【第十四讲】FIR滤波器的最佳逼近

第1页南昌大学科学技术学院教案课程名称数字信号处理授课时间周，星期，节（年月日）课次授课方式■理论课□实验课□其他学时2授课题目FIR滤波器的最佳逼近目的与要求：重点与难点：教具（多媒体、模型、图表等）：板书、多媒体第2页南昌大学科学技术学院教案教学内容教学方法时间分配阐述+提问随堂掌握课堂设问：教学内容小结：复习思考题或作业题：教学后记（此项内容在课程结束后填写）：南昌大学科学技术学院讲稿7.6FIR滤波器的最佳逼近采用窗函数法设计FIR滤波器方法简单，通常会得到一个性能相对很好的滤波器。但是在以下两个方面的问题，这些滤波器的设计还不是最优的：（1）通带和阻带的波动基本上相等，虽然一般需要δ2小于δ1，但是在窗函数法中不能分别控制这些参数。所以，窗函数法需要在通带内对滤波器“过设计”（即通带内的技术指标超过所要求的技术指标），这样才能满足阻带的严格要求。（2）对于大部分窗函数来说，通带内或阻带内的波动不是均匀的，通常离开过渡带时会减小。若允许波动在整个通带内均匀分布，那么就会产生较小的峰值波动。另一方面，对于一个给定的滤波器阶数M（M=N-1），在所有频带内波动的幅度最小。在这个意义上说，等波纹线性相位滤波器是最优的。所以，等波纹线性相位滤波器设计法又称为等波纹最佳一致逼近设计法。一个FIR线性相位滤波器的频率响应可以写成（7-123）式中，幅度H(ω)是ω的实值函数。对于第一类线性相位滤波器h(n)=h(N-1-n)式中，N是奇数。利用h(n)的对称性可以将频率相应表示为ajjeHeH)()(LkkkaH0)cos()()(（7-124）式中，L=(N-1)/2，且有：Hd(ω)是期望的幅度;W(ω)是一个正的误差加权函数，它是为在通带或阻带要求不同的逼近精度而设计的。一般地，在要求逼近精度高的频带，W(ω)取值大;要求逼近精度低的频带,W(ω)的取值小。设计过程中W(ω)为已知函数。设E(ω)=W(ω)［Hd(ω)-H(ω)］是一个加权逼近误差。等波纹滤波器设计问题就是求系数a(k)，要求在一组频率F上使E(ω)的最大绝对值最小，例如，为了设计一个低通滤波器，频率组F可以是通带［0,ωp］和阻带［ωs,π］内的频率，如图7-29所示。过渡带［ωp,ωs］是不关心的区域，求加权误差最小时不作考虑，此时可以采用交错定理求这个最优化问题。21)(21)0(NkhkaNha21,,2,1Nk|})(|max{min)(EFkaH()1＋121－11ops不关心区域F图7-29等波纹滤波器设计中的频率组，包括通带［0,ωp］和阻带［ωs,π］过渡带［ωp,ωs］是不关心的区域交错定理：设F是［0,π］区间内封闭子集的并集，对于一个正的加权函数W(ω)，在F上，H(ω)能成为惟一使加权误差|E(ω)|最大值最小的函数。其充要条件是：在F上E(ω)至少有L+2个交错值。也就是说，在F上必须至少有L+2个极值频率，ω0ω1…ωL+1这样E(ωk)=-E(ωk+1)k=0,1,…,L且k=0,1,…,L+1交错定理说明最优滤波器是等波纹的。虽然交错定理确定了最优滤波器必须有的极值频率（或波动）最少数目，但是可以有更多的数目。例如，一个低通滤波器可以有L+2个或L+3个极值频率，有L+3个极值频率的低通滤波器称作超波纹滤波器。由交错定理可以得到：W(ωk)［Hd(ωk)-H(ωk)］=(-1)kεk=0,1,…,L+1LkkkaH0cos)()(|)(|max|)(|EEFk式中，是最大的加权误差绝对值，这些关于未知数a(0),…,a(L)以及ε的方程可以写成下面矩阵的形式：给定了极值频率，就可以解关于a(0),…,a(L)以及ε的方程。为了求极值频率，可以采用一种高效的迭代过程，称作帕克斯-麦克莱伦（ParksMcClellan）算法。具体步骤如下：①估计一组初始极值频率（可任选）。②解方程（7-113）求ε，可以证明ε的值为式中：③利用拉格朗日插值公式在极值频率之间插值，计算F上的加权误差函数。④先选择使插值函数最大的L+2个频率，然后再选择一组新的极值频率。|)(|maxEF)()()()()()1()0()(/)1()cos()cos(1)(/)1()cos()cos(1)(/1)cos()cos(1)(/1)cos()cos(111011111111000LdLdddLLLLLLLHHHHLaaaWLWLWLWL1010)(/)()1()()(LkkkLkkdWkbHkb)cos()cos(1)(1,0ikLkiikb⑤如果极值频率改变了，从步骤②开始重复迭代过程。一个设计公式可以用来计算一个低通滤波器的等波纹滤波器阶数，过渡带宽度为Δf，通带波动为δ1，阻带波动为δ2，该公式为(7-114)7.7FIR等波纹设计举例例7-12设计一个等波纹低通滤波器，通带截止频率ωp=0.3π，阻带截止频率ωs=0.3π，通带波动δ1=0.01，阻带波动δ2=0.001。解利用式（7-101）计算滤波器阶数，求由于我们希望阻带内的波动比通带内的波动小10倍，所以必须采用加权函数对误差加权：图7-30101)(W0≤|ω|≤0.3π0.35π≤|ω|≤πfN6.1413)lg(10211026.1413)lg(1021fN20lg|H(ej)|/dB0－20－40－60－80/4/2/4实际中，一般调用MATLAB信号处理工具箱函数remezord来计算等波纹滤波器阶数N和加权函数W(ω)，调用函数remezord直接求滤波器的单位脉冲响应h(n)。例7-13设计一个等波纹低通滤波器，通带截止频率ωp=0.6π，阻带截止频率ωs=0.8π，通带波动δ1=0.1，阻带波动δ2=0.1。7.8FIR滤波器和IIR滤波器的比较首先，从性能上说，IIR滤波器可以用较少的阶数获得很高的选择特性，这样一来，所用存储单元少，运算次数少，较为经济而且效率高。但是这个高效率的代价是以相位的非线性得来的。选择性越好，非线性越严重。相反，FIR滤波器可以得到严格的线性相位。但是，如果M=281=0.12=0.1※※※※※※※※※※※☆☆需要获得一定的选择性，则要用较多的存储器和较多的运算，成本比较高，信号延时也较大。然而，FIR滤波器的这些缺点是相对于非线性相位的IIR滤波器比较而言的。如果按相同的选择性和相同的相位线性要求的话，那么，IIR滤波器就必须加全通网络来进行相位校正，因此同样要大大增加滤波器的节数和复杂性。所以如果相位要求严格一点，那么采用FIR滤波器不仅在性能上而且在经济上都将优于IIR。从结构上看，IIR必须采用递归型结构，极点位置必须在单位圆内;否则,系统将不稳定。此外，在这种结构中，由于运算过程中对序列的四舍五入处理，有时会引起微弱的寄生振荡。相反，FIR滤波器主要采用非递归结构，不论在理论上还是在实际的有限精度运算中都不存在稳定性问题，运算误差也较小。此外，FIR滤波器可以采用快速傅里叶变换算法，在相同阶数的条件下，运算速度可以快得多。从设计工作看，IIR滤波器可以借助模拟滤波器的成果，一般都有有效的封闭函数的设计公式可供准确的计算。又有许多数据和表格可查，设计计算的工作量比较小，对计算工具的要求不高。FIR滤波器设计则一般没有封闭函数的设计公式。窗口法虽然仅仅对窗口函数可以给出计算公式，但计算通阻带衰减等仍无显式表达式。一般，FIR滤波器设计只有计算程序可循，因此对计算工具要求较高。此外，还应看到，IIR滤波器虽然设计简单，但主要是用于设计具有片段常数特性的滤波器，如低、高、带通及带阻等，往往脱离不了模拟滤波器的格局。而FIR滤波器则要灵活的多，尤其是频率采样设计法更容易适应各种幅度特性和相位特性的要求，可以设计出理想的正交变换、理想微分、线性调频等各种重要网络。因而有更大适应性和更广阔的天地。从以上简单比较我们可以看到IIR滤波器与FIR滤波器各有所长，在实际应用时要从多方面考虑来加以选择。从使用要求来看，如对相位要求不敏感的语言通讯等，选用IIR较为合适。而对图像信号处理、数据传输等以波形携带信息的系统，一般对线性相位要求较高，这时采用FIR滤波器较好。当然,在实际设计中,还应综合考虑经济上的要求以及计算工具的条件等多方面的因素。本章小结本章是本课件的一个重点.主要介绍了IIR滤波器与FIR激光器的设计方法.IIR滤波器的双线性变换与冲激响应不变法与FIR滤波器的窗函数法与频率采样法.也是很多高校考研命题的重点内容第页总页