上海大学06-07(秋)高数B1试题及解答(A卷)

106-07年度秋季高等数学B（一）试题解答一、单项选择题：（每小题2分，共10分）1、当0x时，sinxx是x的（B）A、低阶无穷小B、高阶无穷小C、等阶无穷小D、同阶但非等价无穷小2、设0limxfaxfaxAx（有限值），则（D）A、AfaB、2AfaC、3AfaD、Afa未必存在3、设,00,0fxxFxxfx，其中fx在0x处可导，00f，00f。则0x是Fx的（B）A、连续点B、第一类间断点C、第二类间断点D、连续点或间断点不能确定4、设2lim1xafxfaxa，则在xa处（A）A、fx取得极大值B、fx取得极小值C、fx的导数存在，且0faD、fx的导数不存在5、设函数fx在,上连续，则dfxdx等于（C）A、fxB、fxcC、fxdxD、fxdx二、填空题：（每小题3分，共15分）6、设1ln11lnxfxx，则fx11xxe27、曲线22xyxe的水平渐近线是0y8、曲线231xtyt，在2t处的切线方程370xy9、设ln1fxx，则fxxxec10、12fxxxxxn，则0f!n三、求下列各题（每小题5分，共20分）11、201sincoslimln1xxxxx222001sincos1sincoslimlim1sincosxxxxxxxxxxxxx200sinsinsinsin1limlim21222xxxxxxxxxxx12、10lim1xxxxe01lim0lim1xxxxxexexxexxeee13、设1yyxe，求dydx，220dyxdxyyyexey①1yydyexedx，01xy，0dyexdx由①1yyyxee求导：1yyyyyxeyexeyey得22220dyexdx14、设11,0,0xexxfxaxbx，试确定常数a和b，使得fx在0x处可导。1000lim11xxfex000lim0xfaxbbf1b，f在0x处连续110000011110limlimlimlim0xxxxxxfxfexexfxxxx3010lim211xxxx000110limlim0xxfxfaxfaxx12a时，00ff121ab时，函数在0x处可导四、求下列积分（每小题5分，共20分）15、3sin1cosxdxx221cos1cos1coscoscoscos1cos2xdxxdxxxcx16、22xadxx0a令secxatsectandxattdt222sec1tanarccosaIatdtattcxaacx17、1xedx设1xte221tdtdxt222221112221111tdttIdtdtttt2arctan21arctan1xxttceec18、arctanxxedxe2arctantan1xxxxxxxeIedeearceedxe2tan1xxxxxeearceedxe422tan11xxxxeearcedxe21tanln12xxxearcexec五、求解下列各题（每小题7分，共35分）19、已知函数2221xyx，试求其单调区间、极值点、极值，函数图形的拐点。:1Dx341xyx100yx；4841xyx，2102yx111,,000,111,2220012,0029xyyyy12,29为拐点；00y为极小值20、证明：当1x时，ln1ln1xxxx设1ln1lnfxxxxx1x1ln10fxx1,12ln20fxf0fx在1x时ln1ln1xxxx1x21、已知某厂生产x件产品的成本为212500020040cxx（元），问：（1）要使平均成本最少，应生产多少件产品？5（2）若产品以每件500元售出，要使利润最大，应生产多少件产品？解：（1）设平均成本为y2500020040xyx，2250001040yx1210001000()xx舍去唯一驻点551001000yx＝，y取极小值，即取y最小值（2）利润函数2250025000200300250004040xxLxxx300020xL6000x唯一驻点10600020Lx＝在6000x时，L取极大值，即L取最大值22、设001x，1111,2,1nnxnx，证明nx收敛，并求limnnx解：由于001x，设01nx，可得1110,111nnnnxxxx由归纳法知01nxnx有界又21011nnnnnnnxxxxxxxnxlimnnx存在设为l1lll解0llim0nnx23、设fx在0,1上连续，在0,1内可导，且010ff，112f证明：（1）在0,1内存在点，使得1f6（2）在0,1内存在点，使得1f解：（1）作1Fxfxx在10,2上连续01F，1122F10,0,12使0F，即1f（2）作gxfxx在0,1上连续00g，11g，1322gx的最大值在0,1内取得，设为0,1则0即101ff0,1