三线八角学习和识别的方法指引

第1页（共5页）用图形分离法学习“三线八角”图形分离法就是面对一个比较复杂的图形时，从解题需要的角度出发，在保持图形中各元素（点、线、角等）相对位置不变的情况下，提取出原图的一部分来进行分析问题的解题方法。分离出来的图形，与原图相比，肯定要简单些，少了许多来自于一些不相干的图形元素的干扰，比较容易找到解题的突破口。图形简化了，难题就不难了，看着简化图形，结合基本知识，诸多问题便可迎刃而解了。如图1，直线AB、CD与EF相交（也可以说两条直线AB、CD被第三条直线EF所截），形成了8个小于平角的角，我们通常将这样的几何模型简称为“三线八角”。这8个角中，有些角是有公共顶点的，如∠1与∠3,∠5与∠8等，本文所探讨的是另一类角，如∠1与∠5，∠3与∠5,∠4与∠5等，这几对角没有公共的顶点，但都存在一边共线，也就是说每一个角都有一条边在直线EF上，即“同位角、内错角、同旁内角”，这是本章知识的重点，也是难点，对这一知识掌握的好与坏将直线影响到后续知识的学习。实践证明，“图形分离法”在这里就能大显身手，使教与学的活动收到了事半功倍的效果。在讲授“同位角、内错角、同旁内角”的基本概念时，为了能让学生比较直观地识别出这三种角，我就将图1分离出图2这些比较简单的图形。再由图形的象形特征，指出这8个分离图形中有三类，分别是“F型”、“Z型”、“U型”，分别对应于同位角、内错角、同旁内角。这样一来，学生自然就容易掌握了。在学完“同位角、内错角、同旁内角”的基本概念后，为了使学生加深理解，必然要进行一系列的练习。纵观所有的练习题，不外乎以下三类：（1）指出图中某一对角是同位角、内错角还是同旁内角；（2）指出图中某一个角的所有同位角、内错角和同旁内角；（3）指出图中所有的同位角、内错角和同旁内角。下面就分这三类，分别介绍如何利用“图形分离法”来求解。类型一：指出图中某一对角是同位角、内错角还是同旁内角。【例1】如图3，∠1与∠6是直线____与直线____被直线____所截而形成的___________角。这类题目相对来讲，是最简单的了。要得出正确答案，只要找到∠1与∠6的边，将图形分离出来，便会一目了然了。如图4，不难看出，这是属于“Z型”，于是，就可以得出答案：∠1与∠6是直线AC与直线EB（或EF）被直线AB（或AD）所截而形成的内错角。类型二：指出图中某一个角的所有同位角、内错角ABCDEF43128756图1BDEF15图284DBCAE62FCA73（F型）（Z型）（U型）35463546ADCBCABD图3MNABECFD1452396781011图4AEBC16第2页（共5页）和同旁内角。【例2】如图3，指出∠1的所有同位角、内错角和同旁内角。〖分析〗我们知道，“三线八角”中的同位角、内错角和同旁内角都有一个共同特征，那就是有一边共线，即每一对角都有两条边与截线在同一直线上。因此，∠1的两条边AD与AC都可能是“三线八角”中的截线，所以在解这道题时，要分两种情况考虑，一是把AD看成截线，二是把AC看成截线，相应的另一边则是被截线之一，再分别画出分离图形。如果把AD看成截线，则是直线AC、EF被直线AD所截（这时，以点C为顶点的角就不用管了），分离图形如图5，不难看出，∠1与∠8是同位角，∠1与∠6是内错角，∠1与∠2是同旁内角。如果把AC看成截线，则是直线AD、EF被直线AC所截（这时，以点B为顶点的角就不用管了），分离图形如图6，不难看出，∠1与∠9是内错角，∠1与∠3是同旁内角。综上所述，就可以得到以下解答：〖解〗∠1的同位角有：∠8∠1的内错角有：∠6、∠9∠1的同旁内角有：∠2、∠3类型三：指出图中所有的同位角、内错角和同旁内角。【例3】如图3，指出图中所有的同位角、内错角和同旁内角。〖分析〗解答这类题目的关键是找准截线，而且图中的每一条线（直线、身线或线段）都有可能成为截线，这要具体问题具体分析。一条线能否成为截线，就要看能否找到另两条线与这条线相交，并且有两个交点，如果能找到，则可以看成截线，否则，就不能看成截线。如图3中的直线MN，与AD、AC都相交，但只有一个交点A，这时，EF就不是截线了。图3中共有4条线，只有AD、AC、EF可以看成截线，即MN、EF被AD所截（图7）；AC、EF被AD所截（图8）；MN、EF被AC所截（图9）；AD、EF被AC所截（图10）；AD、AC被EF所截（图11），分别画出分离图形如下：图7MNABEFD5267810图5ABECFD12678图6ABECFD139图9MNAECF43911图8ABECFD12678第3页（共5页）以上各图中的同位角、内错角和同旁内角如下表所示：图7图8图9图10图11同位角∠5与∠7∠10与∠8∠1与∠8无无∠2与∠9∠6与∠3内错角∠5与∠2∠10与∠6∠1与∠6∠3与∠4∠11与∠9∠1与∠9∠8与∠3同旁内角∠5与∠6∠10与∠2∠1与∠2∠11与∠3∠4与∠9∠1与∠3∠2与∠3综上所述，就可以得到以下解答：〖解〗同位角有：∠5与∠7、∠10与∠8、∠1与∠8、∠2与∠9、∠6与∠3；内错角有：∠5与∠2、∠10与∠6、∠1与∠6、∠3与∠4、∠11与∠9、∠1与∠9、∠8与∠3；同旁内角有：∠5与∠6、∠10与∠2、∠1与∠2、∠11与∠3、∠4与∠9、∠1与∠3、∠2与∠3。“图形分离法”增强了学生对图形的认知力，消除了学生对几何题的恐惧感，能大大提高分析问题与解决问题的速度。一个难题之所以难，是因为做题者缺少解题思路，没有方法可依，一旦有了思路可循，难题自然也就不攻自破了，而“图形分离法”显然是解决部分几何难题的高手。学生有了这个武器后，再来解决象“三线八角”这样的问题可谓是如虎添翼，胜券在握了。图10ABECFD139图11ABECFD239678第4页（共5页）随堂练习1．填表：同位角内错角同旁内角基本图形结构特征形同字母共同特点公共顶点，有一条边。识别关键分清截线与被截线。（如何识别？）2．如图，（1）B与是内错角。（2）B与是同旁内角。（3）C与是内错角。3．如图，（1）1与2是角。（2）1与BAD是角。（3）1与7是角。（4）2与6是角。（5）3与4是角。（6）3与5是同位角吗？三、课堂练习1．如图，1与2是同位角吗？为什么？2．如图，在标有数字的所有角中，同位角、内错角、同旁内角，分别有哪些？反思：两角中共线的一边是截线，两角的另一边即为被截的两条直线。四、课堂作业A组1．如图，1的同位角有，内错角有，同旁内角有321ABCDE7635421DABCEF（2）21（1）2178654321第5页（共5页）2．如图，（1）同位角有。（2）内错角有。（3）同旁内角有。3．如图，同位角：与内错角：与同旁内角：B组1．如图，O为直线AB上一点，3BOCAOC，OC平分AOD。（1）求AOC的度数；（2）推测OD与AB的位置关系。2．如图，已知点O在直线AB上，OFOC，13BOCBOD，2AOFCOD。求AOC的大小。321DBCA2题65413721题43213题21BADCOFABOCD