【复习参考】高三数学(理)考点巩固训练27等差数列及其前n项和

-1-考点巩固训练27等差数列及其前n项和一、选择题1．(湖南长沙一中月考)等差数列{an}的前n项和为Sn，且S7＝7，则a2＋a6＝()．A．2B.72C.92D.1142．等差数列{an}的前n项和为Sn(n＝1,2,3，…)，若当首项a1和公差d变化时，a5＋a8＋a11是一个定值，则下列选项中为定值的是()．A．S17B．S18C．S15D．S143．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若OB→＝a2OA→＋a2009OC→，且A，B，C三点共线(该直线不过原点O)，则S2010＝()．A．2010B．1005C．22010D．2－20104．等差数列{an}中，Sn是其前n项和，a1＝－2011，S20092009－S20072007＝2，则S2011的值为()．A．－2010B．2010C．－2011D．20115．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为()．A．1升B．6766升C．4744升D．3733升6．等差数列{an}中，a1＝a3＋a7－2a4＝4，则anan＋1＋12n2＋3n的值为整数时n的个数为()．A．4B．3C．2D．17．已知函数f(x)＝cosx，x∈(0,2π)有两个不同的零点x1，x2，且方程f(x)＝m有两个不同的实根x3，x4，若把这四个数按从小到大排列构成等差数列，则实数m＝()．A．12B．－12C．32D．－32二、填空题8．已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和，若a1＝12，S2＝a3，则a2＝__________，Sn＝__________.9．已知{an}满足a1＝a2＝1，an＋2an＋1－an＋1an＝1，则a6－a5的值为__________．10．等差数列的前n项和为Sn，若S7－S3＝8，则S10＝__________；一般地，若Sn－Sm＝a(n＞m)，则Sn＋m＝__________.三、解答题11．已知数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝2an＋m·2n(m是与n无关的常数且m≠0)．(1)设bn＝an2n，证明数列{bn}是等差数列，并求an；(2)若数列{an}是单调递减数列，求m的取值范围．12.a2，a5是方程x2－12x＋27＝0的两根，数列{an}是公差为正的等差数列，数-2-列{bn}的前n项和为Tn，且Tn＝1－12bn(n∈N*)．(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)记cn＝anbn，求数列{cn}的前n项和Sn.-3-参考答案一、选择题1．A解析：∵S7＝7(a1＋a7)2＝7(a2＋a6)2＝7，∴a2＋a6＝2.2．C解析：由a5＋a8＋a11＝3a1＋21d＝3(a1＋7d)＝3a8是定值，可知a8是定值，所以S15＝15(a1＋a15)2＝15a8是定值．故选C.3．B解析：由于A，B，C三点共线，及OBuuur＝a2OAuur＋a2009OCuuur，∴a2＋a2009＝1，S2010＝2010(a1＋a2010)2＝2010(a2＋a2009)2＝1005.4．C解析：Snn＝na1＋n(n－1)2dn＝a1＋(n－1)d2，∴Snn为以a1为首项，以d2为公差的等差数列．∴S20092009－S20072007＝2×d2＝2.∴d＝2.∴S2011＝2011×(－2011)＋2011×20102×2＝－2011.故选C.5．B解析：设最上面一节容积为a，容积依次增大d，由题意知，4a1＋6d＝3和3a1＋21d＝4，可求得a1＝1322，d＝766.故a5＝6766.故选B.6．C解析：a3＋a7－2a4＝2d＝4，∴d＝2.∴an＝2n＋2.∴anan＋1＋12n2＋3n＝(2n＋2)(2n＋4)＋12n2＋3n＝4＋20n(n＋3).当n＝1,2时，符合题意．7．D解析：若m＞0，则公差d＝3π2－π2＝π，显然不成立，所以m＜0，则公差d＝3π2－π23＝π3.-4-所以m＝cosπ2＋π3＝－32，故选D.二、填空题8．114(n2＋n)解析：由a1＝12，S2＝a3得，a1＋a2＝a3，即a3－a2＝12，∴{an}是一个以a1＝12为首项，以12为公差的等差数列．∴an＝12＋(n－1)×12＝12n，∴a2＝1，Sn＝n212＋12n＝14n2＋14n＝14(n2＋n)．9．96解析：由an＋2an＋1－an＋1an＝1可知，an＋1an是等差数列，公差为1，其首项为a2a1＝1，∴an＋1an＝n.累乘得an＝(n－1)(n－2)…3·2·1(n≥2)，∴a6－a5＝120－24＝96.10．20n＋mn－m·a解析：设等差数列的首项为a1，公差为d，则S7－S3S10＝4a1＋18d10a1＋45d＝25＝8S10S10＝20；同理Sn－SmSn＋m＝(n－m)·a1＋n＋m－12d(n＋m)a1＋(n＋m)(n＋m－1)2d＝n－mn＋m＝aSn＋mSn＋m＝n＋mn－m·a.三、解答题11．解：(1)an＋1＝2an＋m·2n，-5-同除2n＋1得an＋12n＋1＝an2n＋m2，即bn＋1＝bn＋m2.∴数列{bn}是首项为12，公差为m2的等差数列．∴bn＝12＋(n－1)m2＝mn＋1－m2.∵bn＝an2n，∴an＝bn·2n＝2n－1(mn＋1－m)．(2)由(1)得：an＝2n－1(mn＋1－m)，an＋1－an＝[m(n＋1)＋1－m]·2n－(mn＋1－m)·2n－1＝2n－1(mn＋1＋m)，∵数列{an}是单调递减数列，∴对任意的正整数n，不等式2n－1(mn＋1＋m)＜0恒成立，即m＜－1n＋1恒成立m＜－1n＋1min＝－12.∴m＜－12.12．解：(1)由a2＋a5＝12，a2a5＝27，且公差d＞0，得a2＝3，a5＝9，∴d＝a5－a23＝2，a1＝1.∴an＝2n－1(n∈N*)．在Tn＝1－12bn中，令n＝1，得b1＝23，当n≥2时，Tn＝1－12bn，Tn－1＝1－12bn－1，两式相减得bn＝12bn－1－12bn，∴bnbn－1＝13(n≥2)．∴bn＝23·13n－1＝23n(n∈N*)．(2)cn＝(2n－1)·23n＝4n－23n，∴Sn＝213＋332＋533＋…＋2n－13n，Sn3＝2132＋333＋…＋2n－33n＋2n－13n＋1，∴23Sn＝213＋2132＋133＋…＋13n－2n－13n＋1＝213＋2×191－13n－11－13－2n－13n＋1-6-＝213＋13－13n－2n－13n＋1＝43－4n＋43n＋1.∴Sn＝2－2n＋23n(n∈N*)．