三角函数的图象与性质(全)附答案及作业题

三角函数的图象与性质1．三角函数的图象和性质函数性质y＝sinxy＝cosxy＝tanx定义域RR{x|x≠kπ＋π2，k∈Z}图象值域[－1,1][－1,1]R对称性对称轴：x＝kπ＋π2(k∈Z)对称中心：(kπ，0)(k∈Z)对称轴：x＝kπ(k∈Z)对称中心：kπ＋π2，0k∈Z无对称轴对称中心：kπ2，0(k∈Z)周期2π2ππ单调性单调增区间2kπ－π2，2kπ＋π2(k∈Z)；单调减区间2kπ＋π2，2kπ＋3π2(k∈Z)单调增区间[2kπ－π，2kπ](k∈Z)；单调减区间[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)单调增区间kπ－π2，kπ＋π2(k∈Z)奇偶性奇偶奇方法与性质(1)周期性y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为π|ω|.(2)奇偶性三角函数中奇函数一般可化为y＝Asinωx或y＝Atanωx，而偶函数一般可化为y＝Acosωx＋b的形式．(3)求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．(4)求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目：①形如y＝asinx＋bcosx＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再求最值(值域)；②形如y＝asin2x＋bsinx＋c的三角函数，可先设sinx＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)；③形如y＝asinxcosx＋b(sinx±cosx)＋c的三角函数，可先设t＝sinx±cosx，化为关于t的二次函数求值域(最值)．考向一三角函数的定义域与值域例1、(1)求函数y＝lgsin2x＋9－x2的定义域．(2)求函数y＝cos2x＋sinx|x|≤π4的最大值与最小值．变式训练1、(1)求函数y＝sinx－cosx的定义域．(2)已知函数f(x)＝cos2x－π3＋2sinx－π4·sinx＋π4，求函数f(x)在区间－π12，π2上的最大值与最小值．考向二三角函数的奇偶性与周期性例2、函数y＝2cos2x－π4－1是()．A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为π2的奇函数D．最小正周期为π2的偶函数变式训练2、函数f(x)＝(sinx－cosx)sinx，x∈R，则f(x)的最小正周期是_______考向三三角函数的单调性例3、已知f(x)＝sinx＋sinπ2－x，x∈[0，π]，求f(x)的单调递增区间．变式训练3、函数f(x)＝sin－2x＋π3的单调减区间为______．考向四三角函数的对称性例4、(1)函数y＝cos2x＋π3图象的对称轴方程可能是()．A．x＝－π6B．x＝－π12C．x＝π6D．x＝π12(2)若0＜α＜π2，g(x)＝sin2x＋π4＋α是偶函数，则α的值为________．变式训练4、(1)y＝2sin(3x＋φ)||φ＜π2的一条对称轴为x＝π12，则φ＝_______(2)函数y＝cos(3x＋φ)的图象关于原点成中心对称图形．则φ＝________.本节重难点——利用三角函数的性质求解参数问题一、根据三角函数的单调性求解参数例1、已知函数f(x)＝sinωx＋π3(ω＞0)的单调递增区间为kπ－5π12，kπ＋π12(k∈Z)，单调递减区间为kπ＋π12，kπ＋7π12(k∈Z)，则ω的值为________．二、根据三角函数的奇偶性求解参数例2、f(x)＝cos(3x＋φ)－3sin(3x＋φ)为偶函数，则φ可以取的一个值为()A.π6B.π3C．－π6D．－π3课堂检测1．函数y＝cosx＋π3，x∈R()．A．是奇函数B．是偶函数C．既不是奇函数也不是偶函数D．既是奇函数又是偶函数2．函数y＝tanπ4－x的定义域为()．A.xx≠kπ－π4，k∈ZB.xx≠2kπ－π4，k∈ZC.xx≠kπ＋π4，k∈ZD.xx≠2kπ＋π4，k∈Z3．设函数f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期为π，且f(－x)＝f(x)，则()．A．f(x)在0，π2单调递减B．f(x)在π4，3π4单调递减C．f(x)在0，π2单调递增D．f(x)在π4，3π4单调递增4．y＝sinx－π4的图象的一个对称中心是()．A．(－π，0)B.－3π4，0C.3π2，0D.π2，05．函数f(x)＝cos2x＋π6的最小正周期为________．考向一三角函数的定义域与值域例1、(1)求函数y＝lgsin2x＋9－x2的定义域．(2)求函数y＝cos2x＋sinx|x|≤π4的最大值与最小值．[审题视点](1)由题干知对数的真数大于0，被开方数大于等于零，再利用单位圆或图象求x的范围．(2)将余弦化为正弦，再换元处理，转化为关于新元的一元二次函数解决．解(1)依题意sin2x＞0，9－x2≥0⇒kπ＜x＜kπ＋π2，k∈Z，－3≤x≤3，⇒x－3≤x＜－π2，或0＜x＜π2.(2)设sinx＝t，则t∈－22，22.∴y＝1－sin2x＋sinx＝－t－122＋54，t∈－22，22，故当t＝12，即x＝π6时，ymax＝54，当t＝－22，即x＝－π4时，ymin＝1－22.(1)求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．(2)求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目：①形如y＝asinx＋bcosx＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再求最值(值域)；②形如y＝asin2x＋bsinx＋c的三角函数，可先设sinx＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)；③形如y＝asinxcosx＋b(sinx±cosx)＋c的三角函数，可先设t＝sinx±cosx，化为关于t的二次函数求值域(最值)．变式训练1、(1)求函数y＝sinx－cosx的定义域．(2)已知函数f(x)＝cos2x－π3＋2sinx－π4·sinx＋π4，求函数f(x)在区间－π12，π2上的最大值与最小值．解(1)要使函数有意义，必须使sinx－cosx≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0,2π]上y＝sinx和y＝cosx的图象，如图所示．在[0,2π]内，满足sinx＝cosx的x为π4，5π4，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以定义域为x2kπ＋π4≤x≤2kπ＋5π4，k∈Z.(2)由题意得：f(x)＝12cos2x＋32sin2x＋(sinx－cosx)·(sinx＋cosx)＝12cos2x＋32sin2x＋sin2x－cos2x＝12cos2x＋32sin2x－cos2x＝sin2x－π6.又x∈－π12，π2，∴2x－π6∈－π3，5π6，∴sin2x－π6∈－32，1.故当x＝π3时，f(x)取最大值1；当x＝－π12时，f(x)取最小值－32.考向二三角函数的奇偶性与周期性例2、函数y＝2cos2x－π4－1是()．A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为π2的奇函数D．最小正周期为π2的偶函数[审题视点]先化简为一个角的三角函数，再确定周期和奇偶性．解析y＝2cos2x－π4－1＝cos2x－π2＝sin2x为奇函数，T＝2π2＝π.答案A求解三角函数的奇偶性和周期性时，一般先要进行三角恒等变换，把三角函数式化为一个角的一个三角函数，再根据函数奇偶性的概念、三角函数奇偶性规律、三角函数的周期公式求解．变式训练2、函数f(x)＝(sinx－cosx)sinx，x∈R，则f(x)的最小正周期是_______解析由f(x)＝(sinx－cosx)sinx＝sin2x－sinxcosx＝1－cos2x2－12sin2x＝－22sin2x＋π4＋12.∴最小正周期为π.答案π考向三三角函数的单调性例3、已知f(x)＝sinx＋sinπ2－x，x∈[0，π]，求f(x)的单调递增区间．[审题视点]化为形如f(x)＝Asin(x＋φ)的形式，再求单调区间．解f(x)＝sinx＋sinπ2－x＝sinx＋cosx＝2sinx＋π4.由－π2＋2kπ≤x＋π4≤π2＋2kπ，k∈Z，得：－3π4＋2kπ≤x≤π4＋2kπ，k∈Z，又x∈[0，π]，∴f(x)的单调递增区间为0，π4.求形如y＝Asin(ωx＋φ)＋k的单调区间时，只需把ωx＋φ看作一个整体代入y＝sinx的相应单调区间内即可，若ω为负则要先把ω化为正数．变式训练3、函数f(x)＝sin－2x＋π3的单调减区间为______．解析f(x)＝sin－2x＋π3＝－sin2x－π3，它的减区间是y＝sin2x－π3的增区间．由2kπ－π2≤2x－π3≤2kπ＋π2，k∈Z，得：kπ－π12≤x≤kπ＋5π12，k∈Z.故所求函数的减区间为kπ－π12，kπ＋5π12(k∈Z)．答案kπ－π12，kπ＋5π12(k∈Z)考向四三角函数的对称性例4、(1)函数y＝cos2x＋π3图象的对称轴方程可能是()．A．x＝－π6B．x＝－π12C．x＝π6D．x＝π12(2)若0＜α＜π2，g(x)＝sin2x＋π4＋α是偶函数，则α的值为________．[审题视点](1)对y＝cosx的对称轴为x＝kπ，把“ωx＋φ”看作一个整体，即可求．(2)利用π4＋α＝kπ＋π2(k∈Z)，求解限制范围内的α.解析(1)令2x＋π3＝kπ(k∈Z)，得x＝kπ2－π6(k∈Z)，令k＝0得该函数的一条对称轴为x＝－π6.本题也可用代入验证法来解．(2)要使g(x)＝cos2x＋π4＋α为偶函数，则须π4＋α＝kπ＋π2，k∈Z，α＝kπ＋π4，k∈Z，∵0＜α＜π2，∴α＝π4.答案(1)A(2)π4正、余弦函数的图象既是中心对称图形，又是轴对称图形．正切函数的图象只是中心对称图形，应熟记它们的对称轴和对称中心，并注意数形结合思想的应用．变式训练4、(1)y＝2sin(3x＋φ)||φ＜π2的一条对称轴为x＝π12，则φ＝_______(2)函数y＝cos(3x＋φ)的图象关于原点成中心对称图形．则φ＝________.解析(1)由y＝sinx的对称轴为x＝kπ＋π2(k∈Z)，即3×π12＋φ＝kπ＋π2(k∈Z)，得φ＝kπ＋π4(k∈Z)，又|φ|＜π2，∴k＝0，故φ＝π4.(2)由题意，得y＝cos(3x＋φ)是奇函数，∴φ＝kπ＋π2，k∈Z.答案(1)π4(2)kπ＋π2，k∈Z本节重难点——利用三角函数的性质求解参数问题一、根据三角函数的单调性求解参数例1、已知函数f(x)＝sinωx＋π3(ω＞0)的单调递增区间为kπ－5π12，kπ＋π12(k∈Z)，单调递减区间为kπ＋π12，kπ＋7π12(k∈Z)，则ω的值为________．二、根据三角函数的奇偶性求解参数例2、f(x)＝cos(3x＋φ)－3sin(3x＋φ)为偶函数，则φ可以取的一个值为()