【章节训练】21+曲线与方程++-1

第1页（共11页）【章节训练】2.1曲线与方程-1一、选择题（共10小题）1．（2015•固原校级模拟）方程|y|﹣1=表示的曲线是（）A．两个半圆B．两个圆C．抛物线D．一个圆2．（2015•虹口区一模）关于曲线C：x4+y2=1，给出下列四个命题：①曲线C关于原点对称；②曲线C关于直线y=x对称③曲线C围成的面积大于π④曲线C围成的面积小于π上述命题中，真命题的序号为（）A．①②③B．①②④C．①④D．①③3．（2015春•玉溪校级期末）方程（x+y﹣1）=0所表示的曲线是（）A．B．C．D．4．（2015•北京校级模拟）如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的侧面AB1内有一动点P到直线A1B1与直线BC的距离相等，则动点P所在曲线的形状为（）第2页（共11页）A．B．C．D．5．（2015•山西一模）设方程（m+1）|ex﹣1|﹣1=0的两根分别为x1，x2（x1＜x2），方程|ex﹣1|﹣m=0的两根分别为x3，x4（x3＜x4）．若m∈（0，），则（x4+x1）﹣（x3+x2）的取值范围为（）A．（﹣∞，0）B．（﹣∞，ln）C．（ln，0）D．（﹣∞，﹣1）6．（2015•南昌校级模拟）已知平面上的曲线C及点P，在C上任取一点Q，定义线段PQ长度的最小值为点P到曲线C的距离，记作d（P，C）．若曲线C1表示直线x=﹣，曲线C2表示射线y=0（x≥），则点集{P|d（P，C1）=d（P，C2）}所表示的图形是（）A．B．C．D．7．（2015•安徽二模）点集{（x，y）|（|x|﹣1）2+y2=4}表示的图形是一条封闭的曲线，这条封闭曲线所围成的区域面积是（）第3页（共11页）A．B．C．D．8．（2015•唐山三模）关于曲线C：，给出下列四个命题：A．曲线C关于原点对称B．曲线C有且只有两条对称轴C．曲线C的周长l满足D．曲线C上的点到原点的距离的最小值为上述命题中，真命题的个数是（）A．1B．2C．3D．49．（2015•益阳一模）已知函数f（x）=x3的图象为曲线C，给出以下四个命题：①若点M在曲线C上，过点M作曲线C的切线可作一条且只能作一条；②对于曲线C上任意一点P（x1，y1）（x1≠0），在曲线C上总可以找到一点Q（x2，y2），使x1和x2的等差中项是同一个常数；③设函数g（x）=|f（x）﹣2sin2x|，则g（x）的最小值是0；④若f（x+a）≤8f（x）在区间[1，2]上恒成立，则a的最大值是1．其中真命题的个数是（）A．1B．2C．3D．410．（2015•泉州校级模拟）若曲线C上存在点M，使M到平面内两点A（﹣5，0），B（5，0）距离之差为8，则称曲线C为“好曲线”．以下曲线不是“好曲线的是（）A．x+y=5B．x2+y2=9C．D．x2=16y第4页（共11页）【章节训练】2.1曲线与方程-1参考答案与试题解析一、选择题（共10小题）1．（2015•固原校级模拟）方程|y|﹣1=表示的曲线是（）A．两个半圆B．两个圆C．抛物线D．一个圆【考点】曲线与方程．菁优网版权所有【专题】综合题；直线与圆．【分析】方程|y|﹣1=可化为（x﹣1）2+（|y|﹣1）2=1（|y|≥1），即可得出结论．【解答】解：方程|y|﹣1=可化为（x﹣1）2+（|y|﹣1）2=1（|y|≥1），y≤﹣1时，（x﹣1）2+（y+1）2=1；y≥1时，（x﹣1）2+（y﹣1）2=1；∴方程|y|﹣1=表示的曲线是两个半圆．故选：A．【点评】本题考查曲线与方程，考查圆的方程，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．2．（2015•虹口区一模）关于曲线C：x4+y2=1，给出下列四个命题：①曲线C关于原点对称；②曲线C关于直线y=x对称③曲线C围成的面积大于π④曲线C围成的面积小于π上述命题中，真命题的序号为（）A．①②③B．①②④C．①④D．①③【考点】曲线与方程．菁优网版权所有【专题】综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】将方程中的x换为﹣x，y换为﹣y，方程不变，判断出①对；通过将方程中的x，y互换方程改变，判断出②错；由方程上的点的坐标有界判断出③对，④错．【解答】解：对于①，将方程中的x换成﹣x，y换成﹣y方程不变，所以曲线C关于x轴、y轴、原点对称，故①对对于②，将方程中的x换为y，y换为x方程变为y4+x2=1与原方程不同，故②错对于③，在曲线C上任取一点M（x0，y0），x04+y02=1，∵|x0|≤1，∴x04≤x02，∴x02+y02≥x04+y02=1，即点M在圆x2+y2=1外，故③对，④错．故选：D．【点评】本题考查点（x，y）关于x轴的对称点为（x，﹣y）；关于y轴的对称点为（﹣x，y）；关于原点的对称点（﹣x，﹣y）；关于y=x的对称点为（y，x）．第5页（共11页）3．（2015春•玉溪校级期末）方程（x+y﹣1）=0所表示的曲线是（）A．B．C．D．【考点】曲线与方程．菁优网版权所有【专题】计算题．【分析】原方程等价于：，或x2+y2=4；两组方程分别表示出圆和不在圆内部分的直线，进而可推断出方程表示的曲线为圆和与圆相交且去掉圆内的部分．【解答】解：原方程等价于：，或x2+y2=4；其中当x+y﹣1=0需有意义，等式才成立，即x2+y2≥4，此时它表示直线x﹣y﹣1=0上不在圆x2+y2=4内的部分，这是极易出错的一个环节．故选D【点评】本题主要考查了曲线与方程的问题．考查了考生对曲线方程的理解和对图象分析的能力．4．（2015•北京校级模拟）如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的侧面AB1内有一动点P到直线A1B1与直线BC的距离相等，则动点P所在曲线的形状为（）第6页（共11页）A．B．C．D．【考点】曲线与方程．菁优网版权所有【专题】图表型．【分析】根据题意可知P到点B的距离等于到直线A1B1的距离，利用抛物线的定义推断出P的轨迹是以B为焦点，以A1B1为准线的过A的抛物线的一部分．看图象中，A的形状不符合；B的B点不符合；D的A点符合．从而得出正确选项．【解答】解：依题意可知P到点B的距离等于到直线A1B1的距离，根据抛物线的定义可知，动点P的轨迹是以B为焦点，以A1B1为准线的过A的抛物线的一部分．A的图象为直线的图象，排除A．B项中B不是抛物线的焦点，排除B．D项不过A点，D排除．故选C．【点评】本题是基础题，考查抛物线的定义和考生观察分析的能力，数形结合的思想的运用，考查计算能力，转化思想．5．（2015•山西一模）设方程（m+1）|ex﹣1|﹣1=0的两根分别为x1，x2（x1＜x2），方程|ex﹣1|﹣m=0的两根分别为x3，x4（x3＜x4）．若m∈（0，），则（x4+x1）﹣（x3+x2）的取值范围为（）A．（﹣∞，0）B．（﹣∞，ln）C．（ln，0）D．（﹣∞，﹣1）【考点】曲线与方程．菁优网版权所有【专题】函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】由条件求得x1，x2，x3，x4，得到（x4+x1）﹣（x3+x2）=ln．令t=，则原式=lnt，利用不等式的基本性质求得的范围，可得t的范围，从而求得lnt的范围，即为所求．第7页（共11页）【解答】解：由方程（m+1）|ex﹣1|﹣1=0的两根为x1，x2（x1＜x2），可得，，求得x1=ln，x2=ln．由方程|ex﹣1|﹣m=0的两根为x3，x4（x3＜x4），可得，求得x3=ln（1﹣m），x4=ln（1+m）．∴（x4+x1）﹣（x3+x2）=lnm﹣ln=ln．令t=，则原式=lnt，且．由m∈（0，），可得0＜＜，，∴，则0．故原式=lnt∈（﹣∞，ln），故选：B．【点评】本题主要考查指数函数的综合应用，不等式的基本性质，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于中档题．6．（2015•南昌校级模拟）已知平面上的曲线C及点P，在C上任取一点Q，定义线段PQ长度的最小值为点P到曲线C的距离，记作d（P，C）．若曲线C1表示直线x=﹣，曲线C2表示射线y=0（x≥），则点集{P|d（P，C1）=d（P，C2）}所表示的图形是（）第8页（共11页）A．B．C．D．【考点】曲线与方程．菁优网版权所有【专题】综合题；函数的性质及应用．【分析】当﹣1≤y≤1时，点集为{P|d（P，C1）=|PC|}，当y≤﹣1或y≥1时，点集{P|d（P，C1）=d（P，C2）}，确定表示的图形，即可得出结论．【解答】解：设P（x，y），点，当﹣1≤y≤1时，点集为{P|d（P，C1）=|PC|}，表示的图形是抛物线y2=2x上的一段，其中；当y≤﹣1或y≥1时，点集{P|d（P，C1）=d（P，C2）}，表示的图形分别是直线与x轴正方向夹角的平分线上的一条射线，即和．对比选项知A正确．故选：A．【点评】本题考查了分段函数的解析式的求法及其图象的作法，对于分段函数一般选用数形结合和分类讨论的数学思想进行解题．根据不同的范围研究不同的解析式，从而选定用分段函数来表示．属于中档题．7．（2015•安徽二模）点集{（x，y）|（|x|﹣1）2+y2=4}表示的图形是一条封闭的曲线，这条封闭曲线所围成的区域面积是（）A．B．C．D．【考点】曲线与方程．菁优网版权所有【专题】综合题；推理和证明．【分析】由曲线的方程可得，曲线关于两个坐标轴及原点都是对称的，故画出图象，结合图象求得围成的曲线的面积．第9页（共11页）【解答】解：点集{（x，y）|（|x|﹣1）2+y2=4}表示的图形是一条封闭的曲线，关于x，y轴对称，如图所示．由图可得面积S==+=+2．故选：A．【点评】本题考查线段的方程特点，由曲线的方程研究曲线的对称性，体现了数形结合的数学思想．8．（2015•唐山三模）关于曲线C：，给出下列四个命题：A．曲线C关于原点对称B．曲线C有且只有两条对称轴C．曲线C的周长l满足D．曲线C上的点到原点的距离的最小值为上述命题中，真命题的个数是（）A．1B．2C．3D．4【考点】曲线与方程．菁优网版权所有【专题】综合题；函数的性质及应用；推理和证明．【分析】利用曲线方程的特点结合曲线的图象分别进行判断即可．【解答】解：把曲线C中的（x，y）同时换成（﹣x，﹣y），方程不变，∴曲线C关于原点对称，即A正确；曲线方程为，交换x，y的位置后曲线方程不变，∴曲线C关于直线y=x对称，同理，y=﹣x，x，y轴是曲线的对称轴，即B不正确；在第一象限内，因为点（，）在曲线上，由图象可知曲线在直线y=﹣x+1的下方，且为凹函数如图：由以上分析可知曲线C的周长l满足，正确．曲线C上的点到原点的距离的最小值为（，）到原点的距离，为，即D不正确．故选：B．第10页（共11页）【点评】本题主要考查曲线方程的性质的判断和推理，考查学生分析问题解决问题的能力，综合性较强难度较大．9．（2015•益阳一模）已知函数f（x）=x3的图象为曲线C，给出以下四个命题：①若点M在曲线C上，过点M作曲线C的切线可作一条且只能作一条；②对于曲线C上任意一点P（x1，y1）（x1≠0），在曲线C上总可以找到一点Q（x2，y2），使x1和x2的等差中项是同一个常数；③设函数g（x）=|f（x）﹣2sin2x|，则g（x）的最小值是0；④若f（x+a）≤8f（x）在区间[1，2]上恒成立，则a的最大值是1．其中真命题的个数是（）A．1B．2C．3D．4【考点】曲线与方程．菁优网版权所有【专题】综合题；推理和证明．【分析】对四个命题分别进行判断，即可得出结论．【解答】解：①若点M在曲线C上，过点M的切线斜率只有一个，所以过点M作曲线C的切线可作一条且只能作一条，故正确；②函数f（x）=x3是奇函数，图象关于原点对称，所以对于曲线C上任意一点P（x1，y1）（x1≠0），在曲线C上总可以找到一点Q（x2，y2），使x1和x2的等差中项是同一个常数0，故正确；③设函数g（x）=|f（x）﹣2sin2x|=|x3﹣2sin2x|是偶函数，且g（0）=0，则g（x）的最小值是0；④f（x+a）≤8f（x）即（x+a）3≤8a3，∴x+a≤2a，∴x≤