上海高中数学难点重点教材解析(大纲)

高中数学各年级基本教学内容与要求高一第一学期第一章集合与命题1、内容要目（1）集合的基本概念、空集、子集和真子集、集合的相等；集合的交、并、补运算。（2）四种命题形式、等价命题；充分条件与必要条件。2、基本要求（1）理解集合、空集的意义，会用列举法和描述法表示集合；理解子集、真子集、集合相等等概念，能判断两个简单集合之间的包含关系或相等关系；理解交集、并集，掌握集合的交、并运算，知道有关的基本运算性质，理解全集的意义，能求出已知集合的补集。（2）理解四种命题的形式及其相互关系，能写出一个简单命题的逆命题、否命题与逆否命题；理解充分条件、必要条件与充要条件的意义，能在简单问题的情境中判断条件的充分性、必要性或充分必要性。3、重点和难点重点是集合的概念及其运算，充分条件、必要条件、充要条件。难点是对集合有关概念的理解，命题的证明，充分条件、必要条件、充要条件的判别。第二章不等式（一）不等式性质与解不等式1、内容要目不等式基本性质、不等式性质；一元二次不等式（组）的解法、分式不等式的解法、绝对值不等式的解法、无理不等式的解法、某些高次不等式的解法。2、基本要求掌握不等式的基本性质及常用的不等式性质，并能证明这些基本性质。掌握一元二次不等式的解法，并能用来解决一些简单的实际问题；掌握简单的分式不等式及绝对值不等式的解法；会解简单的无聊不等式和高次不等式。3、重点和难点重点是不等式的基本性质和一元二次不等式的解法。难点是分式不等式与绝对值不等式的解法；解不等式的应用。（二）基本不等式与不等式证明1、内容要目基本不等式、不等式证明。2、基本要求掌握两个基本不等式，并能用于解决一些简单问题；掌握比较法、综合法、分析法证明不等式的基本思路，并会用这些方法证明简单的不等式。3、重点和难点重点是基本不等式及其证明。难点是用比较法、综合法、分析法证明简单的不等式。第三章函数的基本性质1、内容要目函数、函数的运算；函数的奇偶数、单调性、周期性；函数的最大值或最小值。2、基本要求（1）理解函数的概念。能使用函数的记号y=f（x）表示y是x的函数，会求函数值f（a），会求简单函数的定义域和值域。（2）理解函数运算的意义，会求两个函数的和或积。（3）掌握函数奇偶数、单调性、周期性概念，并能判断一些简单函数的奇偶数、单调性、周期性；掌握函数奇偶数、单调性、周期性与函数图像的关系，会求一些简单函数的最大值或最小值。3、重点和难点重点是函数关系的建立，函数奇偶数、单调性、周期性等的判断，以及由函数图像研究其性质和由函数性质研究其图像的一般方法。难点是求函数的值域、最大值和最小值。第四章幂函数指数函数和对数函数（上）二次函数与幂函数1、内容要目二次函数的单调区间、最大值或最小值；幂函数的概念及其在(0,)内的单调性。指数函数的概念和性质，不同底数的指数函数值的大小比较等。2、基本要求掌握二次函数的图像、单调区间及最大值、最小值的求法；掌握幂函数的定义域及其性质，特别是在(0,)内的单调性，会画幂函数的图像。掌握指数函数的性质，图像。3、重点和难点重点是二次函数的图像、最大值和最小值的求法；幂函数指数函数性质的探求。难点是在闭区间上的二次函数最大值、最小值的求法；幂函数指数函数性质的运用。高一第二学期第四章幂函数指数函数和对数函数（下）1、内容要目对数；反函数；对数函数及其性质；简单的指数方程和对数方程。2、基本要求（1）理解对数的意义，会熟练地将指数式与对数式互化，掌握积、商、幂的对数运算性质，掌握换底公式。（2）理解反函数的概念，会求已知函数的反函数，掌握函数与它的反函数在定义域、值域以及图像上的关系。（3）理解对数函数的概念，掌握对数函数的图像及其性质，掌握指数函数与对数函数互为反函数的结论。（4）理解指数方程与对数方程的意义，会解简单的指数方程和对数方程。3、重点和难点重点是对数的意义与运算性质，反函数的概念，指数函数与对数函数的图像和性质。难点是对数的意义，反函数的概念及对数函数的单调性。第五章三角比（一）任意角的三角比1、内容要目（1）正角、负角、零角、象限角、终边在坐标轴上的角，与某个角有重合终边（包括这个角本身）的角的集合，弧度制，角度与弧度的互化，圆的弧长公式，扇形的面积公式。（2）任意角的六个三角比（正弦、余弦、正切、余切、正割、余割）的定义及它们在各象限的符号。终边相同的两个角的同名三角比的关系。单位圆。2、基本要求（1）理解任意角的有关概念。能写出与某个角有重合终边（包括这个角本身）的角的集合。能写出顶点在原点。始边与x轴正半轴重合，终边在坐标平面内任意确定位置的角的集合。能用不等式或区间表示象限角和给定范围的角。（2）理解用弧度制度量角的数学意义，会进行角度与弧度的换算，熟悉一些特殊角的角度与弧度数的对应关系。会用圆的弧长公式计算弧长或圆心角，会用扇形面积公式计算扇形的面积。（3）掌握任意角的三角比的定义，会根据终边上已知点的坐标求出六个三角比的值，会利用终边相同的两个角的同名三角比相等化简三角比，会判别三角比在各象限的符号，会用计算器计算三角比的值，熟悉一些特殊角的三角比的值。（4）感受单位圆对于三角比的某些特定研究带来的方便。3、重点和难点重点是任意角的三角比的定义，其重要价值在于本单元后续学习内容建立在这一基础之上。难点是由角的范围求三角比的取值范围和由三角比的取值范围求角的范围，通过考察有关示意图是突破此难点的一种简易方法。（二）三角恒等式1、内容要目同角三角比的关系（倒数关系、商数关系和平方关系）、诱导公式、两角和与差的正弦、余弦和正切、两倍角的正弦、余弦和正切，半角的正弦、余弦和正切。[理]三角比的积化和差与和差化积。2、基本要求（1）掌握同角三角比的基本关系式，诱导公式，两角和与差的正弦、余弦和正切公式以及二倍角的正弦、余弦和正切公式，会运用这些公式进行计算和三角恒等变形。（2）[理]掌握半角的正弦、余弦和正切公式，万能置换公式以及和差化积公式与积化和差公式，会运用这些公式进行计算和三角恒等变形，初步发展三角变换能力。（3）会用三角比的知识去观察解决一些实际问题，增强“用数学”的意识。3、重点和难点重点是三角恒等变形，其重要价值在于为学习三角函数以及今后进一步发展三角变换能力打下必要的基础。难点是如何灵活运用三角公式进行三角恒等变形，对三角公式进行变式训练是突破此难点的一种行之有效的方法。（三）解斜三角形1、内容要目已知三角形的两边及夹角，求三角形的面积，正弦定理、余弦定理、扩充的正弦定理。解斜三角形。2、基本要求（1）体验由任意角三角比的定义推导三角形面积公式、正弦定理、余弦定理的过程，领悟正弦定理与直角三角形中锐角三角比的关系、余弦定理与勾股定理的关系。（2）会运用三角形面积公式、正弦定理、余弦定理等三角知识解斜三角形。（3）能把解斜三角形的知识应用于解决社会实践和日常生活中的一些常见的简单问题。3、重点和难点重点是正弦定理和余弦定理。这两个定理揭示了三角形的边角关系，并且具有明显的应用价值。难点是正弦定理、余弦定理与其他数学知识的综合应用。第六章三角函数（一）三角函数的性质与图像1、内容要目正弦函数、余弦函数的定义域、值域、最大值和最小值、周期性、奇偶性、单调性。正切函数的定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性。正弦函数、余弦函数和正切函数的图像。2、基本要求（1）理解正弦函数、余弦函数和正切函数的概念。理解周期函数的概念。（2）掌握正弦函数、余弦函数的性质（定义域、值域、最大值和最小值、周期性、奇偶性、单调性、对称性）。（3）掌握正弦函数和余弦函数的图像，会用“五点法”画出正弦函数和余弦函数的图像。（4）通过与正弦函数相类比，研究并掌握正切函数的性质与图像。（5）会求形如sin()(00yAxA＞，＞）的函数的周期、单调区间、最大值和最小值、值域。（6）了解三角函数在科学技术和现代生活中的广泛应用。引导学生通过观察、分析实际问题，发现并分享其中蕴涵的丰富的三角函数知识。3、重点和难点重点是正弦函数，掌握其概念、性质和图像并领悟有关研究方法，在此基础上，类似地研究并掌握余弦函数和正切函数。难点是研究三角函数式的性质，设法把已知函数表达式转化为形如sin()(00yAxA＞，＞）的表达式，是突破难点的重要手段。（二）反三角函数与最简三角方程1、内容要目反正弦函数、反余弦函数、反正切函数。最简三角方程，简单的三角方程。2、基本要求（1）理解反正弦函数、反余弦函数、反正切函数的概念，了解它们的图像和基本性质（奇偶性、单调性、对称中心等）。（2）会求特殊的反三角函数值，会用计算器计算反三角函数值，会用反三角函数值表示角的大小。会求形如sin()yAx或arcsin()yAx的函数的反函数。（3）理解三角方程的解集的概念，掌握最简三角方程的解集。会解简单的三角方程（形如22sincos,sinsin,sincosAxBxCAxBxCAxBxC等。）3、重点和难点重点是反正弦函数，掌握其概念，并领悟其研究方法。在此基础上，研究并掌握反余弦函数和反正切函数。难点是含字母系数的简单三角方程的实数解的讨论。三角函数的图像往往是帮助分析，突破难点的好助手。高二第一学期第七章数列与数学归纳法（一）等差数列与等比数列1、内容要目数列的概念，等差数列与等比数列的定义，等差中项与等比中项，等差数列与等比数列的通项公式。2、基本要求（1）理解数列的概念，掌握等差数列与等比数列的定义。（2）会求等差中项与等比中项（3）理解数列通项公式的含义，掌握等差数列比数列的通项公式。3、重点和难点重点是等差数列与等比数列的通项公式。难点是数列的概念及由计算数列的前若干项，通过归纳得出数列的通项公式，并予以证明。（二）数列的前n项和1、内容要目等差数列、等比数列的递推公式，等差数列、等比数列的前n项和公式，数列的应用。2、基本要求（1）理解数列递推公式的含义，掌握等差数列与等比数列的递推公式。（2）理解数列前n项和的意义，掌握等差数列与等比数列的前n项和公式。（3）会用等差数列与等比数列的知识解决简单的实际问题。3、重点和难点重点是等差数列与等比数列的前n项和公式。难点是等比数列的前n项和公式，难点突破的关键是对等比数列前n项和公式要有分类讨论的意识。（三）数列的极限1、内容要目数列极限的概念，数列极限的运算法则，常用的数列极限公式，无穷等比数列各项的和。2、基本要求（1）理解数列极限的概念。（2）掌握数列极限的运算法则。（3）掌握常用的数列极限。（4）掌握公比|q|＜1时，无穷等比数列前n项和的极限公式即无穷等比数列各项和公式，并能用于解决简单问题。3、重点和难点重点是数列极限的运算法则，常用的数列极限，无穷等比数列各项和公式。难点是无穷等比数列各项和公式的应用，突破难点的关键在于由实际问题出发建立起等比数列模型。（四）数学归纳法1、内容要目数学归纳法的原理。数学归纳法的一般步骤。数学归纳法的应用。2、基本要求（1）知道数学归纳法的基本原理，掌握数学归纳法的一般步骤。（2）会用数学归纳法解决整除问题及证明某些与正整数有关的等式。（3）领会“归纳—猜想—论证”的思想方法。3、重点和难点重点是用数学归纳法证明命题的步骤。难点是数学归纳法的应用以及通过归纳猜想命题的一般结论。第八章平面向量的坐标表示1、内容要目平面向量及其运算。平面向量的坐标表示及其运算。基向量、平面向量分解定理。平面向量的数量积及其坐标表示。平面向量的夹角。平面向量的平行和垂直。2、基本要求（1）理解平面向量的有关概念：向量的方向，向量的模；单位向量，位置向量，复向量；向量的相等，向量的平行，向量的垂直，向量的夹角；向量的加减法，向量的数乘，向量的数量积；一个向量在另一个向量方向上的投影等。（2）掌握向量加减法的平行四边形法则和三角形法则，掌握向量的坐标运算方法，掌握线段的定比分点公式和中点公式，会进行向量的加减运算和数乘运算。会计算向量的模、数量积和夹角。会判别两个向量的平行关系和垂直关系。会运用两个非零向量平行或垂直的充要条件