三角形中线一条性质的探究

三角形中线一条性质的探究、应用与拓展2011-01-0317:18:50|分类：我的论文|标签：|字号大中小订阅性质：平行于三角形一边的直线被另两边（或另两边的延长线）所截得的线段被这边上的中线（或其延长线）平分。如图，△ABC中，AD平分BC，EF∥BC，求证：AD平分EF.证明：∵EF∥BC∴EG∶BD=AG∶AD；FG∶CD=AG∶AD∴EG∶BD=FG∶CD∵BD=CD∴EG=FG.结论得证.我们不妨将该结论称为“三角形中线性质定理”.这条性质的运用，现举例如下：例1.△ABC中，DE∥BC，CD交BE于F，求证：AF平分DE和BC.分析：根据“三角形中线性质定理”，结论中只需证得其一，即可得其二.证明：过B作BG∥DC，交AF延长线于点G，连CG.∵BG∥DC，DE∥BC∴AD∶AB=AF∶AG；AD∶AB=AE∶AC∴AF∶AG=AE∶AC\∴CG∥BE∴BGCF为平行四边形∴BN=CN∵DE∥BC∴DM=EM.例2如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B+∠C=90°，M、N分别为AD、BC的中点，求证：MN=1/2(BC-AD).证明：延长BA、CD交于点E，连接EN.∵BN=CN，AD∥BC，据“三角形中线性质定理”，EN平分AD，即EN过点M.∵∠B+∠C=90°，∴EN=1/2BC.同理，Rt△EAD中，EM=1/2AD.∴MN=1/2(BC-AD).例3如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，E为CD中点，AE延长线交BC于点F，FG⊥AB于G，求证：FG2=FC·FB.证明：延长GF与AC延长线交于点H.∵CD⊥AB，FG⊥AB∴CD∥FG∵CE=DE∴FG=FH∵∠ACB=90°∴∠HCF=∠FGB=90°∵∠HFC=∠BFG∴△HFC∽△BFG∴FG∶FC=FB∶FH∴FG·FH=FC·FB∴FG2=FC·FB.显然，利用比例性质，以上“三角形中线性质定理”可作如下推广(如图所示)：1.△ABC中，EF∥BC，若BD∶DC=k，则EG∶FG=k(如图1).2．△ABC中，GH∥BC，若BD∶DE∶EF∶…=a∶b∶c∶…，则GM∶MN∶NP∶…=a∶b∶c∶…(如图2).