【热点重点难点专题透析】2015届高考数学(理科湖北)二轮专题复习课件第2专题数列

热点重点难点专题透析·数学理科(HUB)【考情报告】年份题型考点2012年2013年2014年小题第7题:新定义试题,涉及等比数列的判定热点重点难点专题透析·数学理科(HUB)大题第18题:由基本量求等差数列的通项公式;求含绝对值的数列的前n项和第18题:由基本量求等比数列的通项公式;涉及数列的不等式的存在性问题第18题:等差、等比数列的性质与解一元二次不等式交汇命题热点重点难点专题透析·数学理科(HUB)【考向预测】数列是高中数学的重要内容,又是学习高等数学的基础,在高考数学中有着十分重要的地位.从近几年高考对数列的考查来看,对等差、等比数列的通项以及求和的考查仍然是重点.在平时复习与训练中要注意基本方法与基本题型,同时我们要注意“巧用性质、减少运算量”在等差数列、等比数列的计算中非常重要.在考查方向上我们要注意以下方面:一是等差数列、等比数列的基本量计算;二是一个等差热点重点难点专题透析·数学理科(HUB)数列与等比数列乘积式求和,我们要熟练使用“错位相减法”;三是裂项求和问题.【问题引领】1.已知公差不为0的等差数列{an}满足a1,a3,a4成等比数列,Sn为数列{an}的前n项和,则𝑺𝟑-𝑺𝟐𝑺𝟓-𝑺𝟑的值为().A.𝟏𝟐B.𝟏𝟐或2C.2D.-2或𝟏𝟐热点重点难点专题透析·数学理科(HUB)【解析】设公差为d,则(a1+2d)2=a1(a1+3d),即𝒂𝟏𝟐+4a1d+4d2=𝒂𝟏𝟐+3a1d,解得a1=-4d(d=0舍去).故𝑺𝟑-𝑺𝟐𝑺𝟓-𝑺𝟑=𝒂𝟑𝒂𝟒+𝒂𝟓=-𝟒𝒅+𝟐𝒅-𝟒𝒅+𝟑𝒅-𝟒𝒅+𝟒𝒅=2.【答案】C热点重点难点专题透析·数学理科(HUB)2.设Sn为数列{an}的前n项和,若不等式𝒂𝒏𝟐+𝑺𝒏𝟐𝒏𝟐≥m𝒂𝟏𝟐对任意等差数列{an}及任意正整数n都成立,则实数m的最大值为().A.𝟏𝟒B.𝟏𝟓C.1D.无法确定热点重点难点专题透析·数学理科(HUB)【解析】因为Sn=𝟏𝟐n(a1+an),所以原不等式可化为𝒂𝒏𝟐+𝟏𝟒(a1+an)2≥m𝒂𝟏𝟐.若a1=0,则原不等式恒成立;若a1≠0,则有m≤𝟓𝟒(𝒂𝒏𝒂𝟏)2+𝟏𝟐(𝒂𝒏𝒂𝟏)+𝟏𝟒,而𝟓𝟒(𝒂𝒏𝒂𝟏)2+𝟏𝟐(𝒂𝒏𝒂𝟏)+𝟏𝟒=𝟓𝟒(𝒂𝒏𝒂𝟏+𝟏𝟓)2+𝟏𝟓≥𝟏𝟓,则m≤𝟏𝟓.故实数m的最大值为𝟏𝟓.【答案】B热点重点难点专题透析·数学理科(HUB)3.(2014广东卷)若等比数列{an}的各项均为正数,且a10a11+a9a12=2e5,则lna1+lna2+…+lna20=.热点重点难点专题透析·数学理科(HUB)【解析】由题意知a10a11+a9a12=2a10a11=2e5,即a10a11=e5,因此a1a2…a20=(𝒂𝟏𝒂𝟐𝟎)(𝒂𝟐𝒂𝟏𝟗)…(𝒂𝟏𝟎𝒂𝟏𝟏)𝟏𝟎对=(a10a11)10=(e5)10=e50,因此lna1+lna2+…+lna20=ln(a1a2…a20)=lne50=50.【答案】50热点重点难点专题透析·数学理科(HUB)4.数列{an}的前n项和为Sn,且an=nsin𝐧𝝅𝟐+𝟏𝟐,则S2015=.热点重点难点专题透析·数学理科(HUB)【解析】S2015=𝟏𝟐×2015+(1-3)+(5-7)+(9-11)+…+(2013-2015)=𝟐𝟎𝟏𝟓𝟐+(-2)×𝟏𝟎𝟎𝟖𝟐=-𝟏𝟐.【答案】-𝟏𝟐热点重点难点专题透析·数学理科(HUB)5.(2014山东卷)已知等差数列{an}的公差为2,前n项和为Sn,且S1,S2,S4成等比数列.(1)求数列{an}的通项公式;(2)令bn=(-1)n-1𝟒𝐧𝐚𝐧𝐚𝐧+𝟏,求数列{bn}的前n项和Tn.热点重点难点专题透析·数学理科(HUB)【解析】(1)因为S1=a1,S2=2a1+𝟐×𝟏𝟐×2=2a1+2,S4=4a1+𝟒×𝟑𝟐×2=4a1+12,由题意得(2a1+2)2=a1(4a1+12),解得a1=1,所以an=2n-1.(2)bn=(-1)n-1𝟒𝐧𝐚𝐧𝐚𝐧+𝟏=(-1)n-1𝟒𝐧(𝟐𝐧-𝟏)(𝟐𝐧+𝟏)=(-1)n-1(𝟏𝟐𝐧-𝟏+𝟏𝟐𝐧+𝟏).热点重点难点专题透析·数学理科(HUB)当n为偶数时,Tn=(1+𝟏𝟑)-(𝟏𝟑+𝟏𝟓)+…+(𝟏𝟐𝐧-𝟑+𝟏𝟐𝐧-𝟏)-(𝟏𝟐𝐧-𝟏+𝟏𝟐𝐧+𝟏)=1-𝟏𝟐𝐧+𝟏=𝟐𝐧𝟐𝐧+𝟏;当n为奇数时,Tn=(1+𝟏𝟑)-(𝟏𝟑+𝟏𝟓)+…-(𝟏𝟐𝐧-𝟑+𝟏𝟐𝐧-𝟏)+(𝟏𝟐𝐧-𝟏+𝟏𝟐𝐧+𝟏)=1+𝟏𝟐𝐧+𝟏=𝟐𝐧+𝟐𝟐𝐧+𝟏.所以Tn=𝟐𝐧+𝟐𝟐𝐧+𝟏,𝐧为奇数,𝟐𝐧𝟐𝐧+𝟏,𝐧为偶数,也可写成Tn=𝟐𝐧+𝟏+(-𝟏)𝐧-𝟏𝟐𝐧+𝟏.热点重点难点专题透析·数学理科(HUB)6.(2014新课标全国Ⅱ卷)已知数列{an}满足a1=1,an+1=3an+1.(1)证明{an+𝟏𝟐}是等比数列,并求{an}的通项公式;(2)证明𝟏𝐚𝟏+𝟏𝐚𝟐+…+𝟏𝐚𝐧𝟑𝟐.热点重点难点专题透析·数学理科(HUB)【解析】(1)在an+1=3an+1中两边同时加𝟏𝟐,an+𝟏𝟐=3(an-1+𝟏𝟐),即数列{an+𝟏𝟐}是以3为公比,a1+𝟏𝟐=𝟑𝟐为首项的等比数列.∴an=𝟑𝟐×3n-1-𝟏𝟐=𝟑𝐧-𝟏𝟐.热点重点难点专题透析·数学理科(HUB)(2)(法一:放缩法)∵𝟏𝐚𝐧=𝟐𝟑𝐧-𝟏,∴𝟏𝐚𝟏+𝟏𝐚𝟐+𝟏𝐚𝟑+…+𝟏𝐚𝐧=𝟐𝟑𝟏-𝟏+𝟐𝟑𝟐-𝟏+𝟐𝟑𝟑-𝟏+…+𝟐𝟑𝐧-𝟏≤𝟐+𝟏𝟑𝟏-𝟏+𝟏+𝟐+𝟏𝟑𝟐-𝟏+𝟏+𝟐+𝟏𝟑𝟑-𝟏+𝟏+…+𝟐+𝟏𝟑𝐧-𝟏+𝟏=𝟑𝟐(1-𝟏𝟑𝐧)𝟑𝟐.(本题用到性质:若a、b、m均为正数,且ab,则𝐛+𝐦𝐚+𝐦𝐛𝐚.)热点重点难点专题透析·数学理科(HUB)(法二:放缩法)由(1)知𝟏𝐚𝐧=𝟐𝟑𝐧-𝟏,当n=1时,𝟏𝐚𝟏=1𝟑𝟐.当n1时,𝟏𝐚𝐧=𝟐𝟑𝐧-𝟏𝟏𝟑𝐧-𝟏,∴𝟏𝐚𝟏+𝟏𝐚𝟐+𝟏𝐚𝟑+…+𝟏𝐚𝐧1+𝟏𝟑𝟏+𝟏𝟑𝟐+…+𝟏𝟑𝐧-𝟏=𝟏-𝟏𝟑𝐧𝟏-𝟏𝟑=𝟑𝟐(1-𝟏𝟑𝐧)𝟑𝟐.∴𝟏𝐚𝟏+𝟏𝐚𝟐+𝟏𝐚𝟑+…+𝟏𝐚𝐧𝟑𝟐,n∈N*.热点重点难点专题透析·数学理科(HUB)(法三:数学归纳法)先证一个条件更强的结论:𝟏𝒂𝟏+𝟏𝒂𝟐+𝟏𝒂𝟑+…+𝟏𝒂𝒏≤𝟑𝟐-𝟏𝟐×𝟑𝒏-𝟏.①当n=1时,𝟏𝒂𝟏=𝟐𝟑𝟏-𝟏=𝟑𝟐-𝟏𝟐×𝟑𝟎,等号成立;当n=2时,𝟏𝒂𝟏+𝟏𝒂𝟐=𝟓𝟒𝟒𝟑=𝟑𝟐-𝟏𝟐×𝟑𝟏,新命题成立.②假定对于n2,且n∈N*,新命题成立,即𝟏𝒂𝟏+𝟏𝒂𝟐+𝟏𝒂𝟑+…+𝟏𝒂𝒏≤𝟑𝟐-𝟏𝟐×𝟑𝒏-𝟏,那么对于n+1的情形有:𝟏𝒂𝟏+𝟏𝒂𝟐+𝟏𝒂𝟑+…+𝟏𝒂𝒏+𝟏𝒂𝒏+𝟏≤𝟑𝟐-𝟏𝟐×𝟑𝒏-𝟏+𝟐𝟑𝒏+𝟏-𝟏𝟑𝟐-𝟏𝟐×𝟑𝒏-𝟏+𝟐+𝟏𝟑𝒏+𝟏-𝟏+𝟏=𝟑𝟐-𝟏𝟐×𝟑𝒏,即新命题成立.∴𝟏𝒂𝟏+𝟏𝒂𝟐+𝟏𝒂𝟑+…+𝟏𝒂𝒏≤𝟑𝟐-𝟏𝟐×𝟑𝒏-𝟏𝟑𝟐,即原命题成立.热点重点难点专题透析·数学理科(HUB)【诊断参考】1.等差数列、等比数列是高考的重点,一方面应该熟悉公式,同时又要熟练运用公式的变形,本题的关键是通过(a1+2d)2=a1(a1+3d)找到a1与d的关系以减少变量.注意高考数列题“小、巧、活”的特点.热点重点难点专题透析·数学理科(HUB)2.将已知不等式用an与a1表示后分离参数m转化为函数的最值问题求解.数列是一种特殊的函数,即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数,当自变量依次从小到大取值时,所对应的一列函数值,就是数列.因此,在研究数列问题时既要注意函数方法的普遍性,又要考虑数列方法的特殊性.热点重点难点专题透析·数学理科(HUB)3.等比数列基本量的计算是重点,我们常常通过公式挖掘Sn、an、n、q之间的关系进而求解.本题我们发现a1a20=a2a19=…=a9a12=a10a11,后面整体处理可使问题迎刃而解,如果本题死套公式去求解,就会增加计算量.热点重点难点专题透析·数学理科(HUB)4.能够把an=nsin𝒏𝛑𝟐+𝟏𝟐具体化,利用分组求和法进行计算.数列中Sn与an的关系一直是高考的热点,求数列的通项公式是最常见的题型之一,要切实注意Sn与an之间的关系.5.近几年高考卷中数列一般放在解答题的较前位置,着重考查数列的基本知识.本题的难点是裂项求和以及对n为奇数和n为偶数的讨论.热点重点难点专题透析·数学理科(HUB)6.本题第一问要求按照题中给出的模式证明{an+𝟏𝟐}是等比数列,从而求出{an}的通项公式;第二问要能够利用放缩法进行解题.数列与函数、不等式、三角、概率等的综合问题体现了高考常在“知识交汇点”上命题.今后在这方面我们要加强训练.热点重点难点专题透析·数学理科(HUB)【知识整合】一、Sn与an之间的关系在数列{an}中,Sn=a1+a2+…+an,从而an=𝑺𝟏,𝐧=𝟏,𝑺𝒏-𝑺𝒏-𝟏,𝐧≥𝟐.热点重点难点专题透析·数学理科(HUB)二、等差数列的相关公式与性质如果数列{an}是公差为d的等差数列,则1.an=a1+(n-1)d,Sn=na1+𝒏(𝒏-𝟏)𝟐d=𝒏(𝒂𝟏+𝒂𝒏)𝟐.2.对正整数m,n,p,q,有am+an=ap+aq⇔m+n=p+q,am+an=2ap⇔m+n=2p.三、等比数列的相关公式与性质如果数列{an}是公比为q的等比数列,则热点重点难点专题透析·数学理科(HUB)1.an=a1qn-1,Sn=𝒂𝟏(𝟏-𝒒𝒏)𝟏-𝒒=𝒂𝟏-𝒂𝒏𝐪𝟏-𝒒,𝐪≠𝟏,𝒏𝒂𝟏,𝐪=𝟏.2.对正整数m,n,p,q,有aman=apaq⇔m+n=p+q,aman=𝒂𝒑𝟐⇔m+n=2p.四、等差、等比数列前n项和Sn的性质若等差数列的前n项和为Sn,则Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…为等差数列;若等比数列的前n项和为Sn,则当Sm不等于0时,Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…成等比数列.热点重点难点专题透析·数学理科(HUB)五、在等差数列{an}中,有关Sn的最值问题——常用邻项变号法求解:1.当a10,d0时,满足𝒂𝒎≥𝟎,𝒂𝒎+𝟏≤𝟎的项数m使得Sm取最大值.2.当a10,d0时,满足𝒂𝒎≤𝟎,𝒂𝒎+𝟏≥𝟎的项数m使得Sm取最小值.热点重点难点专题透析·数学理科(HUB)在解含绝对值的数列最值问题时,要注意转化思想的应用.六、数列求和的常用方法:公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法、分组求和法、归纳猜想证明法等.热点重点难点专题透析·数学理科(HUB)【考点聚焦】热点一:等差数列的通项、求和及其性质等差数列问题中最基本的量是首项和公差.解题时根据已知条件求出这两个量,其他的问题也可随之解决,这就是解决等差数列问题的