲＝16[(78－85)2＋(79－85)2＋(81－85)2＋(84－85)2＋(93－85)2＋(95－85)2]＝1333，s2乙＝16[(75－85)2＋(80－85)2＋(83－85)2＋(85－85)2＋(92－85)2＋(95－85)2]＝1393.因此x－甲＝x－乙，s2甲s2乙，所以甲、乙两人的成绩相当，但是甲的成绩较乙更为稳定，派甲参加较为合适．(2)记“甲工人在一次竞赛中成绩高于80分”为事件A，则P(A)＝46＝23.由题意知：X～B(3，23)，且P(X＝k)＝Ck3(23)k(13)3－k，k＝0,1,2,3.所以X的分布列为X0123P1272949827故E(X)＝0×127＋1×29＋2×49＋3×827＝2.(或E(X)＝np＝3×23＝2)13．(2013·四川理，18)某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x在1,2,3，…，24这24个整数中等可能随机产生．(1)分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率Pi(i＝1,2,3)；(2)甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行n次后，统计记录了输出y的值为i(i＝1,2,3)的频数，以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据．甲的频数统计表(部分)运行次数n输出y的值为1的频数输出y的值为2的频数输出y的值为3的频数3014610…………-7-21001027376697乙的频数统计表(部分)运行次数n输出y的值为1的频数输出y的值为2的频数输出y的值为3的频数3012117…………21001051696353当n＝2100时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出y的值为i(i＝1,2,3)的频率(用分数表示)，并判断两位同学中哪一位所编程序符合算法要求的可能性较大；(3)将按程序框图正确编写的程序运行3次，求输出y的值为2的次数ξ的分布列及数学期望．[解析](1)变量x是在1,2,3，…，24这24个整数中随机产生的一个数，共有24种可能．当x从1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23这12个数中产生时，输出y的值为1，故P1＝12；当x从2,4,8,10,14,16,20,22这8个数中产生时，输出y的值为2，故P2＝13；当x从6,12,18,24这4个数中产生时，输出y的值为3，故P3＝16.所以，输出y的值为1的概率为12，输出y的值为2的概率为13，输出y的值为3的概率为16.(2)当n＝2100时，甲、乙所编程序各自输出y的值为i(i＝1,2,3)的频率如下：输出y的值为1的频率输出y的值为2的频率输出y的值为3的频率甲1027210037621006972100乙1051210069621003532100比较频率趋势与概率，可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性大．(3)随机变量ξ可能的取值为0,1,2,3.P(ξ＝0)＝C03×(13)0×(23)3＝827，P(ξ＝1)＝C13×(13)1×(23)2＝49，P(ξ＝2)＝C23×(13)2×(23)1＝29，P(ξ＝3)＝C33×(13)3×(23)0＝127，故ξ的分布列为-8-ξ0123P82