【非常学案】2014-2015学年高中数学人教B版选修2-2配套课件222反证法

服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单RB.数学.选修2-2教学教法分析课前自主导学当堂双基达标易错易误辨析课后知能检测课堂互动探究教师备选资源2．2.2反证法●三维目标1．知识与技能通过实例，体会反证法的含义．2．过程与方法了解反证法的基本步骤，会用反证法证明简单的命题．服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单RB.数学.选修2-23．情感、态度与价值观在观察、操作、推理等探索过程中，体验数学活动充满探索性和创造性．●重点难点重点：体会反证法证明命题的思路方法，用反证法证明简单的命题．难点：用反证法证明简单的命题，证明方法的选择．服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单RB.数学.选修2-2服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单RB.数学.选修2-2【问题导思】著名的“道旁苦李”的故事：王戎小时候，爱和小朋友在路上玩耍．一天，他们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，独有王戎没动．等到小朋友摘了李子一尝，原来是苦的．他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这棵树上却结满了李子，所以李子定是苦的．”服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单RB.数学.选修2-21．王戎的论述运用了什么推理思想？【提示】运用了反证法的思想．2．反证法解题的实质是什么？【提示】否定结论，导出矛盾，从而证明原结论正确．服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单RB.数学.选修2-21．反证法的定义由证明p⇒q转向证明綈q⇒r⇒…⇒t，t与矛盾，或与某个矛盾，从而判定，推出的方法，叫做反证法．2．常见的几种矛盾(1)与假设矛盾；(2)与、定理、公式、定义或矛盾；(3)与矛盾(例如，导出0＝1，0≠0之类的矛盾)．假设真命题綈q为假q为真数学公理已证明了的结论公认的简单事实服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单RB.数学.选修2-2设{an}，{bn}是公比不相等的两个等比数列，cn＝an＋bn，证明数列{cn}不是等比数列．【思路探究】假设数列{cn}为等比数列，从而c＝cn－1·cn＋1推出矛盾，证明原命题成立．【自主解答】假设数列{cn}是等比数列，则(an＋bn)2＝(an－1＋bn－1)(an＋1＋bn＋1)，①服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单RB.数学.选修2-2∵{an}，{bn}是公比不相等的两个等比数列，设公比分别为p，q，∴a2n＝an－1an＋1，b2n＝bn－1bn＋1.代入①并整理得：2anbn＝an＋1bn－1＋an－1bn＋1＝anbnpq＋qp，即2＝pq＋qp.②当p，q异号时，pq＋qp＜0，与②相矛盾；当p，q同号时，由于p≠q，所以pq＋qp＞2，与②相矛盾．故数列{cn}不是等比数列．服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单RB.数学.选修2-21．用反证法证明否定性命题的适用类型：结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题称为否定性命题，此类问题的正面比较模糊，而反面比较具体，适合使用反证法．服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单RB.数学.选修2-22．反证法证明问题的一般步骤：服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单RB.数学.选修2-2已知f(x)＝ax＋x－2x＋1(a1)，证明方程f(x)＝0没有负数根．【解】假设x0是f(x)＝0的负数根，则x00且x0≠－1且ax0＝－x0－2x0＋1，由0ax01⇒0－x0－2x0＋11，解得12x02，这与x00矛盾，所以假设不成立，故方程f(x)＝0没有负数根.服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单RB.数学.选修2-2【思路探究】“不能都大于”的含义为“至少有一个小于或等于”其对立面为“全部大于”．(2014·威海高二检测)已知a，b，c∈(0，1)，求证：(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不能都大于14.【自主解答】假设(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a都大于14.服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单RB.数学.选修2-2∵a，b，c∈(0，1)，∴1－a0，1－b0，1－c0.∴（1－a）＋b2≥（1－a）b14＝12.同理（1－b）＋c212，（1－c）＋a212.三式相加得（1－a）＋b2＋（1－b）＋c2＋（1－c）＋a232，服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单RB.数学.选修2-2即3232，矛盾．所以(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不能都大于14.服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单RB.数学.选修2-2应用反证法常见的“结论词”与“反设词”当命题中出现“至多”“至少”等词语时，直接证明不易入手且讨论较复杂．这时，可用反证法证明，证明时常见的“结论词”与“反设词”如下：服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单RB.数学.选修2-2结论词反设词结论词反设词至少有一个一个也没有对所有x成立存在某个x0不成立至多有一个至少有两个对任意x不成立存在某个x0成立至少有n个至多有n－1个p或q綈p且綈q至多有n个至少有n＋1个p且q綈p或綈q服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单RB.数学.选修2-2(2014·临沂高二检测)若x，y都是正实数，且x＋y2，求证：1＋xy2或1＋yx2中至少有一个成立．【证明】假设1＋xy2和1＋yx2都不成立，则有1＋xy≥2和1＋yx≥2同时成立．因为x0且y0，所以1＋x≥2y且1＋y≥2x，服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单RB.数学.选修2-2两式相加，得2＋x＋y≥2x＋2y，所以x＋y≤2.这与已知x＋y2矛盾．故1＋xy2与1＋yx2至少有一个成立.服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单RB.数学.选修2-2(1)在用反证法证明“两条相交直线有且只有一个交点”时的反设为________．(2)求证：方程2x＝3有且只有一个根．【思路探究】(1)找出两条直线交点的所有情况，从而得到反设．(2)先证明方程有根，再用反证法证明根的唯一性．服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单RB.数学.选修2-2【自主解答】(1)两条直线的交点个数包括：没有交点，有且只有一个交点和至少有两个交点．故“有且只有一个交点”的反设为“两条相交直线无交点或至少有两个交点”．【答案】两条相交直线无交点或至少有两个交点(2)因为2x＝3，所以x＝log23.这说明方程有一个根．下面用反证法证明方程2x＝3的根是唯一的．假设方程2x＝3有两个根x1，x2(x1≠x2)，则2x1＝3，2x2＝3，两式相除，得2x1－x2＝1.服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单RB.数学.选修2-2若x1－x20，则2x1－x21，这与2x1－x2＝1矛盾；若x1－x20，则2x1－x21，这也与2x1－x2＝1矛盾，因此只能x1－x2＝0，这与x1≠x2矛盾．如果方程的根多于两个，同样可推出矛盾．故2x＝3只有一个根．服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单RB.数学.选修2-2用反证法证明唯一性命题的一般思路：证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性．当证明结论以“有且只有”“只有一个”“唯一存在”等形式出现的命题时，可先证“存在性”，由于假设“唯一性”结论不成立易导出矛盾，因此可用反证法证其唯一性．服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单RB.数学.选修2-2若函数f(x)在区间[a，b]上的图象连续，且f(a)0，f(b)0，且f(x)在[a，b]上单调递增，求证：f(x)在(a，b)内有且只有一个零点．【证明】由于f(x)在[a，b]上的图象连续，且f(a)0，f(b)0，即f(a)·f(b)0，所以f(x)在(a，b)内至少存在一个零点，设零点为m，则f(m)＝0.假设f(x)在(a，b)内还存在另一个零点n，即f(n)＝0，则n≠m.服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单RB.数学.选修2-2若nm，则f(n)f(m)，即00，矛盾；若nm，则f(n)f(m)，即00，矛盾．因此假设不正确，即f(x)在(a，b)内有且只有一个零点．服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单RB.数学.选修2-2反证法证明时反设不全面致误已知a，b，c是互不相等的非零实数．求证：三个方程ax2＋2bx＋c＝0，bx2＋2cx＋a＝0，cx2＋2ax＋b＝0至少有一个方程有两个相异实根．【错解】假设三个方程都没有两个相异实根，则Δ1＝4b2－4ac0，Δ2＝4c2－4ab0，Δ3＝4a2－4bc0，相加有a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＋c2－2ac＋a20，(*)服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单RB.数学.选修2-2即(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)20，此不等式不能成立，所以假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根．【错因分析】上面解法的错误在于认为“方程没有两个相异实根就有Δ0”，事实上，“方程没有两个相异实根”包括两种情况：一是方程无实根；二是方程有两个相等实根，从而Δ≤0.【防范措施】为了防止反设情况不全面，可把问题的所有情况都列出来，然后根据否定的情况，确定反设的情况．服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单RB.数学.选修2-2【正解】假设三个方程都没有两个相异实根，则Δ1＝4b2－4ac≤0，Δ2＝4c2－4ab≤0，Δ3＝4a2－4bc≤0.相加有a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＋c2－2ac＋a2≤0，即(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≤0，(*)由题意a，b，c互不相等，所以(*)式不能成立．所以假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根.服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单RB.数学.选修2-2服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单RB.数学.选修2-21．用反证法证明命题“自然数a、b、c中恰有一个偶数”时，正确的假设为()A．a、b、c都是奇数B．a、b、c都是偶数C．a、b、c中至少有两个偶数D．a、b、c都是奇数或至少有两个偶数【解析】“恰有一个偶数”的否定是“一个也没有或至少有两个”．【答案】D服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单RB.数学.选修2-22．(2014·银川高二检测)用反证法证明命题“若直线AB、CD是异面直线，则直线AC、BD也是异面直线”的过程归纳为以下三个步骤：①则A、B、C、D四点共面，所以AB、CD共面，这与AB、CD是异面直线矛盾；②所以假设错误，即直线AC、BD也是异面直线；③假设直线AC、BD是共面直线．则正确的序号顺序为()A．①②③B．③①②C．①③②D．②③①服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单RB.数学.选修2-2【解析】结合反证法的证明步骤可知，其正确步骤为③①②.【答案】B服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单RB.数学.选修2-23．设实数a，b，c满足a＋b＋c＝1，则a，b，c中至少有一个不小于________．【解析】假设a，b，c都小于13，则a＋b＋c1，与已知矛盾，故a，b，c中至少有一个不小于13.【答案】13服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单RB.数学.选修2-2【证明】假设a、b、c都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0，∴a＋b＋c≤0，又∵a＋b＋c＝(x2－2x＋1)＋(y2－2y＋1)＋(z2－2z＋1)＋π－3＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋(π－3)，由(x－1)2≥0，(y－1)2≥0，(z－1)2≥0，π－30，4．求证：若a、b、c均为实数且a＝x2－2y＋π2，b＝y2－2z＋π3，c＝z2－2x＋π6，则a、b、c中至少有一个大于0.服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单RB.数学.选修2-2知a＋b＋c0，∴a＋b＋c≤0与a＋b＋c0矛盾，∴假设不成立，原命题成立，即a、b、c中至少有一个大于0.服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单RB.数学.选修2-2课后知能检测点击图标进入…服/务/教/师免/费/馈/赠返回菜单RB.数学.选修2-2【思路探究】否定性命题，用反证法证明．已知三个正数a，