上海2013届高三数学一轮复习单元训练圆锥曲线与方程

-1-上海交通大学附中2013届高三数学一轮复习单元训练：圆锥曲线与方程本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．椭圆xy的离心率是()A．B．C．D．【答案】A2．已知直线)22(:xkyl交椭圆9922yx于A、B两点，若2AB，则k的值为()A．．33B．33C．33D．3【答案】C3．函数22yxx在区间,ab上的值域是1,3，则点(,)ab的轨迹是图中的()A．线段AB和线段ADB．线段AB和线段CDC．线段AD和线段BCD．线段AC和线段BD【答案】A4．若点A的坐标为(3,2)，F是抛物线xy22的焦点，点M在抛物线上移动时，使MAMF取得最小值的M的坐标为()A．0,0B．1,21C．2,1D．2,2【答案】D5．如果222kyx表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是()A．,0B．2,0C．,1D．1,0-2-【答案】D6．抛物线24yx的准线方程为()A．2xB．2xC．1xD．1x【答案】D7．已知抛物线22(0)ypxp上一点(1,)(0)Mmm到其焦点的距离为5，双曲线221xya的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数a的值是()A．19B．125C．15D．13【答案】A8．设x1，x2R，常数a0，定义运算“○+”x1○+x2＝(x1＋x2)2－(x1－x2)2，若x≥0，则动点P(x，x○+a)的轨迹是()A．圆B．椭圆的一部分C．双曲线的一部分D．抛物线的一部分【答案】D9．已知F是椭圆12222byax(ab0)的左焦点,P是椭圆上的一点,PF⊥x轴,OP∥AB(O为原点),则该椭圆的离心率是()A．22B．42C．21D．23【答案】A10．若点O和点(2,0)F分别是双曲线2221(a0)axy的中心和左焦点,点P为双曲线右支上的一点，并且P点与右焦点'F的连线垂直x轴，则线段OP的长为()A．313B．339C．37D．321【答案】A11．椭圆221259xy=1上一点P到一个焦点的距离为6,则P到另一个焦点的距离为()A．10B．6C．5D．4【答案】D-3-12．设抛物线28yx上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是()A．4B．6C．8D．12【答案】B第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．在平面直角坐标系xOy中，已知焦点为F的抛物线y2＝2x上的点P到坐标原点O的距离为15，则线段PF的长为．【答案】7214．设M是把坐标平面上的点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标伸长为原来的3倍的伸压变换，则圆122yx在M的作用下的新曲线的方程是【答案】221169xy15．双曲线122ymx的虚轴长是实轴长的2倍，则m.【答案】416．已知双曲线的方程为22221(0,0)xyabab，过左焦点F1作斜率为33的直线交双曲线的右支于点P，且y轴平分线段F1P，则双曲线的离心率是【答案】3三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．已知抛物线D的顶点是椭圆13422yx的中心，焦点与该椭圆的右焦点重合.(Ⅰ）求抛物线D的方程;(Ⅱ）已知动直线l过点0,4P,交抛物线D于A、B两点.i若直线l的斜率为1,求AB的长;ii是否存在垂直于x轴的直线m被以AP为直径的圆M所截得的弦长恒为定值？如果存在，求出m的方程；如果不存在，说明理由.【答案】(Ⅰ）由题意,可设抛物线方程为022ppxy.由13422ba,得1c.抛物线的焦点为错误！不能通过编辑域代码创建对象。,错误！不能通过编辑域代码创建对象。.抛物线D的方程为xy42.(Ⅱ）设11,yxA,22,yxB.i直线l的方程为：4xy,联立xyxy442,整理得:016122xxAB=2122124[)11(xxxx104.-4-(ⅱ)设存在直线axm:满足题意,则圆心2,2411yxM,过M作直线ax的垂线,垂足为E,设直线m与圆M的一个交点为G.可得:,222MEMGEG即222MEMAEG=2121212444axyx=21212121444441axaxxy=211144axaxx=2143aaxa当3a时,32EG,此时直线m被以AP为直径的圆M所截得的弦长恒为定值32.因此存在直线3:xm满足题意18．已知点3(0,)2F，动圆P经过点F且和直线32y相切，记动圆的圆心P的轨迹为曲线W。(1）求曲线W的方程；(2）四边形ABCD是等腰梯形，,AB在直线1y上，,CD在x轴上，四边形ABCD的三边,,BCCDDA分别与曲线W切于,,PQR，求等腰梯形ABCD的面积的最小值。【答案】（1）动圆圆心P到F的距离等于P到12y的距离，则P点的轨迹是抛物线，且2p，所以26xy为双曲线W的方程。(2）设(,)Pxy，由211,'63yxyx，可知BC方程；1111()3yyxxx令211111110,(),,632yxxxxxx即11(,0)2Cx令1y，2211111161111(),()6363xxxxxxxx，22111116622xxxxxx，即2116(,1)2xBx所以梯形ABCD的面积2211111166111(22)1()22222xxSxxxx1111116161()(2)21223222xxxxx当且仅当，1162xx即13x时，S有最小值2319．过点C(0，1)的椭圆22221(0)xyabab的离心率为32，椭圆与x轴交于两点(,0)Aa、-5-(,0)Aa，过点C的直线l与椭圆交于另一点D，并与x轴交于点P，直线AC与直线BD交于点Q．(I）当直线l过椭圆右焦点时，求线段CD的长；(Ⅱ）当点P异于点B时，求证：OPOQ为定值．【答案】（Ⅰ）由已知得31,2cba，解得2a，所以椭圆方程为2214xy．椭圆的右焦点为(3,0)，此时直线l的方程为313yx，代入椭圆方程得27830xx，解得12830,7xx，代入直线l的方程得1211,7yy，所以831(,)77D，故2283116||(0)(1)777CD．(Ⅱ）当直线l与x轴垂直时与题意不符．设直线l的方程为11(0)2ykxkk且．代入椭圆方程得22(41)80kxkx．解得12280,41kxxk，代入直线l的方程得2122141,41kyyk，所以D点的坐标为222814(,)4141kkkk．又直线AC的方程为12xy，又直线BD的方程为12(2)24kyxk，联立得4,21.xkyk因此(4,21)Qkk，又1(,0)Pk．所以1(,0)(4,21)4OPOQkkk．故OPOQ为定值．20．已知,MAMB是曲线C：24xy的两条切线，其中,AB是切点，(I）求证：,,AMB三点的横坐标成等差数列；(II）若直线AB过曲线C的焦点F，求MAB面积的最小值；【答案】（1）12yx，设11(,)Axy、22(,)Bxy；直线MA的方程为1111()2yyxxx①直线MB的方程为2221()2yyxxx②①-②得：点M的横坐标122xxx，所以点,,AMB的横坐标成等差数列；-6-(2）焦点F的坐标为（0，1），显然直线AB的斜率是存在的；设直线AB的方程为1ykx将直线AB的方程代入214yx得：2440xkx(0恒成立）24(1)ABk，且2Mxk又由①②得：12114Myxx，从而点M到直线AB的距离221dk，3224(1)4MABSk当且仅当0k时取等号；故MAB面积的最小值为421．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线的顶点在原点，焦点为F（1，0）．过抛物线在x轴上方的不同两点A、B作抛物线的切线AC、BD，与x轴分别交于C、D两点，且AC与BD交于点M，直线AD与直线BC交于点N．(1）求抛物线的标准方程；(2）求证：MNx轴；(3）若直线MN与x轴的交点恰为F（1，0），求证：直线AB过定点．【答案】（1）设抛物线的标准方程为22(0)ypxp，由题意，得12p，即2p．所以抛物线的标准方程为24yx．(2）设11()Axy，，22()Bxy，，且10y，20y．由24yx（0y），得2yx，所以1yx．所以切线AC的方程为1111()yyxxx，即1112()yyxxy．整理，得112()yyxx，①且C点坐标为1(0)x，．同理得切线BD的方程为222()yyxx，②且D点坐标为2(0)x，．由①②消去y，得122112Mxyxyxyy．又直线AD的方程为1212()yyxxxx，③-7-直线BC的方程为2112()yyxxxx．④由③④消去y，得122112Nxyxyxyy．22．已知M是以点C为圆心的圆22(1)8xy上的动点，定点(1,0)D．点P在DM上，点N在CM上，且满足2,0DMDPNPDM．动点N的轨迹为曲线E。（Ⅰ）求曲线E的方程；（Ⅱ）线段AB是曲线E的长为2的动弦，O为坐标原点，求AOB面积S的取值范围。【答案】（Ⅰ）2,0.DMDPNPDM∴NP为DM的垂直平分线，∴||||NDNM,又||||22,||||222.CNNMCNDN∴动点N的轨迹是以点(1,0),(1,0)CD为焦点的长轴为22的椭圆．∴轨迹E的方程为.1222yx(Ⅱ）解法一∵线段AB的长等于椭圆短轴的长，要使三点AOB、、能构成三角形，则弦AB不能与x轴垂直，故可设直线AB的方程为ykxb，由22,1.2ykxbxy，消去y，并整理，得222(12)4220.kxkbxb设),(11yxA，),(22yxB，则-8-122412kbxxk，21222(1)12bxxk。||2,AB2221(1)()2.kxx221212(1)()44kxxxx，2222248(1)(1)4,1212kbbkkk2212(1)1bk，211k，2112b．又点O到直线AB的距离2||1bhk，1||2SABhh，22Sh222(1)bb22112()22b2102S，202S．解法二：∵线段AB的长等于椭圆短轴的长，要使三点AOB、、能构成三角形，则弦AB不能与x轴垂直，故可设直线AB的方程为ykxb，由22,1.2ykxbxy，消去y，并整理，得222(12)4220.kxkbxb设),(11yxA，),(22yxB，则122412kbxxk，21222(1)12bxxk||2,AB2221(1)()2.kxx221212(1)()44kxxxx，2222248(1)(1)4,1212kbbkkk22221,2(1)kbk又点O到