三角函数专题复习

三角函数专题复习（一）1.三角函数（约16课时）（1）任意角、弧度制：了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化。（2）三角函数①借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。②借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式（的正弦、余弦、正切），能画出的图象，了解三角函数的周期性。③借助图象理解正弦函数、余弦函数在，正切函数在上的性质（如单调性、最大和最小值、图象与x轴交点等）。④理解同角三角函数的基本关系式：⑤结合具体实例，了解的实际意义；能借助计算器或计算机画出的图象，观察参数A，ω，对函数图象变化的影响。⑥会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型。一、要点●疑点●考点1、任意角和弧度制：①、任意角：正角（按逆时针方向旋转形成的角）、负角（按顺时针方向旋转形成的角）、零角（没有作任何旋转的角）；②、象限角：角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的正半轴重合，那么角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角；【注意】：如果角的终边落在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限。③、a：终边相同的角的集合：S={β︱β=α+k·360o，k∈Z}；b：终边在x轴上的角的集合：S={β︱β=k•180o，k∈Z}；c：终边在y轴上的角的集合：S={β︱β=90o+k·180o，k∈Z}；d：终边在坐标轴上的角的集合：S={β︱β=k·90o，k∈Z}；e：终边在直线y=x上的角的集合：S={β︱β=45o+k•180o，k∈Z}④、角度制与弧度制：用度作为单位来度量角的单位制叫着角度制；用实数作为单位来度量角的单位制叫着弧度制；把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫着1弧度的角，用符号rad表示，读着弧度。如果半径为r的圆的圆心角α所对的弧长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是︱α︱=l/r，其中α的正负由角α的终边的旋转方向决定。角度制与弧度制的转化只要通过180o=πrad就可以实现。【注意】：今后用弧度制表示角时，“弧度”二字或“rad”通常略去不写，而只写该角所对应的弧度数。⑤、扇形的相关公式：其中R是半径，l是弧长，no是角度制圆心角，α是弧度制圆心角，S是扇形的面积。l=nπR/180=αR；S=nπR2/360=(1/2)αR2=(1/2)lR。2、任意角的三角函数：①、其中x、y分别为任意点的横、纵坐标，r为任意点到原点的距离。sinα=y/r；cosα=x/r；tanα=y/x；cotα=x/y；cscα=r/y；secα=r/x；②、单位圆：在直角坐标系中，我们称以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆；③、三角函数线：A：有向线段：像OM、OP这种被看作带有方向的线段，叫做有向线段；B：三角函数线：我们把这三条与单位圆有关的有向线段MP、OM、AT，分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数线。3、同角三角函数的八大关系：①、sinαcscα=1、cosαsecα=1、tanαcotα=1；②、sin2α+cos2α=1、sec2α=tan2α+1、csc2α=cot2α+1；③、tanα=sinα/cosα、cotα=cosα/sinα。4、诱导公式：奇变偶不变，符号看象限。①、2kπ±α，π±α的三角函数值等于α的同名三角函数值，前面加上把α看成锐角时原函数的符号。②、π/2±α，3π/2±α的三角函数值等于α的余角的三角函数值，前面加上把α看成锐角时原函数的符号。③、“奇变偶不变，符号看象限”释义：所谓“奇偶”是相对与π/2的倍数而言的，例如：π是π/2的2倍就是“偶”、3π/2是π/2的3倍就是“奇”；所谓“变”与“不变”是相对于函数的名而言的，例如：原来是“sinα”现在是“cosα”就是“变”、原来是“sinα”现在还是“sinα”就是“不变”；所谓的“符号”是指变化后三角函数前面符号的正负；所谓“看象限”是指把α看成锐角时的新的角度对应的象限，例如：原来为“α”，把“α”看成是锐角，这时“α”属于第一象限，则“π－α”就属于第二象限、“3π/2－α”就属于第三象限、“－α”就属于第四象限。5、一般函数图象变换：⑴、位移变换：①、上下平移：“上加下减”，例如：y=f(ωx)向上平移2个单位，则由y=f(ωx)→y=f(ωx)+2，此为“上加”；y=f(ωx)向下平移2个单位，则由y=f(ωx)→y=f(ωx)-2，此为“下减”。②、左右平移：“左加右减”，例如：y=f(ωx)向左平移2个单位，则由y=f(ωx)→y=f[ω(x+2)]，此为“左加”，特别注意：不是由y=f(ωx)→y=f(ωx+2)；y=f(ωx)向右平移2个单位，则由y=f(ωx)→y=f[ω(x-2)]，此为“右减”，特别注意：不是由y=f(ωx)→y=f(ωx-2)。⑵、伸缩变换：①、上下伸缩：点的纵坐标变为原来的A倍，横坐标不变，由y=f(x)→y=Af(x)，当A＞1时为向“上伸”，当0＜A＜1时，为“下缩”；②、左右伸缩：点的横坐标变为原来的1/ω倍，纵坐标不变，由y=f(x)→y=f(ωx)，当0＜ω＜1时为“左伸”，当ω＞1时为“右缩”。6、三角函数的图象和性质：三角函数性质y=sinxy=cosx图象定义域RR值域[-1，1][-1，1]对称轴x=kπ+1/2π(k∈Z)x=kπ(k∈Z)对称点(kπ，0)(k∈Z)(kπ+1/2π，0)(k∈Z)奇偶性奇偶周期性T=2πT=2π单调性[2kπ-1/2π，2kπ+1/2π](k∈Z)↗[2kπ+1/2π，2kπ+3/2π](k∈Z)↙[2kπ-π，2kπ](k∈Z)↗[2kπ，2kπ+π](k∈Z)↙三角函数性质y=tanxy=cotx图象定义域{x∣x∈R且x≠kπ+1/2π，k∈Z}{x∣x∈R且x≠kπ，k∈Z}值域RR对称点(kπ，0)(k∈Z)(kπ+1/2π，0)(k∈Z)奇偶性奇奇周期性T=πT=π单调性（-1/2π+kπ，1/2π+kπ），（k∈Z）↗（kπ，kπ+π），（k∈Z）↙7、y=Asin(ωx+ψ)的图象与性质：⑴、y=sinx的图象变换：①、y=sinx→y=Asinx（振幅变换：横坐标不变，纵坐标变到原来的A倍）；②、y=sinx→y=sinωx（周期变换：横坐标变到原来的1/ω倍，纵坐标不变）；③、y=sinx→y=sin(x+ψ)(相位变换：左右平移|ψ|个单位，遵循“左加右减”)；⑵、y=sinx到y=Asin(ωx+ψ)的图象变换：①、y=sinx→y=sin(x+ψ)→y=sin(ωx+ψ)→y=Asin(ωx+ψ)；[相位变换:(平移|ψ|个单位)→周期变换：(横坐标变到原来的1/ω倍)→振幅变换:(纵坐标变到原来的A倍)]②、y=sinx→y=sin(x+ψ)→y=Asin(x+ψ)→y=Asin(ωx+ψ)；[相位变换:(平移|ψ|个单位)→振幅变换:(纵坐标变到原来的A倍)→周期变换：(横坐标变到原来的1/ω倍)]③、y=sinx→y=sinωx→y=sin(ωx+ψ)→y=Asin(ωx+ψ)；[周期变换：(横坐标变到原来的1/ω倍)→相位变换:(平移|ψ|/ω个单位)→振幅变换:(纵坐标变到原来的A倍)]④、y=sinx→y=sinωx→y=Asinωx→y=Asin(ωx+ψ)；[周期变换：(横坐标变到原来的1/ω倍)→振幅变换:(纵坐标变到原来的A倍)→相位变换:(平移|ψ|/ω个单位)]⑤、y=sinx→y=Asinx→y=Asin(x+ψ)→y=Asin(ωx+ψ)；[振幅变换:(纵坐标变到原来的A倍)→相位变换:(平移|ψ|个单位)→周期变换：(横坐标变到原来的1/ω倍)]⑥、y=sinx→y=Asinx→y=Asinωx→y=Asin(ωx+ψ)。[振幅变换:(纵坐标变到原来的A倍)→周期变换：(横坐标变到原来的1/ω倍)→相位变换:(平移|ψ|/ω个单位)]⑶、y=Asin(ωx+ψ)的相关概念：①、振幅：y=Asin(ωx+ψ)的系数A称为该函数的振幅；②、周期：y=Asin(ωx+ψ)的周期T为T=2π/ω；③、频率：y=Asin(ωx+ψ)的频率f为f=1/T=ω/2π；④、相位：y=Asin(ωx+ψ)的相位为ωx+ψ；⑤、初相：y=Asin(ωx+ψ)在x等于0时的相位ψ为初相。8、周期函数的相关概念：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)就叫着周期函数。非零常数T叫着这个函数的周期。周期函数的周期不止一个，如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期。例如正弦函数是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π。9、函数y=|sinx|、y=|cosx|、y=sin|x|的图象与性质：三角函数y=|sinx|y=|cosx|y=sin|x|性质图象定义域RRR值域[0，1][0，1][-1，1]对称轴x=k/2π(k∈Z)x=k/2π(k∈Z)x=kπ+1/2π与x=0奇偶性偶偶偶周期性T=πT=π非周期函数单调性[kπ，kπ+1/2π](k∈Z)↗[kπ+1/2π，kπ+π](k∈Z)↙[kπ，kπ+1/2π](k∈Z)↙[kπ+1/2π，kπ+π](k∈Z)↗单调性比较复杂，考查的可能性非常小，结合图象具体把握二、典型例题●深度分析1、设cos2x+4sinx-a=0(a，x∈R)，则a的取值范围是___________。2、y=3sin(2x+π／6)的图像的一条对称轴方程是（）（A）、x=0(B)、x=π/6(C)、x=-π/6（D）x=π/33、方程ln|x|=sinx的解的个数是（）（Ａ）０个（Ｂ）１个（Ｃ）２个（Ｄ）无穷多个4、已知函数y=a+bcos(2x-p/4)的最大值是5，最小值是1，求函数y=3bcosax+5的最大值。5、求函数y=sin(3x+p/4)的图象经过向右平移p/3个单位，再向上平移1个单位后所得图象的函数解析式是什么？6、求下列函数的定义域：的定义域求定义在）)21(cos],41,0[)()51tan)32cos(ln4)y32sin22tan)3)23(coslogsin21)2tan2coslog2125.02xfxfxxxxyxxyxxy7、求下列函数的值域：]2,2[,cossincossin)5coscossin2sin3)4cossin32cos21)31sincos3)2]2,2[,2cossin122xxxxxyxxxxyxxxyxxyxxxy）8、?02cossin22有解的方程为何值时，关于实数mxxxm9、)(sin2cos221)(2agxxaaxf最小值记为的最值值，并求此时的）求使（表达式）写出（)(21)(2)(1xfaagag10、如图，表示电流强度I与时间t的关系式),0,0)(sin(AtAI在一个周期内的图象⑴试根据图象写出)sin(tAI的解析式；⑵为了使)sin(tAI中t在任意一段1001秒的时内I能同时取最大值|A|和最小值－|A|，那么正整数的最小值为多少？三角函数专题复习（二）一、要点●疑点●考点1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式：①、公式一：sin(а+β)=sinаcosβ+cosаsinβ；公式二：sin(а-β)=sinаcosβ-cosаsinβ；②、公式三：cos(а+β)=cosаcosβ-sinаsinβ；公式四：cos(а-β)=cosаcosβ+sinаsinβ；③、公式五：tan(а+β)=(tanа+tanβ)/(1-tanаtanβ)；公式六：tan(а-β)=(tanа-tanβ)/(1+tanаtanβ)。2、二倍角的正弦、余弦、正切公式：①、sin2а=2sinаcosа；②、cos2а=cos2а-sin2а=2cos2а