上海市奉贤区2013届高三二模数学理解析版

2013年上海市奉贤区高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．（4分）（2013•奉贤区二模）函数f（x）=2sin2x的最小正周期是π．考点：三角函数的周期性及其求法；二倍角的余弦．专题：三角函数的图像与性质．分析：利用二倍角公式吧函数的解析式化为1﹣cos2x，由此可得它的最小正周期为．解答：解：函数f（x）=2sin2x=1﹣cos2x，故它的最小正周期为=π，故答案为π．点评：本题主要考查二倍角公式的应用，余弦函数的最小正周期的求法，属于基础题．2．（4分）（2013•奉贤区二模）在的二项展开式中，常数项是70．考点：二项式系数的性质．专题：计算题．分析：先求得二项展开式的通项公式，再令x的幂指数等于零，求得r的值，即可求得展开式中的常数项．解答：解：在的二项展开式中，通项公式为Tr+1=•x8﹣r•（﹣1）rx﹣r=（﹣1）r••x8﹣2r．令8﹣2r=0，解得r=4，故展开式中的常数项是=70，故答案为70．点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．3．（4分）（2013•奉贤区二模）已知正数x，y满足x+y=xy，则x+y的最小值是4．考点：基本不等式．专题：计算题．分析：依题意由基本不等式得x+y=xy≤，从而可求得x+y的最小值．解答：解：∵x＞0，y＞0，∴xy≤，又x+y=xy，∴x+y≤，∴（x+y）2≥4（x+y），∴x+y≥4．故答案为：4点评：本题考查基本不等式，利用基本不等式将已知条件转化为关于x+y的二次不等式是关键，属于基础题．4．（4分）（2013•奉贤区二模）执行如图所示的程序框图，输出的S值为30．考点：程序框图．专题：图表型．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S=2+4+…+10的值．解答：解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S=2+4+…+10又∵2+4+…+10=30故答案为：30．点评：根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型．5．（4分）（2013•奉贤区二模）已知直线y=t与函数f（x）=3x及函数g（x）=4•3x的图象分别相交于A、B两点，则A、B两点之间的距离为log34．考点：两点间的距离公式；函数的零点．专题：函数的性质及应用．分析：先确定A，B两点的横坐标，再作差，即可求得A，B两点之间的距离．解答：解：令3x=t，可得x=log3t43x=t可得x=，故A、B两点之间的距离为log3t﹣=log3t﹣（log3t﹣log34）=log34，故答案为log34．点评：本题考查两点之间的距离，考查学生的计算能力，属于中档题．6．（4分）（2013•奉贤区二模）用铁皮制作一个无盖的圆锥形容器，已知该圆锥的母线与底面所在的平面所成角为45°，容器的高为10cm，制作该容器需要100cm2的铁皮．考点：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．专题：计算题．分析：由题意可得圆锥的底面半径和母线长，代入侧面积公式S=πrl，计算可得．解答：解：由题意可得圆锥的底面半径r=10，由勾股定理可得：圆锥的母线长为l=10，故圆锥的侧面积S=πrl==100，故答案为：点评：本题考查圆锥的侧面积的求解，求出底面半径和母线长是解决问题的关键，属基础题．7．（4分）（2013•奉贤区二模）若实数t满足f（t）=﹣t，则称t是函数f（x）的一个次不动点．设函数f（x）=lnx与反函数的所有次不动点之和为m，则m=0．考点：反函数．专题：计算题；新定义．分析：求出函数y=lnx的反函数，利用函数y=lnx的图象与直线y=﹣x有唯一公共点（t，﹣t）则有t=﹣ln（﹣t），ex=﹣x⇔x=ln（﹣x）⇔x=﹣t．从而求出两个函数的所有次不动点之和m的值．解答：解：函数y=lnx的反函数：y=ex；函数y=lnx的图象与直线y=﹣x有唯一公共点（t，﹣t）则有t=﹣ln（﹣t），而ex=﹣x⇔x=ln（﹣x）⇔x=﹣t．故两个函数的所有次不动点之和m=t+（﹣t）=0，故答案为0．点评：本题以新定义为载体，考查了函数图象的对称性的灵活运用，属于中档题．8．（4分）（2013•奉贤区二模）关于x的方程x2+mx+2=0（m∈R）的一个根是1+ni（n∈R+），在复平面上的一点Z对应的复数z满足|z|=1，则|z﹣m﹣ni|的取值范围是[，]．考点：复数求模．分析：由题意求得方程的另一个根为1﹣ni，由根与系数的关系可得m=﹣2，n2=1．满足|z|=1的复数z在以原点O为圆心的单位圆上，而|z﹣m﹣ni|表示点z到点M（m，n）的距离，求得|OM|的值，即可得到|z﹣m﹣ni|的取值范围．解答：解：∵关于x的方程x2+mx+2=0（m∈R）的一个根是1+ni（n∈R+），∴另一个根为1﹣ni，由根与系数的关系可得（1+ni）+（1﹣ni）=﹣m，且（1+ni）（1﹣ni）=2．解得m=﹣2，n2=1．满足|z|=1的复数z在以原点O为圆心的单位圆上，而|z﹣m﹣ni|表示点z到点M（m，n）的距离．而|OM|===，故|z﹣m﹣ni|的最小值为﹣1，最大为+1故|z﹣m﹣ni|的取值范围为[﹣1，+1]，故答案为[﹣1，+1]．点评：本题主要考查韦达定理、复数的模的定义，以及两个复数的差的绝对值的意义，属于基础题．9．（4分）（2013•奉贤区二模）在极坐标系中，直线的位置关系是相离．考点：点的极坐标和直角坐标的互化；直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：把极坐标方程化为直角坐标方程，求出圆心和半径，再求出圆心到直线的距离，根据此距离与半径的大小关系判断直线和圆的位置关系．解答：解：直线即ρsinθ﹣ρcosθ=，即x﹣y+1=0．圆ρ=2cosθ即ρ2=2ρcosθ，即x2+y2=2x，即（x﹣1）2+y2=1，表示以（1，0）为圆心，半径等于1的圆．圆心到直线的距离为=＞1=r，故直线和圆相离，故答案为相离．点评：本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式的应用，直线和圆的位置关系的判定，属于中档题．10．（4分）（2013•奉贤区二模）已知函数f（x）=lg（ax﹣bx）（a＞1＞b＞0），且a2=b2+1，则不等式f（x）＞0的解集是（2，+∞）．考点：对数函数图象与性质的综合应用．专题：函数的性质及应用．分析：令u（x）=ax﹣bx，利用定义判断u（x）在x∈（0，+∞）上单调增，从而得到f（x）在x∈（0，+∞）上单调增，由a2=b2+1，可得f（2）=lg（a2﹣b2）=lg1=0，进而得到f（x）＞0=f（2）．解答：解：由题意可得：令u（x）=ax﹣bx，不等式即lgu（x）＞0，∵a＞1＞b＞0，所以u（x）在实数集上是个增函数，且u（x）＞0，又因为u（0）=0，所以应有x＞0，∴u（x）在定义域（0，+∞）上单调增，∴f（x）=lg（ax﹣bx）在x∈（0，+∞）上单调增．又因为a2=b2+1，所以f（2）=lg（a2﹣b2）=lg1=0，所以f（x）＞0=f（2）所以（2，+∞）．故答案为：（2，+∞）．点评：本题考查指数函数、对数函数的单调性与特殊点，由真数u（x）的单调性确定f（x）的单调性，利用特殊点lg1=0．11．（4分）（2013•奉贤区二模）设f（x）是定义在R上以2为周期的偶函数，已知x∈（0，1），，则函数f（x）在（1，2）上的解析式是y=．考点：函数解析式的求解及常用方法．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：设x∈（1，2），则x﹣2∈（﹣1，0），2﹣x∈（0，1），由已知表达式可求得f（2﹣x），再由f（x）为周期为2的偶函数，可得f（x）=f（x﹣2）=f（2﹣x），从而得到答案．解答：解：设x∈（1，2），则x﹣2∈（﹣1，0），2﹣x∈（0，1），所以f（2﹣x）==，又f（x）为周期为2的偶函数，所以f（x）=f（x﹣2）=f（2﹣x）=，即y=，故答案为：y=．点评：本题考查函数解析式的求解及函数的周期性、奇偶性，考查学生灵活运用所学知识解决问题的能力，属中档题．12．（4分）（2013•奉贤区二模）设正项数列{an}的前n项和是Sn，若{an}和{}都是等差数列，且公差相等，则a1+d=．考点：等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：由题目给出的条件{an}和{}都是等差数列，且公差相等，把与都用a1和d表示，两边平方后求解a1和d，则答案可求．解答：解：由题意知数列{an}的首项为a1，公差为d．因为数列{an}的前n项和是Sn，所以，，．又{}也是公差为d的等差数列，则，两边平方得：①，两边平方得：②②﹣①得：③，把③代入①得：d（2d﹣1）=0．所以d=0或d=．当d=0时，a1=0，不合题意，当d=时，代入③解得．所以．故答案为．点评：本题考查了等差数列的通项公式，考查了学生的计算能力，是基础的计算题．13．（4分）（2013•奉贤区二模）椭圆上的任意一点M（除短轴端点除外）与短轴两个端点B1，B2的连线交x轴于点N和K，则|ON|+|OK|的最小值是2a．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出椭圆上下顶点坐标，设M（xo，yo），N（xm，0），K（xn，0），利用三点共线求出K，N的横坐标，利用M在椭圆上，推出|ON|•|OK|=a2，最后利用基本不等式求出|ON|+|OK|的最小值即可．解答：解：由椭圆方程知B1（0，b），B2（0，﹣b），另设M（xo，yo），K（xk，0），N（xn，0）（2分）由M，N，B1三点共线，知=（4分）所以xn=（6分）同理得xk=（9分）|OK|•|ON|=||…①，又M在椭圆上所以即b2﹣y=代入①得10分|OK|•|ON|=||=a2（12分）利用基本不等式，得|ON|+|OK|≥2=2a，当且仅当|OK|•|ON|取号，故|OK|•|ON|的最小值为2a．故答案为：2a．点评：本题是中档题，思路明确重点考查学生的计算能力，也可以由向量共线，或由直线方程截距式等求得点M坐标．14．（4分）（2013•奉贤区二模）如图放置的等腰直角三角形ABC薄片（∠ACB=90°，AC=2）沿x轴滚动，设顶点A（x，y）的轨迹方程是y=f（x），当x∈[0，]时y=f（x）=．考点：函数解析式的求解及常用方法．专题：函数的性质及应用．分析：根据三角形在滚动过程中的特点，要使x∈[0，]，说明三角形进行了两次滚动，一次是以C为圆心，A在四分之一圆周运动，一次是以B为圆心A在中心角是135°的扇形弧上运动，由此可求A的轨迹．解答：解：当等腰直角三角形以C为旋转点滚动时，A的轨迹是以C（2，0）为圆心，以AC长为半径的圆的部分，当B点落在x轴上时，点A运动了四分之一圆周，所以其轨迹方程为（0≤x≤2）；当等腰直角三角形以B为旋转点滚动时，A的轨迹是以B（4，0）为圆心，以AB长为半径的圆的部分，当A点落在x轴上时满足A点的最大横坐标为．三角形不在滚动，此过程是以B（4，0）为圆心，以为半径的圆的部分，轨迹方程为（2≤x）．所以顶点A（x，y）的轨迹方程是f（x）=．故答案为．点评：本题考查了函数解析式的求解及常用方法，考查了分类讨论的数学思想，训练了圆的标准方程，是基础题．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15．（5分）（2013•奉贤区二模）下列命题中正确的是（）A．函数y=sinx与y=arcsinx互为反函数B．函数y=sinx与y=arcsinx都是增函数C．函数y=sinx与y=arcsinx都是奇函数D．函数y=sinx与y=arcsinx都是周期函数考点：命题的真假判断与应用